Реферат: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений
В заключение этого пункта вернемся к
вопросу о построении исчерпывающего -измеримого
разбиения X, отвечающего заданной функции
.
Выберем произвольно попарно различные векторы
из
f(X) и построим по формуле (15) разбиение Rn
. Для каждого q=1,2,...
образуем разбиение E(N(q)), множества
, j=1,...,N(q),
которого образованы всеми попарно различными пересечениями
множеств из
. Последовательность
соответствующих разбиений X
, i=1,...,N(q), q=1,2...
-измеримы и
является продолжением
5.2. Приближение
изображениями, цвет которых постоянен на подмножествах разбиения поля
зрения X.
Задано разбиение , требуется определить цвет
и распределение яркостей наилучшего приближения на каждом Ai,i=1,...,N.
Для практики, как уже было отмечено, большой интерес представляет класс изображений (5), цвет которых не изменяется в пределах некоторых подмножеств поля зрения, и задачи аппроксимации произвольных изображений изображениями такого класса.
Запишем изображение (5) в виде
(17)
где .
Пусть A1,...,AN
- заданное разбиение X, -
индикаторная функция Ai, i=1,...,N. Рассмотрим задачу
наилучшего в
приближения изображения
изображениями (17), не
требуя, чтобы
(18)
Речь идет о задаче аппроксимации
произвольного изображения изображениями,
у которых яркость может быть произвольной функцией из
, в то время, как цвет
должен сохранять постоянное значение на каждом из заданных подмножеств A1,...,AN
поля
зрения X, (см. Лемму 3).
Так как
то минимум S (19) по достигается при
, (20)
и равен
(21)
Задача (18) тем самым сведена к задаче
. (22)
В связи с последней рассмотрим
самосопряженный неотрицательно определенный оператор
. (23)
Максимум (неотрицательной)
квадратичной формы на сфере
в Rn, как известно, (см.,например, [11]) достигается на собственном
векторе yi оператора Фi,
отвечающем максимальному собственному значению
>0,
,
и равен ,
т.е.
. Следовательно, максимум в
(22) равен
и достигается, например, при
Теорема 3. Пусть A1,...,AN -заданное измеримое разбиение X, причем[9]
m(Ai)>0, i=1,...,N. Решением задачи (18) наилучшего
приближения изображения изображениями
g(×)
(17) является
изображение
(24)
Операторы ,i=1,...,N, и
- нелинейные (зависящие от f(×)
) проекторы: Пi
проецирует в Rn векторы
на линейное подпространство
,
натянутое на собственный вектор
оператора
Фi (23), отвечающий наибольшему собственному
значению ri,
; (25)
П проецирует в изображение
на минимальное линейное
подпространство
, содержащее все
изображения
Невязка наилучшего приближения
(19*).
Доказательство. Равентство (24) и выражение для Пi следует из (17),(20) и решения задачи на собственные значения для оператора Фi (23). Поскольку Фi самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то задача на собственные значения (23) разрешима, все собственные значения Фi неотрицательны и среди них ri - наибольшее.
Для доказательства свойств операторов Пi, i=1,...,N, и П введем обозначения, указывающие на зависимость от f(×):
(26*)
Эти равенства, показывающие, что результат двукратного действия операторов Пi, i=1,...,N, и П (26) не отличается от результатата однократного их действия, позволят считать операторы (26) проекторами.
Пусть fi
- cсобственный вектор Фi , отвечающий
максимальному собственному значению ri. Чтобы определить следует
решить задачу на собственные значения для оператора
:
.
Поскольку rank=1,
имеет единственное
положительное собственное значение, которое, как нетрудно проверить, равно ri, и ему соответствует единственный собственный вектор fi.
Поэтому
.
Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*)
для n
Лемма 4. Для любого
изображения решение (24)
задачи (18) наилучшего приближения единственно и является элементом
.
Доказательство. Достаточно доказать,
что единственный (с точностью до положительного множителя) собственный вектор fi
оператора (23), отвечающий максимальному собственному значению ri,
можно выбрать так, чтобы , поскольку в таком случае будут выполнены импликации:
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12