Быстрый поиск

Реферат: Прикладная математика

Министерство общего и профессионального

образования Российской Федерации

Государственный университет управления

Кафедра прикладной математики

Утверждено

первым проректором ГАУ

проф. Ю.Л. Старостиным

Методические указания

к выполнению курсового проекта

по дисциплине

²Прикладная математика²

для студентов всех специальностей

дневного и вечернего отделения

Москва - 2000

УДК

Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине ”Прикладная математика”/Сост.: Колемаев В.А., Карандаев И.С. и др. ГУУ, М.:2000.

Составители

Колемаев В.А. – профессор, доктор экономических наук

§15.

Карандаев И.С. - доцент. §§2, 4-10

приложения I, III, IX.

Малыхин В.И. - профессор, доктор физико-математических наук

§§11-14, приложения V, VII, VIII.

Гатауллин Т.М. - доцент, кандидат физико-математических наук

§§1, 3, приложение IV.

Прохоров Ю.Г. - доцент, кандидат физико-математических наук

Приложение VI.

Юнисов Х.Х. – старший преподаватель, приложение II.

Ответственный редактор

заведующий кафедрой прикладной математики

доктор экономических наук, профессор

Колемаев В.А.

Рецензент

кандидат экономических наук, доцент

кафедры экономической кибернетики

Васильева Л.Н.

Предисловие

Учебными планами всех специальностей ГУУ предусмотрено выполнение курсового проекта по дисциплине ²Прикладная математика². Как указано в программе этой дисциплины, прикладная математика состоит из двух основных разделов: теории вероятностей и ее приложений и математических методов исследования операций, которые включают также финансовую математику, что особенно важно для студентов-заочников, специализирующихся в области финансового и банковского менеджмента. Программой предусмотрено также изучение основных вопросов линейной алгебры.

Рекомендуется изучить основы теории систем линейных алгебраических уравнений по учебнику [1]. Напомним, что в задачах линейной оптимизации приходится в основном рассматривать системы линейных алгебраических уравнений в предпочитаемой форме, когда каждое уравнение системы содержит неизвестную, входящую только в это уравнение, причем с коэффициентом +1, а поиск оптимального решения сводится к направленному перебору базисных неотрицательных решений. Поэтому студент должен иметь ввиду, что нет смысла приступать к рассмотрению линейной производственной задачи курсовой работы, пока не изучены основы теории систем линейных алгебраических уравнений, изложенные в §§ 1, 2 главы 1 учебника [1].

Краткое и сжатое изложение основных вопросов исследования операций дано в работе [7], а разбор задач - в пособии [16]. При этом полезно предварительно ознакомиться с работой [11], где некоторые важнейшие вопросы программы изложены весьма подробно и доходчиво. Специальные вопросы исследования операций изложены в работах [6], [8] и [25].

Финансовая математика может быть изучена по работам [20], [23]. Необходимый для этого материал по теории вероятностей и математической статистике рекомендуется изучить по учебнику [2].

§1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСОВОГО ПРОЕКТА

Выполнение курсового проекта по прикладной математике направлено на усиление связи обучения студентов с практикой совершенствования управления, организации современного производства, всего механизма хозяйствования.

В процессе работы над курсовым проектом студент не только закрепляет и углубляет теоретические знания, полученные на лекциях и на практических занятиях, но и учится применять методы исследования операций при постановке и решении конкретных экономических задач.

Цель курсового проекта - подготовить студента к самостоятельному проведению операционного исследования, основными этапами которого являются построение математической модели, решение управленческой задачи при помощи модели и анализ полученных результатов.

§2. Задание на курсовОЙ ПрОЕКТ

1. Сформулировать линейную производственную задачу и составить ее математическую модель, взяв исходные данные из приложения 1, где технологическая матрица А затрат различных ресурсов на единицу каждой продукции, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С при возможном выпуске четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов

компактно записаны в виде

c1 c2 c3 c4

а11 а12 а13 а14 b1

a21 a22 a23 a24 b2

a31 a32 a33 a34 b3

Преобразовать данную задачу к виду основной задачи линейного программирования, решить ее методом направленного перебора базисных допустимых решений, обосновывая каждый шаг процесса, найти оптимальную производственную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и указать ²узкие места² производства.

В последней симплексной таблице указать обращенный базис Q-1, соответствующий оптимальному набору базисных неизвестных. Проверить выполнение соотношения

H = Q-1B

Если по оптимальной производственной программе какие-то два вида продукции не должны выпускаться, то в таблице исходных данных вычеркнуть соответствующие два столбца, составить математическую модель задачи оптимизации производственной программы с двумя оставшимися переменными, сохранив прежнюю нумерацию переменных и решить графически.

2. Сформулировать задачу, двойственную линейной производственной задаче, как задачу определения расчетных оценок ресурсов, и найти ее решение, пользуясь второй основной теоремой двойственности (о дополняющей нежесткости). Указать оценку единицы каждого ресурса, минимальную суммарную оценку всех ресурсов, оценки технологий.

Применить найденные двойственные оценки ресурсов к решению следующей задачи.

Сформулировать задачу о "расшивке узких мест производства" и составить математическую модель. Определить область устойчивости двойственных оценок, где сохраняется структура программы производства. Решить задачу о ²расшивке узких мест производства² при условии, что дополнительно можно получить от поставщиков не более одной трети первоначально выделенного объема ресурса любого вида (если задача окажется с двумя переменными, то только графически); найти план приобретения дополнительных объемов ресурсов, дополнительную возможную прибыль.

По пунктам 1, 2, 3 составить сводку результатов [10, c. 21].

3. Составить математическую модель транспортной задачи по исходным данным из приложения 2, где вектор объемов производства А(a1,..., am), потребления - В (b1,..., bn) и матрица транспортных издержек С=(сij), i =; j = кратко записаны в виде

b1 b2 . . . bn

a1 c11 c12 . . . c1n

a2 c21 c22 . . . c2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am cm1 cm2 . . . cmn

Если полученная модель окажется открытой, то свести ее к замкнутой и найти оптимальное решение транспортной задачи методом потенциалов.

4. Методом динамического программирования решить задачу распределения капитальных вложений между четырьмя предприятиями производственного объединения, располагающего суммой в 700 тыс. руб., по исходным данным, приведенным в приложении 3 (выделяемые суммы кратны 100 тыс.).

5. Рассмотреть динамическую задачу управления производством и запасами. Решить конкретную задачу по исходным данным, приведенным в приложении 4.

6. Рассмотреть матричную игру как модель сотрудничества и конкуренции, взяв исходные данные из приложения 5. Найти графически решение игры. Указать, как проявляется конкуренция между игроками и сотрудничество между ними.

7. Рассмотреть задачу о максимальном потоке в сети. Решить конкретную задачу на сети с 8-9 вершинами, предложив исходные данные самостоятельно.

8. Рассмотреть задачу о кратчайшем пути. Решить конкретную задачу, предложив исходные данные самостоятельно.

9. Рассмотреть задачу о назначениях. Решить конкретную задачу, предложив исходные данные самостоятельно.

10. Методом ветвей и границ найти целочисленное решение задачи о "расшивке узких мест производства", рассмотренной в пункте 2. Если же все компоненты плана "расшивки" были целочисленными, то в условии вместо К=3 взять другое целое значение К так, чтобы решение оказалось не целочисленным, после чего применить метод ветвей и границ.