Вступ до фінансової математики

мовірнісна модель відповідного ринку ринкових активів - ЦП включає: 1) - ймовірнісний простір, що описує множину станів ринку (при цьому елементарна подія відповідає певному стану ринку) 2) - сукупність активів (ЦП), які інвестор може залучити до портфелю; 3) ефективності цих ЦП, так що є ВВ, що характеризує відносну доходність ЦП ,

У інвестора є можливість обирати портфель з певної сукупності допустимих портфелів . Під портфелем розуміється -вимірний вектор , що характеризує розподіл початкового капіталу інвестора між активами, так що є часткою загального вкладення , що припадає на -тий вид ЦП, . При інвестор вкладає частку капілалу в -тий ЦП, а при він бере цей ЦП у борг в кількості - (на одиницю наявного капіталу), тобто бере участь у ФО типу short sale (“короткої продажі”).

Середньо-дисперсійний аналіз грунтується на використанні двох характеристик ВВ : їх середніх (математичних сподівань) , що інтерпретуються як сподівані ефективності (відносні доходності) вкладень в -тий ЦП, та їх дисперсій , що інтерпритуються як міри ризику вкладення в -тий ЦП. Часто замість використовують рівносильну характеристику - середньоквадратичне відхилення . Отже (або ) характеризують варіативності ефективностей вкладень у ЦП і загалом інвестор прагне обирати вкладення з якомога меншими .

Сутність середньо-дисперсійного аналізу полягає у дослідженні двох двоїстих критеріїв поведінки інвестора: 1) максимізації сподіваної ефективності за заданому рівні ризику; 2) мінімізації ризику, тобто показника , при заданому рівні ефективності . Отже такий аналіз досліджує пари . Загалом, щодо вибору між окремими видами ЦП, задача є типовою проблемою так званої багатокритеріальної оптимізації, що не має однозначно розумного розв'язання. Найпростіший принцип домінування, за яким найкращим є той ЦП , параметри якого задавольняють вимоги на практиці можливо застосувати дуже й дуже рідко, і, крім того, він не використовує взаємозв'язків між ефективностями ЦП. Як правило на реальних ринках інвестори мають справу з ситуаціями, де нема домінування. Наприклад, для двох ЦП, , є ситуація коли і (або але ). Вихід полягає у пошуках певних компромісних рішень, що полягають у оптимізаціях характеристик портфелю в цілому з використанням додаткової інформації про коваріаційні зв'язки окремих ЦП

Введемо такі характеристики, як загальна ефективність портфелю , що очевидно дорівнює сумі

сподівана ефективність портфелю



дисперсія ефекту портфелю

Зауважимо, що поряд з в аналізі портфелю також часто використовують коефіцієнти кореляції ,

Приклад 1. Нехай випадкові ефекти ЦП є некорельованими (зокрема взаємно незалежними), так що при . Тоді

Припустимо, що інвестор вклав свої гроші рівними частками = Тоді середній сподіваний ефект та ризик портфелю складуть величини

, .

Поклавши

маємо, що

.

Отже при зростанні кількості ЦП, що є статистично незв'язаними між собою, ризик ризик портфелю обмежений і прямує до нуля при (доцільно робити вкладення в більш різноманітні набори ЦП). Це наслідок відомого в теорії ймовірностей закону великих чисел. Але на практиці припущення незалежності ефектів окремих ЦП часто не виконується.

Приклад 2. Нехай інвестор може формувати портфель з 6 ЦП, сподівані ефективності й ризики яких відомі й задані наступною таблицею , а ефективності - некорельовані:

	1	2	3	4	5	6
	11	10	9	8	7	6
	4	3	1	0,8	0,7	0,7

Якщо інвестор вкладає капітал порівно в ЦП 1 і 2, то буде не набагато меншим, ніж при купівлі ЦП 1: , але буде меншим ніж у найменш ризикового з двох ЦП:

Наступна таблиця дає і портфелей, складених порівну з перших двох, трьох і т.д. ЦП, характеристики яких дані в табл.1.

n	2	3	4	5	6
	10,5	10	9,5	9	8,5
	2,5	1,7	1,23	1,04	0,87

Ясно, що диверсифікація (diversification) дозволила зменшити ризик майже втричі при падінні сподіваної ефективності на 20%.

Розглянемо тепер випадки залежності ЦП, що ілюструють вплив кореляції.

Приклад 3. Нехай всі (випадок прямої кореляції). Тоді

При рівномірній диверсифікації маємо, що

тобто ризик портфелю є середнім арифметичним ризиків окремих ЦП, і, отже, якщо , то діє така двохбічна оцінка ризику портфелю: .

Значить при повній кореляції диверсифікація не дає позитивного ефекту: ризик не зменшується при . Додатня кореляція між ефективностями ЦП має місце, коли їхні ринкові курси визначаються тим же самим фактором , причому він впливає на них в один бік. Наприлад, нехай зміна курсової оцінки акцій електричної і транспортної компаній і пропорційні зміні цін на нафту . Тоді ефективності гри на курсах цих компаній , де - початкові ціни акцій. Отже диверсифікація закупівлею обох типів акцій марна: ефективність портфелю випадкова й обумовлюється випадковістю цін нафти.

Приклад 4. Нехай є повна зворотня кореляція . Для розуміння сутністі досить розглянути портфель з двох ЦП (n=2). Тоді маємо, що

Отже, якщо , то (тобто портфель є безризиковим). Наприклад, при безризиковим буде портфель, в якому на кожні 3 ЦП виду 1 приходиться 2 ЦП виду 2.

Загальний висновок: при повній зворотній кореляції ЦП можливий такий розподіл вкладень між окремими видами ЦП, що ризик повністю знімається. Практично ж повна зворотня кореляція між ЦП є досить рідким явищем.

5.2 Задачі формування оптимального портфелю ЦП Марковітца та Тобіна

Задача формування оптимального портфелю Марковітца полягає у виборі часток ризикових ЦП в портфелі інвестора при відомих сподіваних ефективностях та коваріаціях всіх цих ЦП, які мінімізують ризик портфелю при заданому рівні його сподіваної ефективності . Припускаючи, що коваріаційна матриця векторів ефективностей ЦП є строго додатньо визначеною (так що і існує обернена матриця ) маємо таку задачу опуклого квадратичного програмування:

Є дві форми цієї задачі Марковітца: перша - більш проста для аналітичного дослідження- коли припускаються операції short-sale при купівлі ЦП (це означає, що нема додаткових умов на знаки величин ) і друга - більш складна, коли не дозволяються операції short sale (тобто всі ).

Якщо ввести вектор-стовпчик , вектор-стовпчик і одиничний вектор-стовпчик 1 розмірності , що складається з одиниць, то задачу (1) можна записати в більш короткій матричній формі:

де позначає операцію транспонування, так що є вектор-рядком

При припустимості операцій short sale відсутні додаткові обмеження на вектор і екстремальна задача (2) легко розв'язується застосуванням стандартного методу множників Лагранжа. Позначимо через функцію Лагранжа задачі (2): , де і - множники Лагранжа. Умова екстремуму дає рівняння звідки оптимальний портфель має вигляд

Підставляючи (3) до обмежень задачі (2) маємо два лінійних рівняння для знаходження невідомих множників Лагранжа і :

Розв'язавши (4) відносно і і підставивши знайдені значення і до виразу (3) знайдемо явний вираз оптимального портфелю

де

Зауважимо, що отриманий розв'язок (5) є лінійним відносно . Звідси випливає, що дисперсія портфелю є опуклою (вниз) функцією від , і таке ж твердження є справедливим і для ризику

При неможливості інвестора брати участь в операціях short sale (купляти ЦП в борг) до задачі (2) слід приєднати обмеження нерівність невід'ємності припустимих векторів

В такому разі уявлення про властивості розв'язку задачі (2) можна отримати застосовуючи загальну теорему Куна-Таккера про умови екстремуму загальної задачі опуклого програмування, що є фактично узагальненням методу Лагранжа. За деталями теореми Куна-Таккера і наступних, заснованих на ній результатах, ми посилаємо зацікавленного читача до книг [18] і [19]. В цілому сутність методу полягає в тому, що вводяться додаткові множники Лагранжа , де множник відповідає нерівності Розв'язок задачі (2), (7), виражений через ці множники має вигляд

де і визначаються рівностями

а множники і вектор задовольняють умови так званої “додаткової нежорсткості”

тобто або або При зміні змінюється й число змінних , що дорівнюють нулеві, але інші змінні визначаються з лінійної системи рівнянь, в яку входить лінійно. Ця властивість призводить до кусково-лінійної залежності в будь-якому діапазоні зміни . Залежність ризику від для задачі (2), (7) залишається опуклою, причому виконується природня властивість, за якою при більшій свободі правил гри можна досягти кращіх результатів (крива ризику при дозволі short sale лежить нижче ніж крива ризику при забороні short sale - рис.1).

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19