Реферат: Распределенные алгоритмы
Это определение, как и Определение 6.31, рассматривает всевозможные выполнения алгоритма для определения его временной сложности, но определяет другую меру сложности для вычислений. Рассмотрим ситуацию (происходящую в вычислении, определенном в доказательстве теоремы 6.38), когда одно сообщение «обгоняется» цепочкой из k сообщений. Временная сложность этого (под)вычисления равна 1, в то время, как цепочечная сложность того же самого (под)вычисления равна k. В системах, где гарантируется существование верхней границы задержек сообщений (как предполагается в определении временной сложности), временная сложность является правильным выбором. В системах, где большинство сообщений доставляется со «средней» задержкой, но небольшая часть сообщений может испытывать гораздо большую задержку, лучше выбрать цепочечную сложность.
Упражнение 6.1 Приведите пример PIF-алгоритма для систем с синхронной передачей сообщений, который не позволяет вычислять функцию инфимума (см. Теоремы 6.7 и 6.12). Пример может подходить только для конкретной топологии.
Упражнение 6.2 В частичном порядке (X, £) элемент b называется дном, если для всех c Î X, b £ c.
В доказательстве Теоремы 6.11 используется то, что частичный порядок (X,£) не содержит дна. Где именно?
Можете ли вы привести алгоритм, который вычисляет функцию инфимума в частичном порядке с дном и не является волновым алгоритмом?
Упражнение 6.3 Приведите два частичных порядка на натуральных числах, для которых функция инфимума является (1) наибольшим общим делителем, и (2) наименьшим общим кратным (the least common ancestor).
Приведите частичные порядки на наборах подмножеств области U, для которых функция инфимума является (1) пересечением множеств, и (2) объединением множеств.
Упражнение 6.4 Докажите теорему об инфимуме (Теорему 6.13).
Упражнение 6.5 Покажите, что в каждом вычислении древовидного алгоритма (Алгоритм 6.3) решение принимают ровно два процесса.
Упражнение 6.6 Используя эхо-алгоритм (Алгоритм 6.5), составьте алгоритм, который вычисляет префиксную схему маркировки (см. Подраздел 4.4.3) для произвольной сети с использованием 2|E| сообщений и O(N) единиц времени.
Можете ли вы привести алгоритм, вычисляющий схему маркировки за время O(D) ? (D - диаметр сети.)
Упражнение 6.7 Покажите, что соотношение в Лемме 6.19 выполняется, если сообщение потерялось в канале pq, но не выполняется, если сообщения могут дублироваться. Какой шаг доказательства не действует, если сообщения могут дублироваться?
Упражнение 6.8 Примените построение в Теореме 6.12 к фазовому алгоритму так, чтобы получить алгоритм, вычисляющий максимум по целочисленным входам всех процессов.
Каковы сложность сообщений, временная и битовая сложность вашего алгоритма?
Упражнение 6.9 Предположим, вы хотите использовать волновой алгоритм в сети, где может произойти дублирование сообщений.
(1) Какие изменения должны быть сделаны в эхо-алгоритме?
(2) Какие изменения должны быть сделаны в алгоритме Финна?
Упражнение 6.10 Полный двудольный граф - это граф G = (V,E), где V = V1 È V2 при V1 Ç V2 = Æ и E = V1 ´ V2.
Приведите алгоритм 2x-обхода для полных двудольных сетей.
Упражнение 6.11 Докажите или опровергните: Обход гиперкуба без чувства направления требует Q(N logN) сообщений.
Упражнение 6.12 Приведите пример вычисления алгоритма Тарри, в котором в результате получается не DFS-дерево.
Упражнение 6.13 Составьте алгоритм, который вычисляет интервальные схемы маркировки поиска в глубину (см. Подраздел 4.4.2) для произвольных связных сетей.
Может ли это быть сделано за O(N) единиц времени? Может ли это быть сделано с использованием O(N) сообщений?
Упражнение 6.14 Предположим, что алгоритм поиска в глубину со знанием соседей используется в системе, где каждый процесс знает не только идентификаторы своих соседей, но и множество идентификаторов всех процессов (P). Покажите, что в этом случае достаточно сообщений, состоящих из N бит.
Упражнение 6.15 Адаптируйте эхо-алгоритм (Алгоритм 6.5) для вычисления суммы по входам всех процессов.
Упражнение 6.16 Предположим, что процессы в сетях, изображенных на Рис.6.21, имеют уникальные идентификаторы, и каждый процесс имеет целочисленный вход. Смоделируйте на обеих сетях вычисление фазового алгоритма, вычисляя множество S = {(p, jp): p Î P} и сумму по входам.
Упражнение 6.17 Какова цепочечная сложность фазового алгоритма для клик (Алгоритм 6.8) ?
В этой главе будут обсуждаться проблемы выбора, также называемого нахождением лидера. Задача выбора впервые была изложена ЛеЛанном [LeLann; LeL77], который предложил и первое решение; см. Подраздел 7.2.1. Задача начинается в конфигурации, где все процессы находятся в одинаковом состоянии, и приходит в конфигурацию, где ровно один процесс находится в состоянии лидера (leader), а все остальные - в состоянии проигравших (lost).
Выбор среди процессов нужно проводить, если должен быть выполнен централизованный алгоритм и не существует заранее известного кандидата на роль инициатора алгоритма. Например, в случае процедуры инициализации системы, которая должна быть выполнена в начале или после сбоя системы. Т.к. множество активных процессов может быть неизвестно заранее, невозможно назначить один процесс раз и навсегда на роль лидера.
Существует большое количество результатов о задаче выбора (как алгоритмы, так и более общие теоремы). Результаты для включения в эту главу выбирались по следующим критериям.
(1) Синхронные системы, анонимные процессы, и отказоустойчивые алгоритмы обсуждаются в других главах. В этой главе всегда предполагается, что процессы и каналы надежны, система полностью асинхронна, и процессы различаются уникальными идентификаторами.
(2) Мы сосредоточим внимание на результатах, касающихся сложности сообщений. Алгоритмы с улучшенной временной сложностью или результаты, предполагающие компромисс между временной сложностью и сложностью сообщений, не обсуждаются.
(3) Мы будем уделять внимание порядку величины сложности сообщений, и не будем рассматривать результаты, вносящие в сложность только постоянный множитель.
(4) Т.к. результаты Кораха и др. (Раздел 7.4) подразумевают существование O(N logN)-алгоритмов для нескольких классов сетей, алгоритм для клики с этой сложностью не будет рассматриваться отдельно.
Задача выбора требует, чтобы из конфигурации, где все процессы находятся в одинаковом состоянии, система пришла в конфигурацию, где ровно один процесс находится в особом состоянии лидер (leader), а все остальные процессы - в состоянии проигравших (lost). Процесс, находящийся в состоянии лидер в конце вычисления, называется лидером и говорят, что он выбран алгоритмом.
Определение 7.1 Алгоритм выбора - это алгоритм, удовлетворяющий следующим требованиям.
(1) Каждый процесс имеет один и тот же локальный алгоритм.
(2) Алгоритм является децентрализованным, т.е. вычисление может быть начато произвольным непустым подмножеством процессов.
(3) Алгоритм достигает заключительной конфигурации в каждом вычислении, и в каждой достижимой заключительной конфигурации существует ровно один процесс в состоянии лидера, а все остальные процессы - в состоянии проигравших.
Иногда последнее требование ослабляется и требуется только, чтобы ровно один процесс находился в состоянии лидера. В этом случае выбранный процесс знает, что он победил, но проигравшие (еще) не знают, что они проиграли. Если дан алгоритм, удовлетворяющий этим ослабленным действиям, то его можно легко расширить, добавив инициируемую лидером рассылку сообщений всем процессам, при которой все процессы информируются о результатах выбора. В некоторых алгоритмах этой главы это дополнительное оповещение опущено.
Во всех алгоритмах этой главы процесс p имеет переменную statep с возможными значениями leader (лидер) и lost (проигравший). Иногда мы будем предполагать, что statep имеет значение sleep (спящий), когда p еще не выполнил ни одного шага алгоритма, и значение cand (кандидат), если p вступил в вычисление, но еще не знает, победил он или проиграл. Некоторые алгоритмы используют дополнительные состояния, такие как active, passive и др., которые будут указаны в самом алгоритме.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105
