Быстрый поиск

Реферат: Распределенные алгоритмы

Если корректный помощник r инициирует в конце импульса i, все корректные процессы подтверждают r в конце импульса i + 2. Действительно, r “выкрикивает” <bm, 1> в импульсе i + 1, поэтому все корректные процессы (прямо) поддерживают r в импульсе i + 2, так что каждый процесс получает по крайней мере H сообщений <bm, q> в этом импульсе.

Алгоритм продолжается в течение 2t + 3 импульсов; если процесс p подтвердил по крайней мере H процессов (здесь считает командующий) к концу того импульса, p принимает решение 1, иначе p принимает решение 0. См. Алгоритм 14.4.

var : boolean init false

: boolean init if then true else false;

Импульс i: (* Фаза посылки *)

if then shout<bm, 1>;

forall do shout<bm, q>;

получить все сообщения импульса i;

(*обновление состояния*)

if i = 1 and then ;

if then ;

if i = 2t + 3 then (*принять решение*)

if then else

Алгоритм 14.4 Протокол с надежным вещанием.

Командующий, являющийся единственным процессом, который может самостоятельно предписать инициирования (в других процессах) занимает мощное положение в алгоритме. Легко заметить, что, если командующий корректно инициирует, начинается лавина сообщений, которая заставляет все корректные процессы подтвердить H процессов и остановиться на значении 1. К тому же если он не инициирует, то нет "критической массы" сообщений, которая ведет к инициированию любого корректного процесса.

Лемма 14.6 Алгоритм 14.4 удовлетворяет завершению (и одновременности) и зависимости.

Доказательство. Из алгоритма видно, что все корректные процессы принимают решение в конце импульса 2t + 3, что показывает завершение и одновременность. Чтобы показать зависимость, мы предположим, что командующий корректен.

Если командующий корректен и имеет вход 1, он “выкрикивает” сообщение <bm, 1> в импульсе 1, заставляя каждый корректный процесс q инициировать. Следовательно, каждый корректный процесс q “выкрикивает” <bm, 1> в импульсе 2, так что к концу импульса 2 каждый корректный процесс p поддерживает все другие корректные процессы. Это означает, что в импульсе 3 каждый корректный p “выкрикивает” <bm, q> для каждого корректного q, так что в конце импульса 3 каждый корректный процесс получает <bm, q> от каждого другого корректного процесса, заставляя его подтвердить q. Таким образом с конца раунда 3 каждый корректный процесс подтвердил H процессов, что означает, что окончательное решение будет 1. (Командующий поддерживается и подтверждается всеми корректными процессами одним импульсом ранее других процессов.)

Если командующий корректен и имеет вход 0, он не “выкрикивает” <bm, 1> в импульсе 1, чего не делает и никакой другой корректный процесс. Предположим, что никакой корректный процесс не инициировал в импульсах с 1 по i-1; тогда никакой корректный процесс не посылает <bm, 1> в импульсе i. В конце импульса i никакой корректный процесс не поддерживает и не подтверждает никакого корректного процесса, так как, как мы видели ранее, это подразумевает, что последний процесс послал сообщение <bm, 1>. Следовательно, никакой корректный процесс не инициирует в конце импульса i. Отсюда следует, что никакой корректный процесс не инициирует вообще. Это означает, что никакой корректный процесс никогда не подтверждает корректный процесс, так что никакой корректный процесс не подтверждает более t процессов, и решение в конечном импульсе - 0. o

Мы продолжим доказательством соглашения, и будем предполагать в следующих леммах, что командующий сбойный. Достаточная "критическая масса" сообщений, ведущая неизбежно к 1-решению, создается инициированием L корректных процессов, когда имеется по крайней мере четыре импульса.

Лемма 14.7 Если L корректных процессов инициируют к концу импульса i, i < 2t, то все корректные процессы останавливаются на значении 1.

Доказательство. Пусть i - первый импульс, в конце которого по крайней мере L корректных процессов инициируют, и пусть А обозначает множество корректных процессов, которые инициировали в конце импульса i. Все процессы в A - помощники, так как командующий сбойный. В конце импульса i + 2 все корректные процессы подтвердили помощников в А; мы покажем, что в это время все корректные процессы инициируют.

Случай i = 1: Все корректные процессы подтвердили помощников из А к концу импульса 3, и инициируют, так как .

Случай : По крайней мере один процесс, допустим r, из А инициировал в импульсе i, так как он подтвердил Th(i) помощников (инициирование с помощью получения <bm, 1> от командующего возможно только в импульсе 1). Эти Th(i) помощников подтверждены всеми корректными процессами в конце импульса i + l, но r не принадлежит к этим Th(i) подтвержденным помощникам, так как r впервые посылает сообщения <bm, 1> в импульсе i + 1. Однако, все корректные процессы подтвердят r к концу импульса i + 2; таким образом они подтвердили по крайней мере Th(i) + 1 помощников в конце раунда i + 2. В заключение, так как Th(i+2)= Th(i)+1, все корректные процессы инициируют.

Теперь, поскольку все корректные процессы инициируют к концу раунда i + 2, они подтверждены (всеми корректными процессами) в конце раунда i + 4, следовательно все корректные процессы подтвердили по крайней мере H помощников. Поскольку предполагалось, что i < 2t, , так что все корректные процессы останавливаются на значении 1. o

Для любого корректного процесса, чтобы остановиться на 1, необходима "лавина", состоящая из инициирования по крайней мере L на корректных процессов. Действительно, 1-решение требует подтверждения по крайней мере H процессов, включая L корректных, что эти корректные процессы инициировали. Вопрос в том может ли Византийский заговор откладывать начало лавины достаточно долго, чтобы вызвать 1-решение в некоторых корректных процессах, без навязывания его в общем согласно Лемме 14.7. Конечно, ответ - нет, так как имеется ограничение на то, как долго заговор может откладывать лавину, и число импульсов, 2t + 3, выбрано точно так, чтобы предотвратить это. Причина - возрастающий порог для требуемого числа подтвержденных процессов; в более поздних импульсах он становится настолько высок, что уже стало необходимо L инициированных корректных помощников, чтобы инициировать следующий корректный процесс.

Лемма 14.8 Предположим, что по крайней мере L корректных процессов инициируют в течение алгоритма, и пусть i - первый импульс, в конце которого инициируют L корректных процессов. Тогда i < 2t.

Доказательство. Чтобы инициировать в импульсе 2t или выше, корректный процесс должен подтвердить по крайней мере Th(2t) = L + (t-1) помощников. Так как командующий сбойный, то есть самое большее t-1 сбойных помощников, поэтому по крайней мере L корректных помощников должны были быть подтверждены, что показывает, что уже, в более раннем импульсе, L корректных процессов, должно быть, инициировали. o

Теорема 14.9 Алгоритм вещания Долева и других (Алгоритм 14.4) - t-Византийско-устойчивый протокол вещания.

Доказательство. Завершение (и одновременность также) и зависимость показаны в Лемме 14.6. Чтобы показать соглашение, предположим, что имеется корректный процесс, который останавливается на значении 1. Мы заметили, что это означает, что по крайней мере L корректных процессов инициировали. По Лемме 14.8, впервые это случалось в импульсе i < 2t. Но тогда по Лемме 14.7, все корректные процессы останавливаются на значении 1. o

Чтобы облегчить представление алгоритма, было сделано предположение, что процессы повторяют в каждом раунде сообщения, которые они посылали в более ранних раундах. Поскольку корректные процессы записывают сообщения, полученные в более ранних раундах, это не нужно, поэтому достаточно послать каждое сообщение только. Таким образом, каждый корректный процесс посылает каждое из N+1 возможных сообщений другому процессу самое большее один раз, что ограничивает сложность по сообщениям величиной . Так как имеется только N+1 различных сообщений, каждое сообщения должно содержать только O (log N) бит.