Вступ до фінансової математики
p align="left"> грн..2.3 Основні поняття й формули, пов'язані із застосуванням базових схем складних процентів
На відміну від простих процентів, де процентний платіж нараховується на одну й ту ж саму величину первісного капіталу протягом всього часу ФО, в схемах складних процентів процентний платіж у кожному розрахунковому періоді (періоді конверсії) додається до капіталу попереднього періоду, а процентний платіж наступного періоду обчислюється на нарощений капітал попереднього періоду як було з'ясовано в пункті 2.2. Прикладом збільшення капіталу зі складними процентами є регулярне реінвестування коштів, вкладених під прості проценти на один період конверсії. Спосіб обчислення процентних платежів за складними процентами називається нарахуванням “процентів на процент”.
З пунктів 2.2 і 2.1 випливає, що є дві базові схеми нарахування складних процентів: перша найбільш поширена - декурсивна схема з нарахуванням платежів % за звичайною ставкою наприкінці кожного розрахункового періоду; друга менш поширена - антисипативна (попередня або авансова) схема, коли платіж % за обліковою ставкою нараховується та додається до капіталу на початку кожного періоду конверсії. Якщо періоди конверсії є відповідно роком, півріччям, кварталом, місяцем, тижнем або днем, то відповідні % ставки називаються річними, піврічними, квартальними, місячними, тижневими або денними.
Для дискретного часу , початкового моменту і капіталу маємо такі закони динаміки (нарощення) капіталу для моментів часу за декурсивною (антисипативною) схемою складних процентів:
де і фактичні процентна і облікова ставки відповідно. Зауважимо, що формули (1) при певній інтерпретації, що буде приведена в подальшому, зберігаються і для моделей з неперервним часом. При цьому складні коефіцієнти нарощення акумуляції процентів визначаються рівностями
З формул (1) випливають корисні формули для визначення ставок і за величинами капіталу та тривалості розрахункового періоду :
Має місце такий принцип стабільності фінансового ринку: якщо не враховувати податки та інші надкладні видатки, то коефіцієнт нарощення на деякому проміжку часу є добутком таких коефіцієнтів, на які розбитий основний проміжок (ланцюгове правило). Очевидно, що загальне ланцюгове правило еквівалентно його виконанню два двох проміжків часу: при довільних
.
З ланцюгового правила випливає загальний вигляд коефіцієнтів нарощення в умовах змінної ставки процентів: якщо послідовні значення, що діють протягом проміжків часу тривалостей відповідно, то коефіцієнт за весь термін буде
.
Приклад 1. Нехай ставка за позикою є 30% плюс маржа (доплата на накладні видатки або комісійні) в 2% на квартал в перший рік та складає 40% плюс маржа 3% за півроку на другий рік. Тоді за два роки буде.
Нехай - ставка складних процентів за період нарахування в від основного періоду часу (напр. року) зі ставкою . Тоді для часу . Якщо є релятивною ставкою, що відповідає номінальній ставці , , то . Як відомо з математичного аналізу монотонно зростає по і має границю при довільному . Отже використання релятивної ставки замість номінальної при кратному зменшуванні періоду конверсії збільшує дохід інвестора для будь-якого періоду капіталовкладення.
Приклад 2. При річній номінальній ставці =6% квартальному періоді конверсії відповідає релятивна ставка =1,5%, яка дає нарощення за рік, тобто відповідає фактичній річній ставці =6,136%.
Приклад 3. Знайти період подвоєння початкової інвестиції при однаковій ставці простих і складних процентів і порівняти їх для різних. Покладаючи відповідні коефіцієнти нарощення рівними 2 має для простих процентів (з рівності ) і для складних - (з рівності ). Вибираючи =5,10,15,25,50,75, маємо такі порівняльні дані:
(у %) | 5 | 10 | 15 | 25 | 50 | 75 | |
20 | 10 | 6,7 | 4 | 2 | 1,33 | ||
14,2 | 7,3 | 5,0 | 3,1 | 1,7 | 1,24 |
Нехай термін інвестиції не є цілим числом, де - ціла частина , а - дробова частина. Тоді складні проценти за ставкою можна порахувати: 1) за загальною формулою
2) комбінованим методом (тобто для нараховуються складні проценти, а для періоду - прості):
Неважко встановити, що формула (5) дає більшу суму ніж (4) (тобто для депозиторів є вигідним метод 2), а для банків - 1).
Нехай - номінальна процентна ставка за базову одиницю часу (напр. рік), але період конверсії становить базової одиниці. Розглянемо сукупність еквівалентних їй номінальних ставок для , для яких відповідні релятивні ставки для періоду конверсії дають той же результат за базову одиницю, що й застосування : . Тоді сім`я ставок описується рівністю
Оскільки є реально діючою ставкою для базової одиниці часу при використанні ставок з періодом конверсії , то вона називається ефективною ставкою для сім`ї номінальних ставок і позначається як . При цьому очевидно, що
.
В загальному випадку, коли період нарахування процентів може і не вкладатися ціле число разів в базову одиницю часу (напр. рік), то ефективна ставка для ставки визначається формулою .
Для антисипативної схеми зі складною номінальною обліковою ставкою при нарахуванні процентів раз за базову одиницю часу сім`я номінальних ставок , для яких відповідні релятивні ставки еквівалентні d, задовольняють рівняння звідки ефективна облікова ставка для ставок має вигляд звідки
Розглянемо тепер динаміку зміни капіталу фінансового фонду, куди розміщений початковий капітал і наприкінці -го року вноситься додаткова сума , при умові використання коштів на інвестиції за річною ставкою .
є балансовим капіталом фонду наприкінці -го року. Враховуючи, що % дохід від балансу попереднього року є , маємо таке рівняння динаміки
Якщо помножити (8) на і просумувати по всім то отримаємо кінцевий капітал на рік :
Сучасна вартість (для =0) акумульованого капіталу підраховується дисконтуванням, тобто множенням (9) на , де - дисконт-фактор за ставкою . Тоді
.
Переписавши рівняння (8) у вигляді та підсумувавши це по знайдемо загальний приріст капіталу фонду
,
що складається з сумарного процентного доходу й суми всіх проміжних депозитів.
В ряді країн отримані (юридичними а іноді й фізичними особами) процентні дивіденди обкладаються податком , що зменшує нарощену суму. Нехай нарощена сума до сплати податку (tax-free) - , а після сплати і ставка податку на проценти є . Тоді після нарахування простих процентів з находимо, що
Тобто податок фактично зменшує процентну ставку з величини до величини .
В довгострокових операціях при оподаткуванні складних процентів можливі варіанти: 1) податок нараховується відразу за весь термін (на всю суму інтересу); 2) податки нараховуються послідовно наприкінці кожного року. У випадку 1) сума податку складає , а нарощена сума:
У випадку 2) сума податку змінюється з роками за законом
.
Досі в усіх випадках всі суми грошей вимірювалися за номіналом (на бралися до уваги зменшення реальної купівельної спроможності грошей через інфляцію). Інфляцію необхідно щонайменше врахувати у двох випадках : при розрахунку реальної нарощеної суми та при вимірюванні реальної ефективності ФО. Розглянемо ці проблеми.
Вимірювання купівельної спроможності грошей є однією з головних задач державної фінансово-економічної статистики і з цією метою обчислюється індекс цін (індекс росту споживчих цін). Якщо середній споживчий кошик в економіці включає назв товарів у кількостях , а ціна за одиницю товару в момент часу , то вартість кошику є . Індекс за час від до , є безрозмірною величиною , а темп інфляції за цей період є відносним приростом вартості попиту: . Звичайно темп інфляції вимірюється у процентах . Тоді . Середній індекс рангу цін та темп інфляції за проміжок в часових одиниць визначаються як
.
Оскільки інфляція є ланцюговим процесом (тобто ціна в поточному періоді підвищується на відносно рівня попереднього періоду), то
.
Якщо сталий очікуваний (або прогнозований) темп інфляції за період, то за періодів .
Тоді для реальної вартості нарощеної суми за час у випадку простої процентної ставки маємо, що
,
а у випадку складної процентної ставки
.
При буде “ерозія” капіталу, а при - реальне зростання капіталу. При у випадку простих процентів нарощення зі ставкою компенсує інфляцію.
Щоб запобігти знеціненню грошей застосовують корекцію ставки процентів на величину, що називається інфляційною премією; так скоректована ставка називається брутто-ставкою . У випадку простих процентів за ставкою ставку знаходять з умови рівності відповідних коефіцієнтів нарощення: або . Ставку в разі складних процентів знаходять з рівності або . На практиці часто останнім членом нехтують і покладають .
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
