Курсовая работа: Теорема Силова
Несложно видеть, что элементы s1, s3, и s5 будут элементами второго порядка, но они как видно из таблицы 2 не перестановочны, и, следовательно, никакая подгруппа группы A4 не изоморфна группе S3. Утверждение доказано.
1.3 Нормальные подгруппы. Классы сопряженных элементов
Если левостороннее
разложение группы G
по подгруппе H
совпадает с
правосторонним, то H
называют нормальной подгруппой группы G (нормальный делитель, инвариантная подгруппа)
и обозначается . Для любого элемента gÎG будет выполняться равенство
Hg=gH , (1)
то есть подгруппа H будет перестановочна с каждым элементом группы G.
Пусть H – нормальная подгруппа G. Определим умножение смежных классов формулой:
aH·bH=abH (2)
Ясно, что условие (1) равносильно условию g–1Hg=H.
Говорят, что элемент, а
сопряжен с элементом b посредствам элемента g, если . Часто используют степенные
обозначения
.
Теорема 1.3.1. Множество всех смежных классов группы G по нормальной подгруппе H относительно умножения (2) является группой, которая называется факторгруппой группы G по H и обозначается G/H.
Доказательство. 1) Ассоциативность умножения классов вытекает из ассоциативности умножение элементов группы. Пусть g1, g2, g3 ÎG, тогда
(g1H×g2H)·g3H = (g1g2)H·g3H = g1g2g3H = g1(g2g3)H= =g1H (g2g3)H = g1H·(g2H·g3H).
2) Единицей в G/H будет смежный класс eH=H, так как HaH=eH·aH=eaH=aH. Аналогично aH·H=aH.
3) (aH)–1=a–1H, так как aH·a–1H=(aa–1)H=eH=H. ■
Покажем, что отношение сопряжения на множестве является отношениями эквивалентности. Очевидно, что всякий элемент a сопряжен с самим собой, так как a=e–1ae.
Кроме того, если элемент G сопряжен с элементом a, то есть b=g–1ag, то a=gbg–1. Следовательно, отношение сопряженности симметрично. Наконец, если b=g1–1ag1, c=g2–1bg2, то c=(g1g2)–1a(g1g2), то есть отношение сопряженности элементов транзитивно. Отсюда следует, что всякая группа G распадается на непересекающиеся множества сопряженных между собой элементов или, как говорят, на классы сопряженных элементов. ■
1.4 Нормализатор множества в группе. Центр группы
п.1. В отличие от смежных классов. Классы сопряженных элементов не все равномощны. При вычисление их мощностей решающую роль играет понятие нормализатора.
Пусть M – подмножество, H – подгруппа группы G. Нормализатором множества M в подгруппе H называется множество:
NH(M)=,
которое, как легко проверить, является подгруппой в H. Если не указано, в какой подгруппе H берется нормализатор, то это означает, что он берется во всей группе G. Очевидно, подгруппа тогда и только тогда нормальна в группе, когда её нормализатор совпадает со всей группой.
Теорема 1.4.1. Если M – подмножество, H – подгруппа группы G, то мощность класса подмножеств, сопряженных с M элементами из H, равна индексу В частности,
.
Доказательство. Отобразим множества Mx, xÎH, на правые смежные классы группы H по подгруппе N=NH(M), полагая
(Mx)φ=Nx для xÎH.
Отображение φ однозначно, так как из Mx=My следует Nx=Ny. Отображение φ переводит разные элементы в разные , так как из Nx=Ny следует Mx=My. Наконец, φ – отображение на, так как каждое Nx имеет прообраз Mx. ■
Пусть M – подмножество, H – подгруппа группы G. Мы назвали нормализатором M в H совокупность тех элементов из H, которые перестановочны с множеством M в целом. Можно рассмотреть также множество тех элементов из H, которые перестановочны с M поэлементно, то есть
CH(M)=.
Это множество называется централизатором множества M в подгруппе H. Если M состоит из одного элемента, то, конечно, его нормализатор и централизатор в H совпадают. Если не указано, в какой подгруппе H берется централизатор, то это означает, что он берется во всей группе G.
Централизатор всей группы G называется её центром и обозначается Z(G),
Z(G)=.
Очевидно, что группа тогда и только тогда абелева, если она совпадает со своим центром. Ясно, что единица е всегда лежит в центре. Если других центральных элементов группа не содержит, то она называется группа с тривиальным центром. Заметим ещё, что любая подгруппа центра нормальна в группе.
Теорема 1.4.2. Пусть , где p – простое число. Тогда центр Z(G) группы G
нетривиальный, то есть содержит неединичные элементы.
Доказательство. Ранее было показано (см. 3), что любая группа G разбивается на не пересекающие классы сопряженных элементов. Среди классов будут одноэлементные образованные элементами центра, причем их число неравно нулю, так как единица е группы G образуют одноэлементный класс.
Пусть число элементов
центра равно t. Все
элементы, не принадлежащие центру Z(G), порождают классы сопряженных элементов. Обозначим ,
классы сопряженных элементов содержащие более одного элемента. Число элементов
в каждом таком классе есть индекс централизатора любого элемента класса (по
теореме 1.4.1. учитывая, что нормализатор и централизатора одного элемента
совпадают):
.
Следовательно, по теореме Лагранжа , где
.
Тогда , из этого равенства
следует, что t делиться на p и так как
, то
таким образом централизатор Z(G) группы G нетривиален.
■
Далее докажем одно несложное утверждение которое понадобиться в дальнейшем.
Предложение 1.4.3. Фактор группа некоммутативной группы G по её центру Z(G) не может быть циклической.
Доказательство (от противного). Действительно, если G/Z(G) циклическая, то в смежном классе по Z являющимися образующим элементом этой циклической группы. Выберем некоторый элемент а. Подгруппа, порождающая этим элементом вместе с элементами из Z(G) совпадает со всей группой G. Из перестановочности между собой названных элементов следует коммутативность самой группы G –противоречие с условием. ■
Из доказанной выше теоремы 1.4.2 и предложения 1.4.3 вытекает следующее утверждение.
Теорема 1.4.4. Любая группа G порядка p2, где p – простое число, коммутативна.
Доказательство (от
противного). Пусть G – не
коммутативная группа, так как G является p-группой
(конечная группа P является p-группой, если ), то её центр
не единичен, то есть
. Рассмотрим G/Z(G). Порядок G/Z(G) равен p
по теореме Лагранжа, следовательно, G/Z(G) – циклическая
(см. следствие 2 теоремы Лагранжа) – противоречие с предложением 1.4.3. Таким
образом G –
коммутативна. ■
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10