Вступ до фінансової математики

p align="left">Тепер розглянемо оцінку внеску кожного ЦП, що входить в оптимальний портфель , у загальну сподівану його ефективність. Відповідні результати належать учню Г. Марковітца - У. Шарпу))* Шарп Уїльям (н. 1934) американський вчений в галузі математичної економіки, лауреат нобелевської премії з економіки 1990 р.*.

Ефективність оптимального портфелю в моделі Тобіна є ВВ, що має вигляд

де - ефективність -того ризикового ЦП. Звідси, врахувавши, що , знаходимо

Введемо величини що називаються “бета внеску і щодо оптимального потфелю”, рівностями

Враховуючи рівність (3) маємо, що

(остання рівність в (4) є наслідком рівностей (15) і (13) попереднього параграфу.) Звичайно рівність (4) подається у вигляді або у скалярній формі

Величину можна трактувати як премію за ризик при вкладенні коштів в -тий ринковий ЦП під час формування портфелю. Рівність (5) означає, що ця премія за ризик пропорційна з коефіцієнтом (“бетою внеску щодо оптимального портфелю”) премії за ризик , пов'язаною з портфелем в цілому, . При цьому

Чим більша “бета” ЦП , тим вища частина загального ризику, пов'язана з вкладенням саме в цей ЦП. Разом з тим, чим більше тим вища й премія за ризик. Далі в моделі САРМ ми переконаємось у важливості поняття “бета внеску” для теорії й практики аналізу фінансового ринку в цілому.

5.4 Статистика ринку цінних паперів

Цілью портфельного аналізу фінансового ринку є розробка рекомендацій для інвесторів щодо вибору ЦП, в які слід вкладати капітал, та розмірів цих вкладень. Застосування теорій портфелю потребує знання вектору математичних сподівань та матриці коваріацій ефективностей ЦП. Звідки їх брати? Або, як їх знаходити, за наявною інформацією? Відповідь дає статистика ринку ЦП й відповідні статистичні методи оцінки та .

Якщо є дані про ефектності активів (ЦП) за моментів часу, що передують проміжку часу формування портфелю з цих ЦП та його реалізації, то маємо таку базу спостережень де - значеня ефективності -того ЦП для моменту Тоді за оцінки та беруться їх стандартні статистичні оцінки у вигляді вибіркових середніх та вибіркових коваріацій

При звичайних припущеннях про статистичну незалежність спостережень оцінки (1) є незміщенними та консистентними оцінками параметрів та , які можна використовувати як експериментальні значення та при портфельному аналізі інвестицій.

Але при намаганні вимірювати найбільш точно з врахуванням виплати дивідендів за акціями за періоди часу можуть виникати труднощі з наявністю бази спостережень, достатньої для формування всіх оцінок (1), бо дивіденди сплачуються відносно рідко - раз на квартал. Тому досить часто вдаються до іншого статистичного методу оцінювання параметрів портфелю- так званого методу провідних факторів. В якості таких факторів беруться чинники, що переважно визначають всі показники. Наприклад в галузях економіки, що істотньо залежать від використання нафти як енергоресурсу, таким визначальним (провідним ) фактором буде ціна на нафту.

Нехай є один провідний фактор , що ефективності всіх вкладень залежать від нього. Тоді будуються найпростіші лінійні моделі залежності від : які дають змогу знайти оцінки найменших квадратів (МНК - оцінки) параметрів та в схемах регресії

де - випадкові похибки спостережень . При цьому МНК-оцінки параметрів лінійної регресії знаходяться з умов мінімізації функціоналів сумарних квадратичних відхилень

по та

Умови екстремуму призводять до таких оцінок параметрів регресії:

Де

тобто та є статистичними оцінками сподівань для і , є оцінкою коваріації та фактору а - оцінкою дисперсії самого фактору. В схемі парної регресії (2) важливу роль також грають оцінки дисперсії похибок Вони мають вигляд

та є незміщенними оцінками при

Отже при виконанні методу одного провідного фактору в задачі статистичного оцінювання параметрів ЦП потрібно загалом оцінити величин, величин , дисперсій , а також сподівання й дисперсію самого фактора і тобто всього параметрів. Оцінити таку кількість параметрів по значенням, що містяться в історіях (за періодів) провідного фактору і всіх ЦП, значно простіше та надійніше чим напряму оцінювати величин та як це робилося спочатку параграфу (особливо враховуючи недостатню кількість даних, якщо точно враховувати ефективності ) приймаючи до уваги виплати по ЦП в періодах типу дивидендів.

При цьому всі параметри ринку ЦП та , легко обчислити через вказані параметри та Дійсно відповідно до моделі регресійної залежності (2) маємо, що звідки

тобто за оцінки можна взяти величини . Далі

звідки

а для коваріацій маємо

Отже з (6) і (7) маємо такі оцінки і :

Сам ринок ЦП вказує безпосередньо шлях вибору провідних факторів, що обумовлюють його поведінку. Це зводні індекси фондових ринків типу складного індексу Доу-Джонса (The Dow Jones Composite Average Index- DJCAI), індексу “Стендарт енд пурз” (S&P500), що характеризують усереднений рух курсів акцій провідних компаній. На українському ринку ЦП за провідний фактор можна взяти український фондовий індекс ПФТС.

Досвід розрахунків, що здійснювалися фінансовими аналітиками протягом довгого часу, показує що найбільш важливим провідним фактором фондового ринку є виличина, що називається ефективністю фондового ринку і визначається як зважена (з врахуванням капіталу) сума ефективностей всіх ризикових ЦП, що фігурують на ринку (за винятком неістотніх ЦП короткодіючих дрібних корпорацій). Згідно до цього основні співвідношення статистики фондового ринку приймають вигляд

З (9) випливає, що кожного ЦП і складається з “власної” компоненти, що не залежить від поведінки ринку і “ринкової” компоненти. Їхнє співвідношення часто позначається як ( - squared) і характеризує частку ризику даного активу , що вноситься невизначеністю ринку в цілому. Воно тим вище, чим вище бета цього активу.

Зручно відраховувати сподівану еефективність від ефективності безризикового вкладу . Перевищення є премією за ризик. Перепишемо (8) у вигляді

Тоді премія за ризик лінійно залежить від премії за ризик, що складається на ринку в цілому, , плюс так звана - вкладення .

Оцінка параметрів, що входять в основну статистичну модель фондового ринку (тобто параметрів “альфа” і “бета” кожного активу та) є статистичною проблемою, яка розв'язується методами описаними вище, шляхом прийняття за провідний фактор і використання МНК - оцінок

де - вибіркові середні ефективностей, що спостерігалися, і оцінка дисперсії - оцінка коваріації і :

Для обчислення оцінки величини використовується формула

де останній вираз є оцінкою “власних” варіацій ЦП

Іноді використовуються поправки до “історичних бета” на основі аналізу впливу інших факторів. Наприклад, статистичні дослідження фондового ринку США показали, що досить ефективною є формула

де - параметр, пов'язаний із сектором економіки, якому належить корпорація - емітент ЦП ( для базових галузей і - для транспорту), , а - відображає вплив розміру корпорації на оцінку бета і Формула (13) свідчить, що залежність акцій від поведінки ринку різна для різних галузей і що курс акцій більш великих корпорацій менш чутливий до коливань ефективності ринку.

5.5 Практичні застосування портфельного аналізу

Підсумовуючи міркування попередніх параграфів, наведемо загальну геометричну інтерпретацію методології практичного застосування портфельного аналізу й вибору оптимального портфелю, а також числові приклади застосувань теорій Марковітца та Тобіна.

Нехай на фондовому ринку з трьома типами акцій діють два інвестори , які прагнуть сформувати оптимальні портфелі, керуючись різними функціями корисності в площині характеристик можливих портфелей з координатами сподіваних ефективностей і ризиків . На ринку є безризиковий актив з ефективністю Інвестори виробляють рішення починаючи з розв'язання задачі двохкритеріальної оптимізації:

керуючись критерієм Парето векторної оптимізації, знаходячи множину всіх Парето-оптимальних припустимих портфелів (тобто таких портфелів , для яких не існує таких припустимих портфелів для яких , причому хоч одна з цих нерівностей є строгою). Остаточний вибор оптимального портфелю інвестор робить за допомогою максимізації своєї корисності в множині Парето-оптимальних портфелів: Крім того, нехай ще є інвестори, які керуються при виборі оптимального портфелю підходами Марковітца й Тобіна.

Загальна геометрична інтерпритація описаної ситуації різних підходів вибору оптимального портфелю зображена на рис.1, де 1) фігура АВСМ - відповідає множині припустимих портфелей (); 2) точкам А,В,С відповідають портфелі, що складаються тільки, відповідно, з акцій А, В, С; 3) дуга МС відповідає множині Парето-оптимальних (ефективних) портфелів; 4) - оптимальні портфелі, що вибирає інвестор , функція корисності якого характеризується кривими байдужості (лініями рівня функції ) ; 5) К-оптимальний портфель, що складається тільки з ризикових ЦП, при умові наявності безризикового ЦП з ефективністю 6) - пряма, що відповідає множині оптимальних портфелей з часткою безризикових ЦП 7) - множина оптимальних портфелей з від'ємною часткою безризикових ЦП (), тобто взятих у борг, за рахунок чого можливе формування портфелю із заданою ефективністю (будь-якою), але і з великим ризиком.

Приклад 1. Розв'язати задачу Марковітца формування оптимального портфелю з 3-х ЦП із заданою сподіваною ефективністю якщо дані статистики ринку приводять до наступних параметрів ЦП:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19