Реферат: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений
, то для
любого изображения
и для любого
,
ибо
-измеримо, N=1,2,...
n
Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте.
Заданы
векторы f1,...,fq, требуется определить разбиение , на множествах которого
наилучшее приближение принимает соответственно значенния f1,...,fq.
Рассмотрим задачу приближения цветного
изображения f(×), в которой задано не разбиение
поля зрения X, а
векторы
в
, и требуется построить
измеримое разбиение
поля зрения,
такое, что цветное изображение
-
наилучшая в
аппроксимация f(×). Так как
, (14*)
то в Ai
следует отнести лишь те точки , для
которых
,
=1,2,...,q, или, что
то же самое,
=1,2,...,q. Те точки,
которые согласно этому принципу могут быть отнесены к нескольким множествам,
должны быть отнесены к одному из них по произволу. Учитывая это, условимся
считать, что запись
, (14)
означает, что
множества (14) не пересекаются и .
Чтобы
сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа, рассмотрим
разбиение , в котором
(15)
и звездочка указывает
на договоренность, принятую в (14). Определим оператор F,
действующий из в
по формуле
,
, i=1,...,q.
Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы включения
и
, i=1,...,q, можно было
считать эквивалентными. [8]
Теорема
2. Пусть - заданные векторы Rn. Решение задачи
наилучшего в приближения изображения f(×) изображениями
имеет вид
, где
- индикаторная функция
множества
. Множество
определено равенством (15).
Нелинейный оператор
, как всякий
оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F2=F, т.е.
является пректором.
Замечание
2. Если данные задачи доступны лишь в
черно-белом варианте, то есть заданы числа ,
i=1,...,q, которые можно считать упорядоченными согласно условию
, то, как показано в [3],
искомое разбиение X состоит из множеств
где , и имеет мало общего с
разбиением (14).
Замечание
3. Выберем векторы fi,
i=1,..,q единичной длины: ,
i=1,...,q. Тогда
. (16)
Множества (16) являются конусами в Rn , ограниченными гиперплоскостями, проходящими через начало
координат. Отсюда следует, что соответствующее приближение изображения f(×)
инвариантно относительно произвольного преобразования последнего, не
изменяющего его цвет (например
), в
частности, относительно образования теней на f(×).
Замечание 4. Для любого
заданного набора попарно различных векторов оператор
F, приведенный в теореме 2, определяет форму изображения,
принимающего значения
соответственно на
измеримых множествах
(любого) разбиения
X. Всякое такое изображение является
неподвижной (в
) точкой F:
, если
, все они изоморфны между
собой. Если некоторые множества из
-
пустые, или нулевой меры, соответствующие изображения имеют более простую
форму.
Иначе говоря, в данном случае формой
изображения является множество всех
изображений, принимающих заданные значения
на
множествах положительной меры
любого
разбиения X, и их пределов в
.
Теоремы 1 и 2 позволяют
записать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f(×) изображениями
, в котором требуется
определить как векторы
,
так и множества
так,
чтобы
.
Следствие 1.
Пусть Di ,i=1,...,N, - подмножества Rn (15), П - ортогональный проектор (13), , где
. Тогда
необходимые и достаточные условия
суть следующие:
, где
,
.
Следующая рекуррентная процедура, полезная для
уточнения приближений, получаемых в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет
решать названную задачу. Пусть - исходные векторы в задаче (14*),
- соответствующее
оптимальное разбиение (14), F(1)- оператор наилучшего
приближения и
- невязка.
Воспользовавшись теоремой 1, определим для найденного разбиения
оптимальные векторы
. Согласно выражению
(13)
, и соответствующий
оператор наилучшего приближения П(1) (13) обеспечит не менее
точное приближение f(×), чем F(1):
.
Выберем теперь в теореме 2
,
определим соответствующее оптимальное разбиение
и
построим оператор наилучшего приближения F(2). Тогда
. На следующем шаге по
разбиению
строим
и оператор П(3)
и т.д.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12