Рациональные уравнения и неравенства - (реферат)
p>Решение. Разлагая числитель и знаменатель на множители, переписываем данное неравенство в виде< 0.
Точками, в которых множители меняют знаки, являются –5, 1, 2, 6. Они разбивают числовую ось не интервалы (-Ґ; -5), (-5; 1), (1; 2), (2; 6), (6; +Ґ). С помощью кривой знаков находим интервалы, где выполняется неравенство: (-5; 1) и (2; 6). При этом из (-5; 1) надо удалить точку 0, так как в этой точке выражение обращается в нуль. Итак, получаем ответ в виде (-5; 0)И(0; 1)И(2; 6). Ответ: (-5; 0)И(0; 1)И(2; 6).
Пример: Решить неравенство
< 0.
Решение. Разлагая числитель и знаменатель на множители, перепишем данное неравенство в виде
< 0.
Нанесем числа 0, 1, 2, 5, при которых числитель и знаменатель обращаются в нуль, на числовую ось. Они разбивают числовую ось на пять промежутков. С помощью “пробных” точек найдем знак выражения в каждом промежутке. Выпишем интервалы, где выполняется неравенство: (-Ґ; 0), (0; 1), (2; 5). Ответ: (-Ґ; 0)И(0; 1)И(2; 5).
Неравенства, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины. При решении неравенства, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величены, используется тот же прием, что и при решении уравнении, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величены, именно: решение исходного неравенства сводится к решению нескольких неравенств, рассматриваемых на промежутках знакопостоянства выражений, стоящих под знаков абсолютной величены. Пример: Решить неравенство
Ѕх2 - 2Ѕ + х < 0. (*)
Решение: Рассмотрим промежутки знакопостоянства выражения х2 – 2, стоящего под знаком абсолютной величены. Предположим, что
х2 – 2 і 0,
тогда неравенство (*) принимает вид
х2 + х –2 < 0.
Пересечение множества решений этого неравенства и неравенства х2 –2 і0 представляет собой первое множество решений исходного неравенства (рис 1): хО(-2; -]. 2) Предположим, что х2 – 2 < 0, тогда согласно определению абсолютной величены имеем Ѕх2 - 2Ѕ= 2 – х2, и неравенство (*) приобретает вид 2 – х2 + х < 0.
Пересечение множества решений этого неравенства и неравенства х2 – 2 < 0 дает второе множество решений исходного неравенства (рис. 2): хО(-; -1). Объединяя найденные множества решений, окончательно получаем хО(-2; -1) Ответ: хО(-2; -1).
В отличие от уравнений неравенства не допускают непосредственной проверки. Однако в большинстве случаев можно убедиться в правильности полученных результатов графическим способом. Действительно, запишем неравенство примера в виде
Ѕх - 2Ѕ < -х.
Построим функции y1 =Ѕх2 - 2Ѕ и y2= -х, входящие в левую и правую часть рассматриваемого неравенства, и найдем те значения аргумента, при которых y1
На рис. 3 заштрихованная область оси абсцисс содержит искомые значения х.
Решение неравенств, содержащих знак абсолютной величены, иногда можно значительно сократить, используя равенствоЅхЅ2= х2.
Пример: Решить неравенство
ЅЅ > 1. (*)
Решение: Исходное неравенство при всех х № -2 эквивалентно неравенству Ѕх - 1Ѕ> Ѕх + 2Ѕ. (**)
Возведя обе части неравенства (**) в квадрат, после приведения подобных членов получаем неравенство
6х < -3,
т. е. х < -1/2.
Учитывая множество допустимых значений исходного неравенства, определяемого условием х№ -2, окончательно получаем, что неравенство (*) выполняется при всех хО(-Ґ; -2)И(-2; -1/2). Ответ: (-Ґ; -2)И(-2; -1/2).
Пример: Найти наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству: ЅЅ > 1.
Решение: Так как Ѕх +1Ѕ і 0 и, по условию, Ѕх +1Ѕ № 0, то данное неравенство равносильно следующему: 2х + 5 > Ѕх +1Ѕ. Последнее в свою очередь, эквивалентно системе неравенств –(2х + 5) < х + 1 < 2х + 5, откуда
Наименьшим целым числом х удовлетворяющей этой системе будет неравенств, является 0. Заметим, что х № -1, иначе выражение в левой части данного неравенства не имеет смысла. Ответ: 0.
Пример: Решить неравенство:
ЅЅ і ЅхЅ - 2 .
Решение: Пусть ЅхЅ = y. Заметим далее, что ЅхЅ + 1 > 0. Поэтому данное неравенство эквивалентно следующему: -2 і (y –2)(y + 1), или y2 – y Ј 0, или 0 ЈyЈ 1, или 0 ЈЅхЅЈ 1. Отсюда -1Ј х Ј 1. Ответ: [-1; 1].
Пример: Решить неравенство
Ѕх2 – 3х + 2Ѕ+ Ѕ2х + 1Ѕ Ј 5.
Решение. х2 –3х + 2 отрицателен при 1 < x < 2 и неотрицателен при остальных х, 2х + 1 меняет знак при х = -Ѕ. Следовательно, нам надо рассмотреть четыре случая. х < -Ѕ. В этом случае х2 – 3х + 2 > 0, 2х +1 < 0. Получаем неравенство х2 – 3х + 2 – 2х – 1 Ј 5, х2 – 5х – 4 Ј 0. С учетом условия х < -Ѕ находим Ј х Ј -Ѕ. – Ѕ Ј х Ј 1. Имеем неравенство х2 – х – 2 Ј 0. Его решение –1 Ј х Ј 2. Следовательно, весь отрезок –Ѕ Ј x Ј 1удовлетворяет неравенству . 1 < x < 2. Получаем х2 – 5х + 6 і 0; х Ј 2 или х і 3. Вновь подходит весь интервал. х і 2. Неравенство то же, что и в случае 2. Подходит лишь х = 2. Ответ: Ј х Ј 2.
Пример: Решить неравенство.
ЅЅх3 + х - 3Ѕ- 5ЅЈ х3 – х + 8.
Решение. Решим это неравенство не стандартным образом.
Ѕх3 + х - 3Ѕ - 5 Ј х3 – х + 8, Ѕх3 + х - 3Ѕ Ј х3 – х + 13 Ѕх3 + х - 3Ѕ - 5 Ј -х3 + х – 8 Ѕх3 + х - 3Ѕ і - х3 + х – 3
х3 + х – 3 Ј х3 – х + 13 х Ј 8,
х3 + х – 3 і -х3 + х – 13, х3 і -5,
х3 + х – 3 і -х3 + х – 3, х3 і 0,
х3 + х – 3 Ј х3 – х + 3 х Ј 3
-Ј х Ј 8, -Ј х Ј 8.
х – любое
Ответ: -Ј х Ј 8.
Неравенства с параметрами.
Неравенства с параметрами являются наиболее трудными задачами курса элементарной математики. Это объясняется тем, что их решения следует получать при всех допустимых значениях входящих в них параметров.
Пример: Для всех значений а решить неравенство
aх > 1/x.
Решение: Запишем неравенство в виде
> 0,
тогда исходное неравенство эквивалентно двум системам неравенств: ax2 – 1 > 0, ax2 – 1 < 0,
x > 0; x < 0.
Рассмотрим первую систему. Первое неравенство запишем в виде:
ax2 > 1.
При а > 0 оно эквивалентно неравенству х2> 1/a, множество решений которого х < -1/ и x > 1/. В этом случае решения первой системы: хО(1/; Ґ). При а Ј 0 левая часть неравенства ах2 –1 > 0 отрицательна при любом х и неравенство решений не имеет, а следовательно, не имеет решений и вся система неравенств.
Рассмотрим вторую систему. При а > 0 решениями неравенства ах2 – 1
любых значениях х, т. е. это неравенство выполняется при все хОR и, следовательно, решениями системы будут значения хО(-Ґ; 0). Приведем графическую иллюстрацию решения этого примера.
Для этого рассмотрим отдельно два случая а > 0 и а Ј0 и для каждого из них построим графики функций, стоящих в левой и правой частях исходного неравенства. Заштрихованные промежутки оси Ох представляют собой решение неравенства в рассматриваемых случаях. Графическая иллюстрация облегчает решение уравнений и неравенств с параметрами.
Ответ: Если а Ј 0, то хО(-Ґ; 0); если а > 0, то хО(-1/; 0)И(1/; Ґ).
Пример: Решить неравенство:
ѕ < .
Решение: Преобразуем данное неравенство: 3m2х + 3 – 2mx2 – 6 < m + 9x; mx2 – 9x < m + 3; (m –3)(m + 3)x < m + 3. Далее находим решение неравенства при различных значения параметра m:
Пусть (m –3)(m + 3) > 0, т. е. m < -3 или m > 3. Тогда неравенство имеет решение х < 1/(m– 3). Пусть (m – 3)(m + 3) < 0, т. е. –3 < m < 3. Тогда неравенство имеет решение х > 1/(m – 3). Пусть (m –3)(m + 3) = 0, т. е. m = 3 или m = -3. Тогда если m = 3, то неравенство примет вид 0Чх < 6 и, значит выполняется при любом хОR. Если же m = -3, то неравенство примет вид 0Чх < 0 и, следовательно, не имеет решении.
Пример: Для каждого неотрицательного значения параметра а решить неравенство 4а3х4 + 4а2х2 + 32х + а + 8 і 0.
Решение. Левая часть неравенства представляет собой многочлен как относительно х, так и относительно параметра а. Степени соответственно равны 4 и 3. Однако если умножить многочлен на а, а затем сделать замену y = ax, то в новом многочлене максимальная степень параметра а будет равна 2. Случай а = 0 дает нам ответ хі- ј. Будем теперь считать, что а > 0. Умножив обе части неравенства на а и сделав замену y = ax, получим
4y4 + 4ay2 + 32y + a2 + 8a і 0.
Левая часть представляет собой квадратный трехчлен относительно а: a2 + (4y2 + 8)a + 4y2 + 32y і 0,
јD = (2y2 + 4) 2 – 4y2 – 32y = 16(y – 1) 2.
Раскладывая левую часть неравенства на множители, получим
(а + 2y2 + 4y)(a + 2y2 – 4y + 8) і 0,
или
(2y2 + 4y + a)(2y2 – 4y + 8 + a) і 0.
Второй множитель положителен при всех y, если а > 0. Приходим к неравенству 2y2 + 4y + a і 0, откуда, если 0 < a < 2, y Ј Ѕ(-2 -) или y і Ѕ(-2+); если а і 2, y – любое. Возвращаясь к х, получим ответ. Ответ: Если а = 0, то х і - ј; если 0 < a < 2, то х Ј 1/2a*(-2 - ) или х і 1/2a(-2 + ); если а і 2, то х – любое. Пример: Решить систему неравенств
х2 – 3х + 2 Ј 0,
ах2 – 2(а + 1)х + а – 1 і 0.
Решение: Поскольку решением первого неравенства является 1 Ј х Ј 2, то задача сводится (при а № 0) к выяснению расположения корней квадратного трехчлена f(x) = ах2 – 2(а + 1)х + а –1 относительно отрезка [1; 2]. Имеем јD = (а + 1) 2 – а(а – 1) = 3а + 1, f(1) = -3, f(2) = а – 5. Область изменения параметра а оказалось разделенной на 4 части (не считая граничных точек).
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
