Реферат: Прикладная математика
Итак, вектор долей рисковых бумаг есть X* =((mз-2)/5). Таким образом, рисковые доли должны быть одинаковы и каждая из них равна (mз-2)/10 . Следовательно, x*0 =1-(mр-2)/5 . Понятно, что необходимость в операции "short sale" возникнет, если x*0 < 0, т.е. когда mр > 7 .
Можно доказать, что риск оптимального портфеля в зависимости от его доходности при наличии безрисковых бумаг равен , где
Постановку задачи формирования оптимального портфеля (1) можно словами сформулировать так:
Сформировать портфель минимального риска из всех имеющих эффективность не менее заданной.
Но столь же естественна и задача формирования портфеля максимальной эффективности из всех имеющих риск не более заданного, т.е. найти , максимизирующие ожидаемую эффективность портфеля
при условии, что обеспечивается значение риска портфеля не более заданного, т.е.
поскольку – доли, то в сумме они должны составлять единицу:
Если на рынке есть безрисковые бумаги, то в такой постановке задача формирования такого оптимального портфеля имеет решение, очень похожее на (2): Оптимальное значение долей рисковых бумаг есть
(3)
Можно доказать, что эффективность портфеля максимальной эффективности в зависимости от заданного его риска равна .
|
Предположим, что ЛПР (Лицо, Принимающее Решения) рассматривает несколько возможных решений . Ситуация неопределенна, понятно лишь, что наличествует какой-то из вариантов . Если будет принято -e решение, а ситуация есть -я , то фирма, возглавляемая ЛПР, получит доход . Матрица называется матрицей последствий (возможных решений). Какое же решение нужно принять ЛПР? В этой ситуации полной неопределенности могут быть высказаны лишь некоторые рекомендации предварительного характера. Они не обязательно будут приняты ЛПР. Многое будет зависеть, например, от его склонности к риску. Но как оценить риск в данной схеме?
Допустим, мы хотим оценить риск, который несет -e решение. Нам неизвестна реальная ситуация. Но если бы ее знали, то выбрали бы наилучшее решение, т.е. приносящее наибольший доход. Т.е. если ситуация есть -я , то было бы принято решение, дающее доход .
Значит, принимая -e решение мы рискуем получить не , а только , значит принятие -го решения несет риск недобрать . Матрица называется матрицей рисков.
Пример 1. Пусть матрица последствий есть
Составим матрицу рисков. Имеем Следовательно, матрица рисков есть
А. Принятие решений в условиях полной неопределенности.
Не все случайное можно "измерить" вероятностью. Неопределенность – более широкое понятие. Неопределенность того, какой цифрой вверх ляжет игральный кубик отличается от неопределенности того, каково будет состояние российской экономики через 15 лет. Кратко говоря, уникальные единичные случайные явления связаны с неопределенностью, массовые случайные явления обязательно допускают некоторые закономерности вероятностного характера.
Ситуация полной неопределенности характеризуется отсутствием какой бы то ни было дополнительной информации. Какие же существуют правила-рекомендации по принятию решений в этой ситуации?
Правило Вальда (правило крайнего пессимизма). Рассматривая -e решение будем полагать, что на самом деле ситуация складывается самая плохая, т.е. приносящая самый малый доход .
Но теперь уж выберем решение с наибольшим . Итак, правило Вальда рекомендует принять решение , такое что
|
Так, в вышеуказанном примере, имеем Теперь из чисел 2,2,3,1 находим максимальное. Это – 3 . Значит, правило Вальда рекомендует принять 3-е решение.
Правило Сэвиджа (правило минимального риска). При применении этого правила анализируется матрица рисков . Рассматривая -e решение будем полагать, что на самом деле складывается ситуация максимального риска
Но теперь уж выберем решение с наименьшим . Итак, правило Сэвиджа рекомендует принять решение , такое что
Так, в вышеуказанном примере, имеем Теперь из чисел 8,6,5,7 находим минимальное. Это – 5. Значит правило Сэвиджа рекомендует принять 3-е решение.
Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и оптимистический подходы к ситуации). Принимается решение , на котором достигается максимум
где . Значение выбирается из субъективных соображений. Если приближается к 1, то правило Гурвица приближается к правилу Вальда, при приближении к 0, правило Гурвица приближается к правилу "розового оптимизма" (догадайтесь сами, что это значит). В вышеуказанном примере при правило Гурвица рекомендует 2-е решение.
В. Принятие решений в условиях частичной неопределенности.
Предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероятности того, что реальная ситуация развивается по варианту . Именно такое положение называется частичной неопределенностью. Как здесь принимать решение? Можно выбрать одно из следующих правил.
Правило максимизации среднего ожидаемого дохода. Доход, получаемый фирмой при реализации -го решения, является случайной величиной с рядом распределения
… | ||||
… |
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16