Вступ до фінансової математики

Зокрема, при oтримаємо з (2) всіх платежів потоку

Звичайно при оцінці проекту його доходність порівнюють з середньоринковою (тобто тією що панує на ринку в момент аналізу проекту). Тут при визначенні короткострокових ринкових ставок доходності звичайно орієнтуютсья на ставки банківського % , а для середньо та довгострокових інвестицій - на показники доходності за державними цінними паперами з відповідним терміном погашення. Це в першу чергу стосуєтсья інвестицій у цінні папери. Якщо ж аналізуєтсья проект інвестицій у виробництво, будівництво, торговлю тощо, то необхідно використати середньогалузеві показники доходності аналогічних по класу підприємств.

Враховуючи, що завжди , та при неперервному нарахуванні % з інтенсивністю на рік

а при для довжини інтервала часу при

маємо в цьому випадку просту форму формул (1)-(3)

Розглянемо тепер модель неперервного потоку платежів. Часто у фірми поряд з великими та рідкими платіжами (скажімо, щомісяця) відбуваються часті невеликі видатки (щоденно), які при теоретичному аналізі можна описувати моделлю неперервного потоку платежів. При помірних ставках це дає невелику методичну похибку підрахунку але розрахунки стають прозорими та простими. Більші похибки в прогнозі та вносять похибки у оцінки величини платежів та . Приймемо за базову одиницю часу рік і те, що на видатки відбуваютсья неперервно з інтенсивіністю грош.од. на рік, а платежі - неперервні з інтенсивністю в рік, . Тоді неперервна інтенсивність нетто-потоку платежів в момент є . Отже величина платіжу на малому інтервалі приблизно дорівнює

(тут відповідає видаткам, доходам, нейтральному стану).

Вважаючи, що і неперервні або кусково-неперервні функції, шляхом розбиття інтервалу часу на малі проміжки при , підсумовуванню відповідних платежів та граничному переходу при , маємо, що сума всіх платежів на є інтегралом

звідки платіж на інтервалі, є

Якщо , то на проміжку сумарний платіж при малому має наближення

.

Тому дисконтування його на момент 0 приблизно становить , а після підсумовування по розбиттю на такі малі проміжки та граничному переходу при маємо, що дисконтоване значення всього неперервного потоку нетто-платіжів складає

Модель неперевного потоку дозволяє аналізувати проекти буз значних викладень та доходів на відносно коротких проміжків часу.

Для середньо- та довгострокових проектів потік готівки є змішаним поряд з великими платіжами, що відносно різні існують інтервали часу, де платіжі можна вважати практично неперервними. Тут необхідні дискретно-неперервні моделі потоку платежів на проміжку . Для побудови таких моделей потрібно задати: а) послідовного , , моментів і послідовінсть сум платежів в ці моменти; б) вказати підінтервали на , де неперервних платежів відмінна від 0. Тоді через формули (1) та (8) на момент 0 змішаного дискретно-неперервного потоку платежів буде

Аналогічно, цього потоку в момент є

де - коефіцієнт нарощення на .

Зауважимо, що формально математично коефіцієнти нарощення та дисконтування взаємозамінні, бо при

через властивість інтегралу

та формули

, .

Розглянемо тепер зрівноважуючий час для серії позичкових платежів. Нехай боржник зобов'язався погасити борг послідовними платіжами величиною в моменти відповідно. Тобто є однобічний потік платежів . Сума всіх недисконтованих платежів є , а вага в ній s-того платіжу , .

Боржник пропонує кредитору погасити борг одним платіжом в момент . Кредитор пропонує боржнику (дебітору) зроботи платіж x в момент , що визначається з умови еквівалентності потоків платежів та при відомому , тобто в момент . Момент називаєтсья зрівноважуючим часом для даного потоку платежів при фіксованому .

Задача. Показати, що при , тобто вигідніше для боржника, а - для кредитора.

Для вибору найкращих варіантів вкладання коштів застосовують кілька розроблених методик. Найчастіше вони засновані на застосуванні таких 4-х показників порівняння варіантів: 1) чиста поточна вартість; 2) внутрішня норма доходності; 3) період окупносіт; 4) індекс рентабельності.

Першим показником є проекта, що співпадає з відповідного потоку платежів, що була вже розглянута. Дійсно, каже про недоречність для інвестора відповідного варіанту потоку платежів при даних, та . Серед варіантів з потрібно обирати той, де більша, але це потрібно ще порівняти із вкладанням грошей на банківський депозит, що може бути більш рентабрельним і до того ж значно менш ризиковим.

Для цієї мети прислуговує інший показник - внутрішня норма доходності (Internal Rate of Return=IRR): , де є коренем рівняння

яке називається рівнянням вартості або доходності проекту на момент 0. Смисл рівняння (1) той, що на момент потоку видатків та потоку доходів збігаються, тобто прокет при є безприбутковим.

Якщо у рівняння (1) є єдиний додатний корінь , то він називається ставкою доходності проекту або внутрішньою нормою доходності (IRR) за базову одиницю часу. Якщо , де - ринкова ставка процента, то проект потрібно відхилити, а при він потенційно гідний, але серед таких варіантів, потрібно обрати варіант з найбільшим значенням .

Якщо поток платежів заданий, то

недисконтована сума всіх нетто-платежів на термін проекту. З фінансових міркувань та сенсу випливає, що потрібно відхилити всі варіанти з та розглядати тільки варіанти з . Далі при дуже великих маємо:

,

де початкова інвестиція.

Приклад 1. Нехай в момент 0 інвестор вкладає у проект суму грошей , розраховуючи отримувати наприкінці кожного року сталу суму доходу де - норма доходності за 1 рік.

Обчислимо . Тут рівняння (1) приймає вигляд полінома від :

де - коефіцієнт дисконтування. Оскільки , то після підстановки та скорочення на маємо . Очевидно, що - єдиний корінь цього полінома, що є IRR проекта.

Приклад 2. Нехай є схема погашення боргу , що взятий на років за річною ставкою з умовою виплати наприкінці кожного року процентів в сумі та повертанням наприкінці року первісної суми боргу . Тоді за допомогою ренти постнумерандо (3) можна записати у вигляді . Скорочуючи, обидві частини рівності на отримаємо формулу , що еквівалентна рівності (*) прикладу 1.

Має місце таке твердження про достатні умови існування IRR.

Пропозиція. І. Якщо у потоці всі від'ємні платежі передують всім додатним або навпаки, то визначена. ІІ Більш загально, нехай та

- накопичена сума всіх нетто-платежів інвестора від моменту до включно. Якщо , і після виключення нульових значень послідовність має рівно одну зміну знаку, то рівняння доходності (1) має єдиний додатний корінь, тобто - визначена.

Доведення цього можна знайти у [25]. Зауважимо, що потік платежів прикладу 1 задовольняє умови пропозицій. Зауважимо ще, що рівняння вартості можливо подати у вигляді та звести задачу до знаходження коренів полінома з цілими степенями змінної або якщо обрати базову одиницю так, щоб всі були цілими числами.

Розглянемо випадок дискретного потоку платежів та приймемо, що всі платежі віднесені до середини місяця (або іншої базової одиниці), причому інвестиції робляться у перші місяць, а потім йдуть доходні місяці:

.

Тоді загальний обсяг інвестицій , а термін окупності без приведення сум грошей до одного моменту часу можливо знайти шялхом послідовного акумулювання щомісячних доходів, поки вони не перервищують :

.

Інакше кажучи, термін окупності задовольняє нерівність

В найбільш простому випадку, коли інвестиції у розмірі |c0|=k здійснюються тільки раз, а всі надходження рівні c1 умови (1) мають вигляд

В більш складному, але краще обгрунтованому варіанті потрібно спочатку привести всі грошові суми до одного моменту часу - моменту завершення інвестицій, а потім визначати термін окупності проекта. Це вточнене значення (present value payback period) буде більше за первісне.

Індекс рентабельності (benefit cost ratio або Present Value Index) проекту є відношенням суми всіх дисконтованих грошових доходів від інвестицій до суми всіх дисконтованих інвестиційних видатків.

Якщо індекс менший , то проект відхиляєтсья. а серед проектів з індексом перевага віддається проекту з найбільшим індексом, але він може мати не найбільшу .

Приклад. Нехай є проекти і . Для всіх доходів є , а інвестиції становлять . Для відповідно та . Відомо, що проекту більше за те, що є у .

Тоді індекси рентабельності цих програм відповідно дорівнюють

.

Тому за рентабельностю більш переважний. Але дозволяє інвестувати більше коштів і має більшу , тобто економічно він може бути більш вигідним. Отже iндекс рентабельності не є однозначним критерієм ефективності проекту.

Зупинимося тепер на врахуванні інфляції у інвестиційних проектах. Розглянемо простий випадок, коли інвестор може одержати або дати кредит під однаковий процент та його можливості одержати кредит необмежені. Рівень інфляції для різних компонентів майбутнього потоку платежів, взагалі кажучи, може бути різним (напр., зарплата може зростати більш повільно ніж ціна на матеріали).

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19