Быстрый поиск

Курсовая работа: Теорема Силова

(ii) Порядок k центра Z не делиться на p, то есть НОД(k, p)=1, тогда разобьем G на классы сопряженных элементов. Класс одноэлементен если состоит из элементов центра. Пусть , тогда , где – не одноэлементные классы сопряженных элементов обозначим . Следовательно, так как по условию и НОД(k, p)=1, то хотя бы одно из чисел также должно быть взаимно просто с p.

По теореме 1.4.1. получаем, что если ,то мощность класса сопряженных с g элементов:

учитывая что – взаимно просто с p по теореме Лагранжа получаем, что делиться на рα по индукционному предложению так как порядок NG(g) меньше порядка G, то в NG(g) содержится подгруппа порядка pα. Вместе с (ii) доказано и а).

b) Пусть и порядок . Обозначим Δ – класс подгрупп сопряженных с P элементами из группы G. Рассмотрим два случая.

(i) Порядок Δ и P взаимно просты, то есть НОД(Δ,P)=1 по теореме 1.4.1. Δ= в силу теоремы Лагранжа, получаем: и, следовательно, Δотсюда следует, так как порядок G делится на , и НОД(Δ,)=1, то поэтому по пункту а): существует подгруппа группы , . Откуда получаем, что полный прообраз подгруппы подгруппа H имеет

pα-1·p=pα и .

(ii)

(iii) Порядок Δ делиться на p.

Пусть Δ={P}ÈΔ1È…ÈΔm, Δ – это разбиение на подклассы подгрупп сопряженных с P. Если порядок Δ=m+1, то

Δ=,

Δ=

(Обозначим Δ1 – подклассы подгрупп сопряженных с P1, Δ2 – подклассы подгрупп сопряженных с P2 и т. д.). Тогда если QiÎΔi, то

Δ= – по теореме 1.4.1. так как по теореме Лагранжа

, то Δi =pα, где 0≤α≤α-1.

Откуда Δ= и по условию порядок Δ делиться на p. Следовательно, должно существовать i – такое, что αi=0 и Δi=1, значит, в подклассе Δi лежит только одна подгруппа. Пусть Δi={Q}, тогда для любого pÎP: p–1Pp=Q то есть P нормализует Q и . Далее применяя предложение 1.5.5 получаем, что PQ подгруппа группы G, причем . Применяя теорему 1.5.6. (об изоморфизме) имеем . Отсюда по теореме Лагранжа следует . Учитывая, что Q сопряжено с P получаем: , где β >0 (так как если β=0, то и, следовательно , что неверно).

Сейчас применим к подгруппе PQ внутренний, автоморфизм группы G, который пересекает подгруппу Q в Qg=P. Получаем, что образ подгруппы PQ при этом автоморфизме будет являться подгруппа.

причем P будет являться нормальной подгруппой группы P’P. Рассмотрим фактор группу P'P/P, , >0. Следовательно, P'P/P существует, по пункту а) подгруппа порядка p. Тогда полный прообраз подгруппы подгруппа H и будет являться искомой подгруппой порядка . Пункт b) теоремы доказан полностью. ■

2.2 Вторая и третья теорема Силова

Максимальная по вложению p-подгруппа конечной группы G называется силовской p-подгруппой группы G. Из доказанной теоремы вытекает в частности, что силовские p-подгруппы конечной группы, это в точности подгруппы порядка pt где pt – максимальная степень p делящий порядок группы.

Теорема 2.2.1. (вторая теорема Силова)

(Сопряженность) Все силовские p – подгруппы группы G сопряжены.

Доказательство. Пусть P – силовская подгруппа, если , где НОД(p,m)=1, то . Пусть, Δ как и раньше класс подгрупп, сопряженных с P элементами из G. Покажем, что если Q симметрическая p – подгруппа, то QÎΔ. Из теоремы 1.4.1. имеем