Вступ до фінансової математики

З врахуванням (5) ефективність портфелю (4) набуває вигляду

Оскільки описаний портфель є безризиковим, то його ефективність повинна співпадати з ефективністю безризикового активу

З рівності (6) і (7) отримуємо таке диференціальне рівняння Блека-Шоулса:

До рівняння (8) слід приєднати очевидну крайову умову

Інтегрування рівняння (8) з умовою (9) і заміною відліку часу назад від моменту виконаня опціону T дає формулу Блека - Шоулса вартості опціону

де - функція розподілу стандартної нормальної ВВ, а

Викладений метод диференціальних рівнянь дозволяє деяке узагальнення на більш широкий клас платіжних зобов'язань виду , де - невід'ємна функція. Будемо розглядати портфелі , капітал яких є гладкою функцією і , тобто . Тоді ясно, що

Застосування формули Колмогорова - Іто до процесу призводить до відношення

де - відтворюючий оператор дифузійного процесу виду (2):

З рівності (13) випливає, що портфель є самофінансованим, тоді і тільки тоді, коли виконується рівняння

Але (15) з умовами (12) і є рівняням Блека - Шоулса вартості портфелю р. Відмітимо, що коли має поліноміальний ріст, то розв'язок задачі (15)-(12) існує і виражається формулою

тобто є щільністю логнормального розподілу.

Загальний сучасний підхід до виводу формули Блека - Шоулса (10)-(11), оснований на тому, що єдина мартингальна міра моделі - ринку виду (2) має щільність відносно

.

Тоді згідно принципу безарбітражності ціна опціону покупця

,

що звичайно співпадає з результатом (10).

Зауважимо, що з формули Блека - Шоулса (10) легко отримати вартість опціону продавця (опціону пут) європейського типу для - ринку (2). Це випливає з наступного результату.

Теорема (про паритет опціонів). Нехай позначає премію за опціон пут європейського типу для активу з ціною виконання і часом виконання . Тоді має місце формула Столла

де вартість опціону колл з тими ж умовами.

Для доведення проведемо два теоретичних експеримента.

Перший: купимо опціон пут, сплативши і одночасно купимо акцію за ціну , якщо в момент , то збережемо акцію, а при продамо її отримавши .

Другий: купимо опціон колл, сплативши , а також вкладемо суму в безризиковиий актив. Якщо ціна акції більша в момент , то продаємо за (з урахуванням росту) і, використавши опціон, купимо акцію. В протилежному випадку залишимо собі суму .Таким чином, незалежно від зміни цін обидві варіанти дій дають той самий результат, тобто обидві схеми капіталовкладень еквівалентні: . Це й доводить (17).

На закінчення параграфу зауважимо, що коли застосувати евристичний принцип розрахунку опціон колл європейського типу, то одержимо таку вартість опціону

,

що при співпадає з ціною Блека - Шоулса.

І. В 1976 році Кокс, Росс, Рубінштейн (Cox Y.C., Ross R.A., Rubinstein M.) в роботі “Option pricing: a simplified approach”, надрукованій в “Journal of Financial Economics”, vol. 7, р. 229-263, розглянули просту біноміальну модель - ринку з дискретним часом та відповідні питання вартості опціонів.

В цій моделі безризиковий актив і ризиковий актив мають динаміку процесів цін і , що описуються різницевими рівняннями

де - стала процентна ставка активу , а - випадкові процентні ставки активу ,що є НОРВВ, які приймають два значення і , з імовірностями і відповідно, де . З рівнянь випливає, що

Припускається, що .

Нехай - деяке платіжне зобов'язання (дериватив) на описаному - ринку, . Ключовим елементом теорії вартості є хеджування (від англ. hedge - огорожа), пов'язане зі здатністю виконання зобов'язання при будь-якій можливій поведінці ринку. Портфель інвестора називається хеджем для , якщо його капітал (при довільній поведінці ринку). Таких портфелів може бути багато і важливо обирати оптимальний (мінімальний) хедж з найменшим капіталом: , для будь-якого хеджа . Побудова відкриває природній шлях розв'язання проблеми вартості: ціною зобов'язання є початковий капітал хеджа і при цьому .

Для пошуку ризик-нейтральної ймовірності можна скористатися тим, що дисконтова на ціна активу в середньому відносно повинна бути сталою при всіх :

.

Тоді при маємо рівняння

де - бернуллева ймовірність, з якою (відносно міри ) приймає значення b. З рівняння (3) маємо , тобто ризик-нейтральна ймовірність визначається однозначно через параметри біноміального - ринку.

Міра є мартингальною: дійсно

Перевіримо, що модель біноміального ринку з умовою не дозволяє арбітражних можливостей.

Дійсно, для довільної стратегії

і, отже є мартингалом відносно міри . Якщо - арбітражна стратегія, то з одного боку , а з іншого - завдяки мартингальності відносно :

(бо).

Позначимо через - щільність міри відносно вихідної міри імовірнісного простору на якому розглядається модель. Тоді для будь-якої ВВ на і маємо, що

.

Одержане протиріччя свідчить, що припущення про існування арбітражної стратегії невірно.

Зауважимо, що шляхом індукційних міркувань по можливо встановити, що щільність має вигляд

, де .

Розглянемо приклади, що характеризують сутність методології хеджування.

Приклад 1. Нехай на імовірнісному просторі з множиною елементарних подій і алгебрами подій та заданий біноміальний “однокроковий” - ринок: , грн., , грн. з імовірністю і 80 грн. з імовірністю .

Опціон колл обумовлює в момент виплату грн. з імовірністю 0,4 і 0 грн. з імовірністю 0,6. Знайдемо евристичну ціну , ризик-нейтральну ціну і ціну мінімального хеджування цього опціону. Маємо, що

грн.

Позначимо через

стратегію, що відтворює

.

Враховуючи рівності

і

можна переписати останнє рівняння у вигляді системи:

,

що має розв'язки . Отже, ціна мінімального хеджування опціону грн. Відмітимо, що побудована стратегія хеджування передбачає, що при управлінні ризиком береться кредит ( - від'ємне) і відповідні кошти (у кількості ?) вкладається в акції.

Розрахунок ціни на основі ризик-нейтральної ймовірності призводить до знаходження з умови

,

і, отже, “ризик-нейтральна” ціна

грн.

грн.>грн.

Приклад 2. На тому ж ринку, що і в прикладі 1 розглянемо інший дериватив з виплатами в момент величиною . Тоді з ймовірністю 0,4 і з ймовірністю 0,6. Отже,

грн.

Стратегія мінімального хеджування як і в попередньому випадку визначається умовою, що дає систему

і, отже

грн.

“Ризик-нейтральна” ціна дорівнює

грн.

Отже тут .Стратегія управління ризиком цього зобов'язання відрізняється від прикладу 1 тим, що тут потрібно взяти в борг акції S (в кількості ? ) і розмістити кошти на банківському рахунку.

ІІ. Знайдемо “ризик-нейтральну” ціну європейського опціону покупця в термінах параметрів моделі біноміального - ринку.

Позначивши через індикатор події маємо

де

де - ціла частина .

Позначимо

Тоді

Отже, маємо таку формулу Кокса-Росса-Рубінштейна для ціни європейського опціону покупця в момент

де і визначається формулами (4) - (6).

Аналіз застосованої методології призводить до висновку, що ціна такого деривативу в момент буде

де .

Зауважимо, що величина є капіталом мінімального хеджу в момент , а структура формули (8) показує, що цей хедж має ризикову компоненту . Інша компонента визначається з умови самофінансування. Тобто, за допомогою формули Кокса-Росса-Рубінштейна (8) досягається повний опис стратегії ризик-нейтрального управління для опціону покупця європейського типу.

ІІІ. Опціон продавця (опціон пут) європейського типу є зобов'язанням і дає право продати акцію не за ринковою вартістю в момент , а по наперед обумовленій ціні . Графіки обох опціонів колл і пут наведено на рис.3.

а) опціон колл б) опціон пут

Рис.3. Графіки опціонів покупця і продавця

Якщо - ціна опціону пут, то з врахуванням рівності

та мартингальності послідовності маємо формулу Столла (формулу паритету покупця і продавця )

яка дозволяє перерахувати ці опціони один через інший.

Для класу деривативів виду , де - гладка функція класу , ціна може бути виражена через ціну опціону колл за формулою:

.

Цей результат легко отримати використавши формулу Тейлора

,

в яку замість треба підставити , після чого помножимо все на і застосуємо усереднення по мірі .

В цілому для довільного деривативу його вартість має такі властивості: 1) вона одночасно влаштовує і продавця деривативу (при правильному інвестуванні завжди є можливість з зробити капітал, достатній, щоб розплатитися) і покупця (він сплачує найменшу величину достатню продавцю для хеджування), тобто в цьому розумінні вартість є справедливою, а ризик для обох сторін мінімальний; 2) якщо продавець реалізує дериватив за ціною , то він одержує арбітражну можливість: вкласти в мінімальний хедж і мати ще прибуток , що не залежить від ринкової кон'юнктури; 3) якщо продавець деривативу призначає ціну , то він надає покупцю арбітражний прибуток .

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19