Вступ до фінансової математики

p align="left">Розглянемо випадок, коли всі компоненти платежів за період мають ту ж інфляцію з прогнозною ставкою (темпом) за базову одиницю часу. Припустимо, що всі платежі індексуються із врахуванням , так що прогнозні оцінки

, i

для параметрів дискретно-неперервного потоку платежів приймають вигляд:

, .

Тому дисконтована на момент 0 вартість потоку платежів при ставці за базову одиницю часу складає

де визначаєтсья рівністю

,

тобто можна інтерпретувати як ставку % із врахуванням інфляції, причому при інвестиції не мають смислу.

Якщо ж причому та достатньо малі (наприклад, не перевищують 0,05-0,1), то з порівняння формул (2) та (1) з 3.5. дають

де справа інфляцію враховано переходом від до .

Позначаючи IRR в лівій частині (4) через , а справа через маємо

.

Звідки , де ставка доходності проекту без врахування інфляції. Якщо досить мале, то .

На закінчення зробимо декілька загальних зауважень про методику вибору інвестиційного проекту.

Подані чотири фінансових показники ефективності проектів не дозволяють однозначно вибирати один з можливих варіантів інвестувань. Тому застосовуючи такий підхід.

Перш за все всі суми, що враховуються вивільняють від податків. Потім, якщо для фірми особливо важливий період окупності, то спочатку на його основі відхиляють всі неприпустимі варіанти. Якщо цей показник не важливий, то його зовсім не застосовують. Далі застосовують два з трьох показників, , IRR та норму рентабельності. Аналітики фірми на основі досвіду фірми ранжують ці показники. Наприклад, в США частіше за все віддають перевагу парі IRR-, а на другому місці пара -IRR. Якщо ж при виборі проекту за допомогою обраної пари зустрічаютсья помітні розбіжності, то застосовують ще й третій показник або проводять поглиблений аналіз проблеми.

Західний досвід показує, що крупні фірми використовують висвітлений апарат фінаналіза значно частіше, ніж дрібні. (для дрібних фірм проекти є дрібномаштабними та більш очевидними для аналізу).

Задачі та вправи

1. Визначити нарощену наприкінці 6 року суму від постійної ренти постнумерандо з членом 15 тис. грн. при ставці в 20% річних.

2. Яку суму необхідно внести у банк (пенсійний фонд), щоб довічно одержувати наприкінці кожного року ренту в 10 тис. грн. при річній ставці 5%?

3. Правило об'єднання рент: знаходяться PV рент складових і підсумовуються, а потім підбирається рента сума з такою ж PV і потрібними іншими параметрами. Знайти ренту суму для двох річних рент: перша терміном 5 років з членом 1000, а друга -5 і 800. Річна ставка - 8%.

4. В суді з'ясувалося, що з вини Пенсійного фонду пану N протягом 10 років недоплачували 100 грн. пенсії щомісячно. Суд зобов'язав фонд виплатити гроші з процентами (12% річних). Яка сума виплати?

5. Чи може PV скінченої річної ренти бути меншою її річного платіжу.

6. В потоці платежів дозволяється переставляти платежі. Як їх потрібно переставити, щоб потік мав найбільшу PV? Чи має це якесь практичне значення?

7. Інвестиційний проект передбачає початкову інвестицію в 4000 грош. од. З наступним грошовим доходом при 8% в 1000 г.о., термін проекту - 6 років. Знайти NVP та термін окупності.

8. Розглянути задачу створення з доходів фонду для погашення інвестиційного кредиту. При цьому в банку береться кредит під проект зі ставкою i, доходи від проекту розміщуються в інший банк з більшою ставкою j. Розрахувати підсумкові характеристики (необхідні дані - за вашим розсудом).

Глава 4. Проблеми оцінювання цінних паперів і моделювання динаміки їх вартості

4.1 Цінні папери. Оцінювання акцій і парадокс Модільяні-Міллера

Цінні папери (ЦП) є найважливим класом сучасних фінансових інструментів, які представ-ляють грошові документи, що підтверджують право володіння або кредитних відносин й ін-ших фінансових зобов'язань і визначають взаємовідносини між їхнім емітентом та власни-ком , а також, як правило, передбачають виплату доходу у вигляді дивидентів або процентів і можливість передачі грошових й інших прав, що випливають з цих документів третім осо-бам. Звичайно ЦП поділяють на 3 класи: 1) пайові ЦП ( різні типи акцій); 2) боргові зобов'язання (облігації, сертифікати, векселі); 3) похідні ЦП або деривативи (форвардні контракти, фьючерси, опціони). Акції - це ЦП, які випускаються акціонерним підприємством (товариством) - звичайно це компанія або корпорація - і дають право: 1) на частку основного (статутного) фонду підприємства; 2) на одержання частки доходу від діяльності підприємства; 3) на участь в управлінні підприємством. Боргові зобов'язання підтверджують позичкові відносини між інвестором (кредитором) та емітентом (особою, що випустила документ). Деривативи закріплюють право їх власника на продаж або купівлю основних ЦП або деяких стандартизованих товарів в майбутньому.

Акції є ЦП без встановленого строку обігу, який свідчить про внесення акціонером коштів на здійснення діяльності підприємства, дає йому право брати участь в розподілі прибутків й управлінні; розподілі залишків підприємства в разі його ліквідації. За ознаками обсягів реалізації прав акціонера акції поділяються на звичайні, конвертовані й привелійовані, а за способом відображення обігу - на іменні та на пред'явника. Оцінка акцій здійснюється за їхньою номінальною, теоретико-економічною, емісійною та ринковою ціною. Перші дві ціни є основою для визначення емісійної та ринкової цін, а також для розподілу дивидендів. Емітентом акція продається за емісійною ціною , а на вторинному ринку ЦП (де акцію продає інший інвестор) вона має ринкову ціну . Остання залежить від взаємодій попиту й пропозиції, дій трейдерів й спекулянтів фондового ринку, економічної кон'юнктури та багатьох інших чинників та нерегулярно (хаотично) коливається за своєю величиною.

На відміну від боргових ЦП з фіксованим доходом ефективність операцій з акціями може бути прогнозавана тільки умовно. Акції придбають щоб заробити на дивидендах, а також, можливо, на різниці між ціною в моменти купівлі й продажу. Власники досить великих обсягів акцій (пакетів) можуть мати реальний вплив на управління підприємством. Залежність ефективності від цін й дивидендів має вигляд де - ціна купівлі, - ціна продажу. Дивиденди виплачуються з прибутку і тільки власники контрольного пакету акцій вирішують яку частину прибутку направити на виплату дивидендів. Послідовність таких рішень формує дивидендну політику корпорації. Сума дивидендів на кожну акцію вельми цікавить акціонерів та тих хто вирішують питання про можливість придбання акції. Однак існує (досить обгрунтована) точка зору що ці хвилювання марні. У своїй знаменитій роботі Міллер і Модільяні))* Модільяні Франко (н.1918) американський вчений в галузі фінансової математики, лауреат нобелевської премії з економіки за 1985р. Міллер Мертон (н. 1923) американський вчений в галузі математичної економіки, лауреат нобелевської премії з економіки за 1990р.* (Miller M.H., Modigliani F. Dividend policy, growth and valuation of shares. - J. of Business, v. 3y, 1961, p. 411-433) висловили параксальне твердження: в умовах конкурентної економіки дивидендна політика не впливає на ефективність інвестування в акції. Цей ММ-парадокс викликав бурхливу дискусію, що не припиняється й досі. Подамо міркування Міллера-Модільяні в спрощеній формі.

Нехай в момент купівлі акції корпорація мала капітал поділений на акцій. Формально теоретична ціна акції - це частка капіталу, що припадає на неї: . За квартал фірма заробила прибуток , що складає частку від її початкового капіталу, та виділила частку з неї на сплату дивидендів, так що на кожну акцію припало . (Число акцій припускається незмінним). Капітал , що залишився у розпорядженні корпорації й здатний приносити прибуток, дорівнює . Нова ціна акції . Підставляючи ці вирази ціни й дивидендів у формулу ефективності, переконуємося, що вона не залежить від дивидендної політики і визначається тільки продуктивністю фірми:

Висновок формально бездоганний але викликає сумніви. Частина опонентів вказує на те, що реальна ефективність ринкової операції з акціями не дорівнює ефективності в “об'єктивних” цінах, бо ринкові ціни відрізняються від формально-теоретичних. Нехай інвестор не продає акцію. При зберіганні продуктивності фірми, капітал, вкладений в акцію, буде мати ефективність , що визначається тільки продуктивністю. Капітал, отриманий як дивиденд, можна вкласти в довільну ФО. Тому дивидендна політика фірми не має значення, якщо подібні капіталовкладення мають ту ж ефективність, що й капіталовкладення в дану фірму. Ця властивість ідеальної конкуренції економіки й забезпечує справедливість твердження Міллера-Модільяні. В реальній же економіці інвестор може вкласти дивидент і з іншою ефективністю, орієнтуючись на поточну кон'юнктуру.

Повернемось до оцінки акції. Можливо розглянути ситуації, коли акція не змінює власника, або ж зосередитися на власній ціні акції незалежно від власника. Все що отримує власник - це дивиденти, що надходять в різні моменти і тому потрібно враховувати їх дисконти. Приведена до початкового моменту (купівлі акції) сума дивидендів дає теоретичну оцінку акції , де - ставка процента реінвестиції дивидентів, а - дивидент за квартал Найпростіший прогноз дивидендів базується на припущеннях про незмінність продуктивності капіталу корпорації та її дивидендної політики. Тоді капітал за кожен квартал змінюється з коефіцієнтом росту та через кварталів стає , а відповідний дивиденд за квартал є , Тепер можливо обчислити прогноз ціни акції як PV потоку дивидендів

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19