Вступ до фінансової математики

2.1 Базові моделі нарахування процентів

Фактор часу грає дуже важливу роль у фінансових операціях (ФО). Тому моделі ФО є динамічними, що розділяються на моделі з дискретним часом, коли час фігурує у вигляді послідовності деяких моментів, і на моделі з неперервним часом, коли час змінюється неперервно на деякому проміжку (скінченому або нескінченному). В залежності від напрямку течії часу в процесі, що описується моделлю, розрізняють моделі з прямим часом та зворотнім часом. При моделюванні звичайно вважається, що час вимірюється в деяких зарані фіксованих одиницях (рік, місяць, день тощо).

Нехай стан фінансів на момент часу , що може змінюватися на дискретному або неперервному часовому проміжку , позначається як і є сумою грошей фінансового агента на момент . Тоді для характеризації ефективності ФО (угоди, контракту) застосовують такі показники як відносне зростання або дохід (ставка - interest rate, return) та відносна знижка (або дисконт - discount rate) , що визначаються формулами:

Вони показують відносний приріст капіталу до його початкового значення (дохід або інтерес) та до кінцевої суми (дисконт). З виразу (1) випливають наступні формули зв'язку введених величин:

Формули (3) показують, що фінансову угоду можливо характеризувати як ланцюг “початкова сума - ставка - кінцева сума”, або як “кінцева сума - дисконт - початкова сума” (в схемі зі зворотнім часом). Моделі (2)-(4) також часто характеризують з допомогою таких показників як дисконт-фактор та коефіцієнт нарощення :

Зауважимо, що часто в практиці фінансів та виражають у процентах, помножуючи відповідні величини на 100%. Це пояснює застосування термінів “ставка проценту” замість зростання, процентний цінний папір замість позичкового зобов'язання, процентщик замість лихвар.

Приклад 1. Якщо грошовий кредит наданий на один рік у сумі 1 млн. грн. з умовою повернення 2 млн. грн., то відносний дохід (ставка) складає 1(або 100%), а дисконт - Ѕ (або 50%). Якщо кредит надано у сумі 3 млн. грн. зі ставкою 50%, то через рік доведеться повертати 4,5 млн. грн.. Якщо ж кредит виданий з умовою повернення через рік 3 млн. грн. з дисконтом 20%, то дебітор отримає 2,4 млн. грн.. При цьому дисконт-фактор буде 0,8.

Звичайно в умовах фінансової угоди вказують ставку або дисконт за певний базовий період часу, протягом якого здійснюється виплата прибутку (період конверсії або капіталізації прибутку (інтересу)). Найчастіше базовим періодом є рік, іноді - півроку, квартал, місяць, день. Тоді відповідну виплату за період часу протяжністю в базових періодах обчислюють за певними правилами, що випливають з умов угоди. Практично застосовують дві схеми простих процентів (simple interest), або дві схеми складних процентів (compound interest), приймаючи у 1-му випадку і (лінійні функції часу з коефіцієнтами і, що називаються процентною ставкою і обліковою ставкою за період конверсії), а у 2-му випадку, покладаючи

де - (складна) ставка проценту, а - (складна) облікова ставка. Зауважимо, що фінансовий термін “процент” походить від латинського виразу pro centum, що в перекладі означає “на сто” (тобто соту частину цілого), що передається синонімічним терміном “відсоток”. Але термін “відсоток” не вживається у фінансовій практиці, де загальноприйнятим міжнародним терміном є “процент”.

Таким чином в схемах з процентною ставкою ( звичайною ставкою %) з дискретним часом , коли одиниця часу є періодом конверсії сума в разі простих процентів змінюється як арифметична прогресія

а в разі складних процентів - як геометрична прогресія

Для схем з обліковою ставкою маємо в разі простих і складних процентів відповідно формули

або

Сучасна практика фінансових ринків дає велику різноманітність величин процентних ставок і по різним типам кредитів, вкладень грошей та іншим ФО. Виникає питання чому взагалі сплачуються проценти і чому існують різні процентні ставки? Гроші приносять вигоду й добробут не самі по собі, а лише як засіб обміну, коли за них купуються реальні блага (товари й послуги). Вкладаючи або інвестуючи гроші економічний агент відмовляється від можливості обернути їх в реальні блага, що дають пряму користь, втрачаючи потенціальну користь, що вимагає певну часову компенсацію. Інвестиції ведуть до невизначеності відносно майбутньої вартості інвестованих грошей через можливі типи ризиків, що можуть зменшувати вигоду або добробут. До основних фінансових ризиків належать ризик втрати купівельної спроможності грошей або інфляційний ризик, ризик невиконання зобов'язань через не передбачувані обставини, ризик втрати потенційних вигод у майбутньому. Це дає позитивну часову перевагу ( positive time preference) для грошей, коли економічні агенти віддають перевагу наявним грошам перед обіцянками надати їх пізніше.

Проценти виражають інтерес (чистий дохід, прибуток) власника грошей від ФО, що компенсує його видатки на операцію і неможливість задовольняти позитивну часову перевагу грошей при їх альтернативному використанні (усереднено компенсує можливі ризики, вказані вище) . Різні величини процентних ставок враховують різні ступені можливих в майбутньому ризиків. Так наприклад, якщо іпотечна позика (позика під матеріальну заставу) надається під річну ставку =7%, то банківський овердрафт (позика у формі дозволу перевищувати суму грошей на банківському рахунку клієнта) навіть для досить надійних клієнтів має ставку =22%.

Порівняємо наслідки користування схемами простих та складних при тих же самих процентних ставках.

Приклад 2. Сума депозиту (банківського вкладу) дорівнює 100 тис. грн. При ставці =30% річних. Визначимо нарощену вартість депозиту за простими і складними процентами за ряд періодів часу з Ѕ,1,2,5,10,20 років. Використовуючи формули (7), (8) будемо мати результати, що надані в наступній таблиці (в тис. грн.).

Переходячи у формулах (7) і (8) до неперервного часу при і використовуючи біноміальний розклад для, легко отримати такі порівняльні результати:

при ,

при .

(при =1 очевидно результати співпадають).

Це дає такі фінансові висновки: 1) при періоді часу меншому року прості проценти більш вигідні кредитору (банку); 2) при рік схеми простих і складних процентів дають однакові результати; 3) при складні проценти більш вигідні кредитору (банку). Такий висновок пояснює поширеність у фінансовій практиці простих процентів зі звичайною ставкою для періодів часу менших року і складних процентів при року.

Задача. Порівняти нарощені суми для різних періодів часу в схемах простих і складних процентів з обліковою ставкою . Порівняти нарощені суми для процентних схем з процентною ставкою і обліковою ставкою при умові рівності .

2.2 Застосування простих процентів

Схеми простих процентів є поширеною фінансовою моделлю при позичально-кредитних операціях з терміном, що не перевищує року. До подібних ситуацій відносяться операції короткострокового банківського й ломбардного кредиту, споживчого кредиту, ведення поточних банківських рахунків тощо. Якщо в моделі з дискретним часом період конверсії співпадає з обраною одиницею часу, то відповідні ставки і називаються фактичними, а якщо період конверсії не співпадає з базовою одиницею часу, то ставки називається номінальними (вони умовно відносяться до одиниці часу). Звичайно в практичних ситуаціях в базовій одиниці часу вкладається ціле число періодів конверсії. Тоді для розрахунків застосовують так звану релятивну процентну ставку r/m або релятивну облікову ставку d/m, так що відповідні формули набувають вигляду

або ,

де час вимірюється в нових одиницях, що дорівнюють періоду конверсії.

Приклад 1. Нехай є початковий капітал в 1 тис. грн. Покладений на депозит з номінальною річною ставкою =6% з квартальним нарахуванням процентів. Тоді релятивна ставка є 1,5% сплачується наприкінці кожного кварталу, так що за півроку капітал зросте до 1,03 тис. грн.

Складніше стає ситуація коли періодом конверсії стає день. Тоді або протяжність року приймається за 360 днів (12 місяців однаковою протяжністю в 30 днів) і в цьому разі прості проценти називають звичайними, а якщо рік вимірюється фактичною кількістю днів (365 для звичайного і 366 для високосного року), то відповідні проценти називаються точними.

Отже виникає 4 схеми розрахунків простих процентів: 1) точні проценти з точним числом днів (ця найбільш точна схема застосовується, наприклад, у банках Великобританії, США, Португалії); 2) звичайні проценти з точним числом днів (Франція, Бельгія, Іспанія, Швейцарія); 3) звичайні проценти з наближеним числом днів (найменш точна схема, що застосовується в Німеччині). Схема точних процентів з наближеним числом днів - практично не застосовується.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19