Вступ до фінансової математики

p align="left">Про поведінку реального ринку можливо судити по статистичним даним. Нагадаємо, що статистика ринку вказує на справедливість більш загального співвідношення ніж (1):

що відрізняються від основного рівняння САРМ (1) наявністю доданку альфа вкладення. Інакше, на ідеальному ринку для всіх видів ЦП Статистичні дані реального ринку це не підтверджують. Існують два пояснення цього феномену.

Перше полягає в тому, що на реальному ринку не всі учасники однаково інформовані, тому раціональність їх поведінки різна й портфель ринку відрізняється від оптимального. Якщо статистика дає, що то це означає недооцінку ринком дійсних можливостей ЦП При ринок переоцінює можливості ЦП Тому одна з практичних рекомендацій фінансового аналізу - включення інвестором у портфель насамперед тих ЦП, які недооцінені ринком (), з надією “переграти” ринок (тобто одержати перевагу перед менш інформованими учасниками). На рис.1 точки, що відповідають недооціненим ЦП, лежать вижче лінії ринку SML, а точки, що відповідають переоціненим ЦП, лежать нижче лінії SML.

Друга інтерпретація того, що менш практична, але можливо краще відповідає реальності. Справа в тому, що САРМ базується на найпростішій теорії оптимального портфелю, в якій припускається, що ставки при покупці й продажу, при видачі й одержання кредиту однакові, що не відповідає реальності. Існують різні модифікації САРМ, які враховують ці відхилення від ідеального варіанту, але жодна з них не має таку простоту й стройність як вихідна теорія САРМ.

5.7 Арбітражна теорія ціноутворення капіталовкладень АРТ

На закінчення теми цієї глави дуже коротко торкнемося так званої арбітражної теорії ціноутворення капіталовкладень (Arbitrage Pricing Theory- APT).

Утворимо в моделі САРМ для активу величину

Ясно, що

і

тобто

і

є некорельованими ВВ. Отже

що разом з (1) параграфу 5.6 дає співвідношення між преміями і

З вищесказаного маємо, що , тобто ризик інвестування в актив складається з двох ризиків: систематичного ризику що притаманний ринку, і несистематичного ризику , що притаманний самому активу . Тобто модель (1) залежності від зовнішніх чинників є однофакторною (таким фактором є ринок в цілому).

Подальша більш сучасна теорія “ризику й випадкової ставки (ефективності) активу - теорія АРТ, що була розвинена С.Россом і Р.Роллом у працях: (Ross S.A. The arbitrage theory of capital asset pricing, J. of Economic theory, 1976, V.13, p. 341-360; Roll R., Ross S.A. An empirical investigation of the arbitrage pricing theory, J. of Finance, 1980, v.35, p. 1073-1103) виходить з многофакторної моделі, за якою активу залежить від ряду випадкових факторів (їх значення можуть бути різними - ціна на нафту, процентна ставка, тощо) і “шумового члену”

При цьому і некорельований з факторами , а також з “шумовими членами” інших активів. Тобто (1) є частинним випадком (2) з одним фактором Нажаль АРТ повністю втрачає простоту, наочність, стрункість моделі САРМ з нею важко оперувати її положення дуже непросто навіть чітко формулювати. Тому й досі САРМ продовжує залишатися одним з найбільш улюблених засобів при розрахунках ЦП.

Центральними результатами АРТ є дослідження можливостей на ринку ЦП асимтотичного арбітражу і далі при концепції відсутності на ринку можливостей асимптотичного арбітражу вивод асимптотичної формули для середньої ефективності у припущенні, що поведінка описується багатофакторною моделлю (2). Відповідні асимптотичні дослідження пов'язуються з необмеженим зростанням кількості активів

Розглянемо деякий портфель і відповідну його ефективність на “ - ринку” з активів , ефективності яких залежать від факторів і має місце залежність (2). В АРТ встановлюється при деяких припущеннях відносно коефіцієнтів многофакторної моделі (2) існування такого нетривіального портфелю , що ; Якщо при то на ринку присутні можливості асимптотичного арбітражу. Тобто, припускаючи, що початкові ціни активів одиничні, так що початковий капітал портфелю , для деякого параметра нульовий, бо

будемо мати, що для достатньо великого капітал портфелю в момент часу

з додатньою ймовірністю буде додатній: Тобто, маючи нульовий початковий капітал і оперуючи на “ - ринку” з активами шляхом складання певного портфелю можливо (“асимптотично”) отримати додатній прибуток, що в теорії АРТ й інтерпретується як наявність асимптотичного арбітражу.

Вважаючи, що “ - ринки” асимптотично (при ) є безарбітражними, доводиться виключити можливість для тих портфелів, що розглядаються. Це природньо накладає певні обмеження на коефіцієнти многофакторної моделі (2): при достатньо великому числі активів, що фігурують у портфелі ЦП . “Більшість з них повинна бути такими, щоб між коефіцієнтами ” було виконане “майже лінійне” співвідношення

де всі величини залежать від та

При цьому існує портфель для якого дисперсія є досить малою, що свідчить про те, що в многофакторній моделі вплив “шумових членів” та окремих факторів може бути (у припущенні відсутності асимптотичного арбітражу) редуційований диверсифікацією. Але це справедливо тільки для великих (тобто великих ринків ЦП), а для “малих ринків” ( - невелике) розрахунок за допомогою наближеної формули (3) може призводити до грубих помилок.

Більш детальну інформацію про теорію АРТ, великі фінансові ринки й асимптотичний арбітраж можна знайти у вказаних вище роботах Росса, Ролла та книзі А.Ширяєва [12]. З приводу сучасної строгої математичної теорії асимптотичного арбітражу, заснованої на понятті контигуальності можна рекомендувати роботи Ю.М. Кабанова і Д.О. Крамкова (ТВИП, 1994, т.39, №1, с 222-228 та Finance and Stochastics, 1998. vol. 2), а також гл. 6 книги [19].

Задачі та вправи

1. Знайти характеристики , оптимального портфелю Марковіца максимальної ефективності, сформованого з трьох ЦП з відносною доходністю (m) і ризиком (у): (4, 10); (10, 40); (40, 80), якщо верхня границя ризику задана рівністю 50 (це двоїста задача до класичної задачі формування оптимального портфелю Марковіца мінімального ризику при заданій ефективності).

2. Сформувати портфель Тобіна максимальної ефективності й ризику, не більшого заданої величини , з 3-х видів ЦП: безризикових з ефективності та некорельованих ризикових сподіваних ефективності і й ризиками (двоїста задача до класичної задачі портфеля Тобіна).

3. Як підрахувати в ЦП? Чому ЦП з від'ємною в сприймаються як незвичайні, екстравагантні.

4. Портфель складається наполовину по вартості з ЦП і -0.8. Побудувати портфель з з цих ЦП. Чи буде цей портфель безризиковим?

Глава 6. Загальний стохастичний аналіз платіжних зобов'язань. Моделі ціноутворення для опціонів

6.1 Загальні принципи стохастичного аналізу платіжних зобов'язань

Розглянемо модель фінансового ринку як пари активів: безризикового B (банківський рахунок - bank account , або державні облігації - government bonds, treasury bills) і ризикового S (акції - stocks, shares), що репрезентуються своїми цінами Bt і St, або . В такому разі говорять про (B,S) - ринок відповідно з дискретним або неперервним часом t. При цьому ризикова компонента - ринку може бути й багатовимірною. Фінансові активи B і S називають основними (базовими) або основними цінними паперами (basic securities). Ризиковість активу S відображується в моделі тим, що ціновий процес (St)t?0 трактується як стохастичний (випадковий) процес на певному імовірнісному просторі . При цьому інформація, що надається цінами S до моменту t, пов'язується із - алгеброю подій (тобто - алгеброю подій, що породжуються ВВ , .

Зафіксуємо деякий часовий горизонт T, T > 0 і називатимемо платіжним зобов'язанням будь-яку функцію на “просторі станів фінансового ринку” , що визначається за інформацією (тобто є - вимірною). Зокрема може бути певною функцією цін активу .

Фінансовий агент, що діє на ринку, взявши безризиковий актив і ризиковий у кількостях та , утворює тим самим пару , що називається його портфелем або (інвестиційною) стратегією. Капітал портфелю в момент з початковою сумою x визначається рівністю

Необхідно вказати, які портфелі можуть бути використаними. Найважливіший клас - це портфелі р , що самофінансуються, (рSF), для яких

(або в разі неперервного часу при умові, що диференціали і коректно визначені).

Арбітраж (у момент ) означає можливість створення додатного капіталу (з додатною ймовірністю) у момент за допомогою стратегії, що самофінансується з нульовим початковим капіталом .

Будь-який фінансовий актив створений на базі основних активів і - ринку, називається похідним цінним папером або деривативом (derivative) і ототожнюється з деяким платіжним зобов'язанням. Наприклад, форвардний контракт (або форвард - forward) є угодою про поставку - купівлю активу в майбутньому за зарані обумовленими ціною поставки і датою поставки . Для активу форвард еквівалентний зобов'язанню . Опціон (option, що значить вибір) - це дериватив (контракт), що емітується деяким агентом (інституцією) і надає покупцю або продавцю право купити або продати актив (або іншу цінність) в обумовлений період або момент часу на зарані обумовлених умовах. Наприклад, опціон продавця (опціон - колл або call option) з ціною виконання (strike price ) і датою виконання (maturity time) (так званий опціон європейського типу, коли він пред'являється до виконання тільки в момент ) на актив дає покупцю дохід (бо при він реалізує своє право на купівлю за ціною при більший ринковій ціні активу , а при відмовляється від купівлі за контрактом, або може купити за ринковою ціною , нижчою за , тобто не реалізує право на купівлю за ціною ). Отже описаний європейський опціон - колл еквівалентний зобов'язанню . Звісно, за опціон потрібно сплатити деяку премію (ціну опціону), і чистий дохід покупця буде . Відповідно дохід продавця опціону буде при і при . Можуть бути й інші види опціонів. Так, наприклад, для опціону - колл з післядією, де , а для арифметичного азіатського опціону - колл , де у випадку дискретного часу. Для опціонів продавця (опціонів - пут, або put option) у разі стандартного опціону - пут , у разі опціону - пут з післядією, . В цілому множина деривативів індукує в площині з координатами множину графіків відповідних платіжних зобов'язань CCG (Contingent Claim's Graphs), див. рис.1.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19