Вступ до фінансової математики
p align="left">а) б) Рис.1. Множина CCG.
З іншого боку, множина стратегій рSF індукує множину графіків термінальних капіталів (Terminal Values Graphs), див. рис.2.
Рис.2. Множина TVG.
Ринок називається повним, якщо CCG=TVG. В противному разі ринок неповний. Інакше, - ринок є повним тоді і тільки тоді, коли будь-яке платіжне зобов'язання може бути реклікованим, тобто існують такі x і , що.
Позначимо через ціну (value) у момент платіжного зобов'язання (інакше ціну деривативу з виплатами по ньому в момент , що визначається функцією ). Головна проблема тут полягає у знаходженні опису стохастичного процесу у термінах - ринку. Евристичний принцип такого опису складається з двох ідей: по-перше величину платіжного зобов'язання потрібно дисконтувати за допомогою без ризикового активу: тобто розглянути ; по-друге прийняти за раціональне (справедливе) значення усереднену величину, що дорівнює умовному сподіванню . Перша ідея не викликає заперечень, бо дисконтуванням досягається вимірювання вартості у різні моменти часу в тих самих одиницях. Друга ідея може бути предметом дискусії, бо неясно чому усереднення повинно здійснюватися відносно первісно заданої “фізичної ” ймовірності . Більш того, будь-яка інша імовірнісна міра на просторі визначає свій “ імовірнісний характер ” - ринку. Ясно, що нейтральний до ризику, стійкий характер ймовірності, що обирається для усереднення, обумовлює природність ціни платіжного зобов'язання. Отже евристичний принцип опису потрібно виправити вибором більш підходящого імовірнісного характеру ринку, що визначається деякою мірою . Тут для того, щоб уникнути втрати суттєвих рис ринку (“виродження” його характеру) потрібно вважати міри і - еквівалентними. Ці міркування призводять до принципу безарбітражності при визначенні ціни . Втілення цього принципу реалізується у наступні загальні факти, що є дещо обрубленою формою фундаментальних теорем теорії арбітражу та повноти стохастичної фінансової математики.
Теорема А. - ринок не дозволяє арбітражних можливостей тоді і тільки тоді, коли існує імовірнісна міра , еквівалентна , така, що процес дисконтованих цін ризикового активу є мартингалом відносно , тобто для всіх (тут позначає сподівання відносно міри ).
Подібна міра називається мартингальною. Оскільки мартингал є в середньому сталим, то міра немов би нейтралізує ризиковість активу . Тому називається також ризик - нейтральною мірою - ринку.
Теорема В. На повному безарбітражному - ринку ціна будь-якого платіжного зобов'язання визначається єдиним чином тоді і тільки тоді, коли мартингальна міра єдина.
Дійсно, якщо таких мір дві , то визначені дві ціни зобов'язання , котрі повинні співпадати, що означає рівність . Навпаки, відносно єдиної мартингальної міри ціна визначається однозначно, як .
В результаті маємо такий загальний принцип розрахунку платіжних зобов'язань на повних ринках:
Теорема С. Нехай на повному - ринку - єдина мартингальна міра і ціна зобов'язання визначається як . Тоді утворює єдину систему цін, при якій відповідний розширений ринок не дозволяє арбітражних можливостей. Більш того, існує така стратегія , що репліціює і при всіх .
Це твердження означає можливість редуціювати до нуля ризик, пов'язаний з будь-яким платіжним зобов'язанням на повному ринку.
В наступних параграфах наводяться класичні моделі ціноутворення опціонів покупця на повному - ринку.
6.2 Модель Башельє ціни опціону колл європейського типуФранцузький математик, учень А.Пуанкаре, Луї Башельє (Louis Bachelier, 1870 - 1946) був першим, хто зробив спробу математичного опису динаміки коливань вартостей акцій (на паризькому ринку) на базі теорії ймовірностей. У своїй дисертації “Teorie de la spe'culation” (Теорія спекуляцій), надрукованій у 1900 р. в “Annales scien. de l'Ecol Normale Superieure”, том 17, с. 21- 86, він запропонував розглядати як випадковий процес.
Аналізуючи експериментальні дані про ціни (з інтервалом часу ) Башельє помітив, що прирости мають (в статистичному смислі) приблизно нульове середнє та флуктуації порядку . Подібну властивість має випадкове блукання виду , де незалежні однаково розподілені випадкові величини (НОРВВ) приймають два значення, , з імовірностями . Граничний перехід при призводить в силу багатовимірної центральної теореми до випадкового процесу цін , де є не чим іншим як розглянутим Башельє процесом броунівського руху, тобто гауссівським випадковим процесом , що має нульове середнє і кореляційну функцію. Процес повністю характеризується тими властивостями, що це є гауссівський процес з незалежними приростами, для якого для всіх .
Відомі фізичні дослідження А.Ейнштейна і М.Смолуховського 1905-1906 років показали, що стохастичний процес , вперше збудований Башельє, може слугувати математичною моделлю еволюції кожної фіксованої координати при хаотичному русі частинки колоїдного (дуже малого) розміру, поміщеної у рідину чи газ, під дією теплового руху молекул середовища. Явище подібне хаотичному руху вперше було зафіксоване англійським вченим Р.Броуном в 1827 році і одержало назву броунівського руху. Математично строгу (сучасного рівня) теорію процесу збудував в 1923 р. американський математик Н.Вінер, який зокрема розглянув цей процес як спеціальну міру в просторі неперервних функцій (так звану вінерівську міру). В подальшому процес отримав також назву стандартного вінерівського процесу на честь Н.Вінера.
Відправляючись від процесу Бащельє отримав формулу для сподівання з , що з сучасної точки зору (в припущенні, що неперервна ставка (сила росту ) банківського рахунку нульова) є справедливою ціною опціону - колл (премію за опціон), котру його покупець сплачує його продавцю, що зобов'язався продати покупцю акції в момент виконання за ціною виконання :
де і відповідно функція розподілу і щільність розподілу стандартної нормальної ВВ:
З сучасної точки зору потрібно дещо скоректувати модель динаміки ціни акції Башельє записавши її у формі стохастичного диференціалу
де - параметр зносу (тренду) процесу в часі, а - параметр мінливості (волатильності - volatility) ціни. Подібна модель (3) отримала назву арифметичного (фінансового) броунівського руху .Для такої скоректованої моделі принцип безарбітражності дає для ціни опціону покупця формулу , де має вираз (1), а усереднення робиться відносно мартингальної міри
.
На закінчення, зауважимо, що при формула Башельє дає ціну опціону , що характеризує зростання раціональної вартості опціону із зростанням часу виконання .
6.3 Модель Блека - Шоулса вартості опціону покупця європейського типу
В 1965 р. Пол Самуельсон, вивчаючи фінансові ринки, запропонував так звану експоненційну модель динаміки - ринку, що складався з безризикового активу і ризикового активу , в якій відповідні процеси цін і мали форму
де - неперервна процентна ставка (сила росту) для активу , - стандартний вінеровський процес, і - параметри знесення й волатильності вартості активу . Підкреслюючи важливість процесу виду (1), Самуельсон назвав його економічним броунівським рухом. З точки зору теорії випадкових процесів він є неперервним марківським процесом дифузійного типу. Подібні процеси були вивчені в термінах перехідних імовірностей та відповідних аналітичних характеристик А.Н.Колмогоровим. В подальшому К.Іто розвинув підхід до вивчення вказаних процесів на основі запропонованого ним апарату стохастичних диференціальних рівнянь (рівнянь Іто).
Модель Самуельсона (1) може бути переписана у еквівалентній формі диференціальних рівнянь динаміки цін - ринку.
де друге рівняння є стохастичним диференціальним рівнянням Іто. Теорія рівнянь Іто описана в стандартних підручниках з випадкових процесів ([2], [3], [16]) і через недиференційованість процесу в звичайному розумінні (у існує тільки узагальнена похідна , що є узагальненим стаціонарним процесом зі сталою спектральною щільністю, яка в технічних застосуваннях теорії випадкових процесів називається гауссівським білим шумом) використовує в якості основного аналітичного апарату так звані стохастичні інтеграли Іто, які в нашому випадку (2) є інтегралами виду , для яких і . Зокрема, рівняння (2) для означає, що для будь-яких
Процес виду (2) або (3) зараз називається геометричним броунівським рухом.
В 1973 р. Ф.Блек і М. Шоулс (F.Black, M.Scholes) в своїй знаменитій роботі “The pricing of options and corporative liabilities”, надрукованій в журналі “Journal of Political Economy”, vol.81, №3, р. 637-659 одержали формулу для вартості опціону покупця європейського типу для (B,S) - ринку виду (2), яка отримала назву формули Блека - Шоулса. Виведення цієї формули базувалося на отриманому ними диференціальному рівнянні в частинних похідних для вартості опціону.
Коротко наведемо доказ Блека - Шоулса відповідної формули. Нехай шукана вартість опціону на ризиковий актив з ціною виконання і часом виконання . Розглянемо портфель, що складається з опціону на купівлю і деякої кількості активу (акції). Тоді витрати на придбання такого портфелю складали суму . Нехай в будь-який момент часу курс відомий і змінюється в залежності від , так що ціна портфелю , не залежить від курсу, тобто
.
Тоді поточна ціна портфелю буде
.
Ефективність такого портфелю за нескінченно малий проміжок часу буде складати величину
Застосувавши формулу Іто стохастичного диференціювання складної стохастичної функції (див., напр. [2], [3], [16]) маємо, що
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
