Реферат: Распределенные алгоритмы
Лемма 6.19 Неравенство fpq(i) p gpq(i) выполняется, даже если канал не является каналом FIFO.
Доказательство. Определим mh следующим образом: fpq(mh) - событие отправления сообщения, соответствующее gpq(h), т.е. в своем h-м событии получения q получает mh-е сообщение p. Из определения каузальности fpq(mh) p gpq(h).
Т.к. каждое сообщение в C получают только один раз, все mh различны, откуда следует, что хотя бы одно из чисел m1, ..., mi больше или равно i. Выберем j £ i так, чтобы mj ³ i. Тогда fpq(i) p fpq(mj) p gpq(j) p gpq(i).
Теорема 6.20 Фазовый алгоритм (Алгоритм 6.7) является волновым алгоритмом.
Доказательство. Т.к. каждый процесс посылает не более D сообщений по каждому каналу, алгоритм завершается за конечное число шагов. Пусть ¡ - заключительная конфигурация вычисления C алгоритма, и предположим, что в C существует, по крайней мере, один инициатор (их может быть больше).
Чтобы продемонстрировать, что в ¡ каждый процесс принял решение, покажем сначала, что каждый процесс хотя бы один раз послал сообщения. Т.к. в ¡ по каналам не передается ни одно сообщение, для каждого канала qp Recp[q] = Sentpq. Также, т.к. каждый процесс посылает сообщения, как только получит сообщение сам, Recp[q] > 0 Þ Sentp > 0. Из предположения, что существует хотя бы один инициатор p0, для которого Sentp0 > 0, следует, что Sentp > 0 для каждого p.
Впоследствии будет показано, что каждый процесс принял решение. Пусть p - процесс с минимальным значением переменной Sent в ¡, т.е. для всех q Sentq ³ Sentp в ¡. В частности, это выполняется, если q - сосед по входу p, и из Recp[q] = Sentq следует, что minq Recp[q] ³ Sentp. Но отсюда следует, что Sentp = D; иначе p послал бы дополнительные сообщения, когда он получил последнее сообщение. Следовательно, Sentp = D для всех p, и Recp[q] = D для всех qp, откуда действительно следует, что каждый процесс принял решение.
Остается показать, что каждому решению предшествует событие в каждом процессе. Если P = p0, p1, ..., pl (l £ D) - маршрут в сети, тогда, по Лемме 6.19,
для 0 £ i < l и, по алгоритму,
для 0 £ i < l - 1.
Следовательно, 
. Т.к. диаметр
сети равен D, для любых q и p существует маршрут q = p0, p1,
..., pl = p длины не более D. Таким образом, для любого q
существует l £ D и сосед по
входу r процесса p, такие, что 
; на
основании алгоритма, 
предшествует dp.
Алгоритм пересылает D сообщений через каждый канал, что приводит в сложности сообщений, равной |E|*D. Однако нужно заметить, что |E| обозначает количество направленных каналов. Если алгоритм используется для неориентированной сети, каждый канал считается за два направленных канала, и сложность сообщений равна 2|E|*D.
var recp : 0..N - 1 init 0 ;
(* Количество полученных сообщений *)
Sentp : 0..1 init 0 ;
(* Количество сообщений, посланных каждому соседу *)
begin if p - инициатор then
begin forall r Î Neighp do send <tok> to r ;
Sentp := Sentp + 1
end ;
while Recp < # Neighp do
begin receive <tok> ;
Recp := Recp + 1 ;
if Sentp = 0 then
begin forall r Î Neighp do send <tok> to r ;
Sentp := Sentp + 1
end
end ;
decide
end
Алгоритм 6.8 Фазовый алгоритм для клики.
Фазовый алгоритм для клики. Если сеть имеет топологию клика, ее диаметр равен 1; в этом случае от каждого соседа должно быть получено ровно одно сообщение, и для каждого процесса достаточно посчитать общее количество полученных сообщений вместо того, чтобы считать сообщения от каждого соседа по входу отдельно; см. Алгоритм 6.8. Сложность сообщений в этом случае равна N(N-1) и алгоритм использует только O(log N) бит оперативной памяти.
Алгоритм Финна [Fin79] - еще один волновой алгоритм, который можно использовать в ориентированных сетях произвольной топологии. Он не требует того, чтобы диаметр сети был известен заранее, но подразумевает наличие уникальных идентификаторов процессов. В сообщениях передаются множества идентификаторов процессов, что приводит к довольно высокой битовой сложности алгоритма.
Процесс p содержит два множества идентификаторов процессов, Incp и NIncp. Неформально говоря, Incp - это множество процессов q таких, что событие в q предшествует последнему произошедшему событию в p, а NIncp - множество процессов q таких, что для всех соседей r процесса q событие в r предшествует последнему произошедшему событию в p. Эта зависимость поддерживается следующим образом. Изначально Incp = {p}, а NIncp = Æ. Каждый раз, когда одно из множеств пополняется, процесс p посылает сообщение, включая в него Incp и NIncp. Когда p получает сообщение, включающее множества Inc и NInc, полученные идентификаторы включаются в версии этих множеств в процессе p. Когда p получит сообщения от всех соседей по входу, p включается в NIncp. Когда два множества становятся равны, p принимает решение; см. Алгоритм 6.9. Из неформального смысла двух множеств следует, что для каждого процесса q такого, что событие в q предшествует dp, выполняется следующее: для каждого соседа r процесса q событие в r также предшествует dp, откуда следует зависимость алгоритма.
В доказательстве корректности демонстрируется, что это выполняется для каждого p, и что из равенства двух множеств следует, что решению предшествует событие в каждом процессе.
Теорема 6.21 Алгоритм Финна (Алгоритм 6.9) является волновым алгоритмом.
Доказательство. Заметим, что два множества, поддерживаемые каждым процессом, могут только расширяться. Т.к. размер двух множеств в сумме составляет не менее 1 в первом сообщении, посылаемом по каждому каналу, и не более 2N в последнем сообщении, то общее количество сообщений ограничено 2N*|E|.
Пусть C - вычисление, в котором существует хотя бы один инициатор, и пусть ¡ - заключительная конфигурация. Можно показать, как в доказательстве Теоремы 6.20, что если процесс p отправил сообщения хотя бы один раз (каждому соседу), а q - сосед p по выходу, то q тоже отправил сообщения хотя бы один раз. Отсюда следует, что каждый процесс переслал хотя бы одно сообщение (через каждый канал).
var Incp : set of processes init {p} ;
NIncp : set of processes init Æ ;
recp[q] : boolean for q Î Inp init false ;
(* признак того, получил ли p сообщение от q *)
begin if p - инициатор then
forall r Î Outp do send <sets, Incp, NIncp> to r ;
while Incp ¹ NIncp do
begin receive <sets, Inc, NInc> from q0 ;
Incp := Incp È Inc ; NIncp := NIncp È NInc ;
recp[q0] := true ;
if "q Î Inp : recp[q] then NIncp := NIncp È {p} ;
if Incp или NIncp изменились then
forall r Î Outp do send <sets, Incp, NIncp> to r
end ;
decide
end
Алгоритм 6.9 Алгоритм Финна.
Сейчас мы покажем, что в ¡ каждый процесс принял решение. Во-первых, если существует ребро pq, то Incp Í Incq в ¡. Действительно, после последнего изменения Incp процесс p посылает сообщение <sets, Incp, NIncp>, и после его получения в q выполняется Incq := Incq È Incp. Из сильной связности сети следует, что Incp = Incq для всех p и q. Т.к. выполняется p Î Incp и каждое множество Inc содержит только идентификаторы процессов, для каждого p Incp = P.
Во-вторых, подобным же образом может быть показано, что NIncp = Nincq для любых p и q. Т.к. каждый процесс отправил хотя бы одно сообщение по каждому каналу, для каждого процесса p выполняется: " q Î Inp : recp[q], и следовательно, для каждого p выполняется: p Î NIncp. Множества NInc содержат только идентификаторы процессов, откуда следует, что NIncp = P для каждого p. Из Incp = P и NIncp = P следует, что Incp = NIncp, следовательно, каждый процесс p в ¡ принял решение.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105
