Быстрый поиск

Реферат: Распределенные алгоритмы

(p, bu[i]) = bw[i +1] для пакетов, которые должны быть продвинуты из u в w.

Определение 5.10 Контроллер hsf определяется как bgcBGh , с fb и nb определенными в предыдущем параграфе.

Theorem 5.11 Существует беступиковый контроллер для сетей произвольной топологии, который использует D + 1 буфер в каждой вершине (где D - диаметр сети), и требует, чтобы пакеты пересылались по путям с минимальным числом переходов.

Доказательство. Использование путей с минимальным числом переходов дает k = D. Тогда hsf - беступиковый контроллер, использующий D +1 буфер в каждой вершине. (Количество буферов даже может быть меньше, если узлы, расположенные далеко друг от друга, не обмениваются пакетами.) ð

В схеме сколько-было-переходов буферы с индексом i используются для хранения пакетов, которые сделали i переходов. Можно спректировать двойственная схема сколько-будет-переходов ( hops-to-go), в которой буферы с индексом i используются для хранения пакетов, которым надо сделать еще i переходов до места назначения; см. Упражнение 5.3.

5.2.2 Ориентации G

В этом подразделе будет рассматриваться метод для построения сложных буферных графов, требующих только несколько буферов на узел,. В контроллере hsf индекс буфера, в котором хранился пакет, увеличивался с каждым переходом. Теперь мы замедлим рост индекса буфера (таким образом экономя на общем количестве буферов в каждом узле), предполагая увеличение индекса буфера (не путать с классом буфера) с некоторыми, но не обязательно всеми, переходами. Чтобы избежать циклов в буферном графе, каналы, которые могут быть пересечены без увеличения индекса буфера, формируют ациклический граф.

Рисунок 5.3 Граф и ациклическая ориентация.

Определение 5.12 Ациклическая ориентация G - направленный ациклический граф, который получается ориентацией всех ребер G; см. Рисунок 5.3.

Последовательность G1, ..., GB ациклических ориентаций G является покрытием из ациклических ориентаций размера B для набора P путей, если каждый путь P Î P может быть записан как конкатенация B путей P1, ..., PB, где Pi - путь в Gi.

Когда возможно покрытие из ациклических ориентаций размера B, может быть сконструирован контроллер, использующий только B буферов на вершину. Пакет всегда генерируется в буфере bu[l] вершины u. Пакет из буфера bu[i], который должен быть продвинут в вершину w помещается в буфер bw [i], если дуга между u и w направлена к w в Gi , и в буфер bw[i + 1], если дуга направлена к u в Gi.

Теорема 5.13 Если покрытие из ациклических ориентаций для P размера B существует, то существует беступиковый контроллер, использующий только B буферов на каждую вершину.

Доказательство. Пусть G1. . .., GB - покрытие, и bu[1], ..., bu[B] - буферы вершины u. Будем писать uw Î , есди дуга uw направлена к w в Gi, и wu Î , если дуга uw направлена к u в Gi. Буферный граф определяется как BGa = (B, ), где bu[i]bw[j] Î тогда и только тогда, когда uw Î E и (i = j /\ uw Î ) или (i + 1 = j /\ wu Î ). Чтобы показать, что этот граф ациклический, отметим, что не существует циклов, содержащих буферы с различными индексами, потому что нет дуг от данного буфера к другому с меньшим индексом. Нет циклов с из буферов с одним и тем же индексом i , потому что эти буферы назначаются в соответствии с ациклическим графом Gi.

Оставляем читателю (см. Упражнение 5.4) продемонстрировать, что для каждого P Î P существует гарантированный путь с образом P, и что такой путь описывается следующим образом:

Контроллер acoc = bgcBGa - беступиковый контроллер, использующий B буферов в каждой вершине, что доказывает теорему. ð

Коммутация пакетов в кольце. Покрытия из ациклических ориентаций можно использованы при построении беступиковых контроллеров для нескольких классов сетей. Мы сначала представим контроллер для колец, использующий только три буфера на вершину. Для следующей теоремы предполагается, что веса каналов симметричны, т.е., wuw =wwu.

Теорема 5.14 Существует беступиковый контроллер для кольцевой сети, который использует всего три буфера на вершину и позволяет маршрутизировать пакеты через самые короткие пути.

Доказательство. Из Теоремы 5.13 достаточно дать покрытие из ациклических ориентаций размером 3 для набора путей, который включает самые короткие пути между всеми парами вершин.

Будем использовать следующую нотацию. Для вершин u и v, dc(u, v) обозначает длину пути из u в v по часовой стрелке и da(u, v) - длина пути против часовой стрелки; dc(v, u) = da(u, v) и d(u, v) = min(dc(u, v), da(u, v)) выполняется. Сумма весом всех каналов называется C (периметр кольца) и очевидно dc(u, v) + da(u, v) = C для всех u, v, так что d(u, v)£ C/2.

Рисунок 5.4 покрытие из ациклических ориентаций для кольца.

Во-первых рассмотрим простой случай, когда Существуют вершины u и v с d(u, v) = C/2. G1 и G3 получаются ориентацией всех ребер по направлению к v, и G2 получается ориентацией всех ребер по направлению к u: см. Рисунок 5.4.

Самый короткий путь из u в v содержится в G1 или G3, и наименьший путь из v в u содержится в G2. Пусть x, y - пара вершин, отличная от пары u, v. Тогда, т.к.
d(x, y) £ C/2, то существует самый короткий путь P между x и y, который не содержит сразу и u, и v. Если P не сдержит ни u, ни v , то он полностью содержится либо в G1 , либо в G2. Если P содержит v , это конкатенация пути в G1 и пути в G2; если P содержит u, это конкатенация пути в G2 и пути в G3.

Если не существует пары u, v с d(u, v) = C/2, выберем пару, для которой d(u, v) как можно ближе к C /2. Теперь может быть показано, что если существует пара x, y такая, что нельзя найти самый короткий как конкатенацию путей в ориентациях покрытия, то d(x, y) ближе к C /2, чем d(u, v). ð

Пакетная коммутация в дереве. Покрытия из ациклических ориентаций могут быть использованы для построения контроллера, использующего только два буфера на вершину, для сети в виде дерева.

Теорема 5.15 Существует беступиковый контроллер для сети в виде дерева, который использует только два буфера на вершину.

Доказательство. Из Теоремы 5.13, достаточно дать ациклическую ориентацию для дерева, которая покрывает все простые пути. Выберем произвольную вершину r, и получим T1 ориентацией всех ребер по направлению к r и T2 ориентацией всех ребер от r; см. Рисунок 5.5.

Рисунок 5.5 Покрытие из ациклических ориентаций для дерева.

Простой путь из u в v - конкатенация пути из u к самому нижнему общему предку, который T1, и пути от самого меньшего общего предка к v, который в T2. ð

5.3 Неструктурированные решения

Теперь мы обсудим класс контроллеров, предложенных Toueg и Ullman [TU81]. Эти контроллеры не предписывают, в котором буфере должен быть помещен пакет и используют только простую локальную информацию типа счетчика переходов или числа занятых буферов в узле.

5.3.1 Контроллеры с прямым и обратным счетом

Контроллер с прямым счетом (forward-count controller). Пусть (для пакета p) sp -количество переходов, которые ему необходимо сделать до места назначения; конечно же 0 £ sp £ k выполняется. Не всегда необходимо хранить sp в пакете, т.к. многие алгоритмы маршрутизации хранят эту информацию в каждой вершине; см. например алгоритм Netchange Раздела 4.3. Для вершины u, fu обозначает число пустых буферов в u. Конечно, 0 £ fu£ B всегда выполняется.