Быстрый поиск

Курсовая работа: Теорема Силова

п.2. Рассмотрим конструкцию, позволяющую по заданным группам строить новые группы. Одна из самых простых, но важных конструкций состоит в следующем.

Пусть A, B – группы, легко проверить, что множество всех упорядоченных пар (a, b) где , с бинарной операцией является группой. Она называется прямым произведением (внешним) групп A и B. При аддитивной записи групп, естественно говорить о прямой сумме .

Теорема 1.4.5. Пусть G – группа с нормальными подгруппами A и B. Если и AB=G, то .

Доказательство. Из равенства AB=G следует, что любой элемент записывается в виде g=ab, где . Пусть ещё G=a1b1, . Тогда , и . Следовательно, и мы пришли к выводу, что запись однозначна.

Далее, так как то коммутатор ; так как , то , то есть, получаем и, стало быть .

Определим теперь отображение φ из . Полагая для любого . Проверим закон сохранения операции. Согласно выше сказанному:

Это отображение является сюрьективным, ибо G=AB. Более того, отображение φ является взаимно однозначным так как если ab=a1b1 при , то, как это мы показали, выше a1=a, b1=b и, следовательно, таким образом φ – удовлетворяет всем свойствам изоморфного отображения групп. ■

Группу G, удовлетворяющую условиям теоремы 1.4.5 принято называть (внутренним) прямым произведением своих подгрупп A, B. Отличие от внешнего прямого произведения состоит в том, что G содержит в качестве прямых множителей сами группы A, B, а не просто их изоморфные копии , .

Последние определение прямого произведения (внутреннего). Можно заменить следующим ему эквивалентным. Группа G есть прямое произведение своих подгрупп , если

1) Элементы из любых двух подгрупп Hi и Hj, , перестановочны между собой.

2) Всякий элемент g и G однозначно записываются в виде произведения

где ,

1.5 Теоремы о гомоморфизмах

Пусть G – группа и P – другая группа. Пусть каждому элементу aÎG сопоставлен некоторый элемент из S, то есть, дано отображение G и S. Отображение φ называется гомоморфным или гомоморфизмом G в S, если произведение элементов из G соответствует произведение их образов, то есть

φ(a1a2)=φ(a1)φ(a2), где φ(a) – образ aÎG при отображение φ.

Предложение 1.5.1. Гомоморфным образом φ(G) группы G является группой. Образом единицы группы G является единица образа, и взаимно обратным элементом G соответствуют взаимно обратные образы.

Доказательство. φ(ab)=φ(a)φ(b) означает, что произведение двух элементов из φ(G)Îφ(G). Ассоциативность следует из ассоциативности в G и S. Равенство φ(a)=φ(1a)=φ(1)φ(a) показывает, что φ(1) есть левая единица для φ(G). А φ(а–1)φ(а)=φ(а–1а)=φ(1) показывает, что φ(а–1) есть левый обратный элемент для φ(а) в φ(G). Это достаточно для заключения, что φ(G) есть группа (так как φ(а)=φ(а 1)=φ(а)φ(1) и φ(а)φ(а–1)=φ(аа–1)=φ(1)). ■

Гомоморфизм G в S, при котором различным элементам из G сопоставляется различные элементы в S.

Всякое изоморфное отображение группы G на себя называется автоморфизмом. Если в группе G выбран некоторый элемент а, то отображение, переводящее всякий элемент х этой группы в элемент

а–1ха, то есть трансформирование всей группы элементов а, будет автоморфизмом группы G. Действительно, из а–1ха=а–1ya следует x=y, то есть отображение взаимно однозначно. Равенство х=а–1(аха–1)а

показывает, что при этом отображении всякий элемент группы будет образом некоторого элемента. Из соотношения a–1xa· a–1ya=a–1(xy)a

следует изоморфизм рассматриваемого отображения. Такой автоморфизм группы G называется её внутренним автоморфизмом.

Пусть φ – гомоморфное отображение группы G на группу S. Множество всех элементов из G, имеющих один и тот же образ хÎS, называется полным прообразом элемента х и обозначается φ–1(х). Полный прообраз единицы группы S называется ядром гомоморфизма.

Предложение 1.5.2. Ядро гомоморфизма φ группы G на группу S является нормальной подгруппой группы G.

Доказательство. Введем обозначение H для ядра. Если aÎH, то

a–1ÎH, ибо

φ(a–1)=(φ(a))–1=1. Если aÎH и bÎH, то abÎH, ибо φ(ab)=φ(a)φ(b)=1·1=1. Наконец, если aÎH и cÎG, то c–1acÎH, ибо

φ(c–1ac)=φ(c)–1φ(a)φ(c)=φ(c)–11φ(c)=1. ■

Предложение 1.5.3. В условиях предложения 1.5.2. полные прообразы элементов из S является классами смежности по ядру гомоморфизма.

Доказательство. Если a и b принадлежат одному классу смежности по H, то b=za при zÎH, тогда φ(b)=φ(z)·φ(a)=1·φ(a)=φ(a). Обратно, если φ(a)=φ(b), то φ(ab-1)=1, так что ab-1ÎH, aÎHb и bÎHb. ■