Рациональные уравнения и неравенства - (реферат)
p>Из первого уравнения следует, что либо (x - 1) / (x + 1) = 1, либо (x - 1) / (x + 1) = -1. Из второго получаем, что либо (x - 1) / (x + 1) = 3, либо (x - 1) / (x + 1) = -3. Решая получившиеся уравнения, видим, что первое из них не имеет корней, а из трёх остальных получаем x1 = 0, x2 = - 2, x3 = -0, 5.Ответ: x1 = 0, x2 = - 2, x3 = -0, 5.
Пример 8. 39.
3(x2 – x + 1)2 – 5(x + 1)(x2 – x + 1) – 2(x + 1)2 = 0.
Решение. Это так называемое однородное уравнение, т. е. уравнение вида ay2a + byaza + cz2a = 0,
где a, b, c, a — заданные числа, отличные от нуля; y = y(x), z = z(x) — некоторые функции от x. Разделим обе части уравнения на (x2 – x + 1)2 № 0: 3 – 5(x + 1) / (x2 – x + 1) – 2((x + 1) / (x2 – x + 1))2 = 0. Пусть (x + 1) / (x2 – x + 1) = t, тогда 3 – 5t – 2t2 = 0, т. е. t1 = – 3; t2 = 0, 5. Следовательно: (x + 1) / (x2 – x + 1) = 0, 5 = 1 / 2; 2x + 2 = x2 – x + 1; x2 – 3x – 1 = 0; x1, 2 = (3 ± Ц13) / 2, (x + 1) / (x2 – x + 1) = – 3; x + 1 = – 3x2 + 3x – 3; 3x2 – 2x + 4 = 0; D = 4 – 48 < 0, Ю x О Ж. Ответ: x1, 2 = (3 ± Ц13) / 2.
Решение симметрических систем уравнений.
Напомним, что многочлен P (x, y) называется симметрическим, если P (x , y) = P (y, x).
При решении систем уравнений вида
P1 (x, y) = 0,
P2 (x, y) = 0,
где P1 (x, y) и P2 (x, y) —симметрические многочлены, полезной оказывается такая замена неизвестных: x + y = U, xy = V. Напомним, что любой симметрический многочлен P (x, y) можно представить как выражение от U и V.
Пример 9. 40. Решить систему уравнений
x2 + xy + y2 = 49,
x + y + xy = 23.
Решение. Заметим, что:
x2 + xy + y2 = x2 + 2xy + y2 - xy = (x + y)2 - xy.
Сделаем замену неизвестных: x + y = U, xy =V. Система примет вид: U2 - V = 49,
U + V = 23.
Сложив эти уравнения, получим уравнение U2 + U - 72 = 0 с корнями U1 = 8, U2 = -9. Соответственно V1 = 15, V2 = 32. Остаётся решить системы уравнений: x + y = 8,
xy = 15,
x + y = - 9,
xy = 32.
Система x + y = 8, имеет решения: x1 = 3, y1 = 5; x2 = 5, y2 = 3. xy = 15.
Система x + y = - 9, действительных решений не имеет. xy = 32.
Ответ: x1 = 3, y1 = 5; x2 = 5, y2 = 3.
Пример 9. 41. Решить систему
1 / x + 1 / y = 5,
1 / x2 + 1 / y2 = 13.
Решение. Сначала введём неизвестные X и Y:
X = 1 / x, Y = 1 / y,
а затем U и V: U = X + Y = 1 / x + 1 / y, V = XY = 1 / xy. Получается система:
U = 5,
U2 - 2V = 13,
из которой U = 5, V = 6. Далее решая систему
X + Y = 5,
XY = 6,
находим X1 = 2, Y1 = 3; X2 = 3, Y2 = 2, откуда получаем x1 = 1 / 2, y1 = 1 / 3; x2 = 1 /3, y2 = 1 / 2. Можно сразу ввести неизвестные U = x + y, V = xy, получится система U = 5V,
U2 - 2V = 13V2,
Приводящая к тем же решениям исходной системы.
Ответ: x1 = 1 / 2, y1 = 1 / 3; x2 = 1 /3, y2 = 1 / 2.
Уравнения и системы уравнений с параметрами.
Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами. Такие буквы называются параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения, т. е. одно уравнения с параметрами задаёт множество уравнений (для всех возможных значений параметров).
Например, линейное уравнение ax + b = c с неизвестным x можно рассматривать как уравнение с параметрами a, b, и c. Его решением при a№ 0 является x = (c -b) / a. Если a = 0, то получается “уравнение” b = c, и если действительно b = c, то корнями данного уравнения являются все действительные числа. Если же b№ c, при этом a = 0, то данное уравнение корней не имеет. Так, с параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых понятий. Не приводя подробных определений, рассмотрим случай в качестве примеров следующие объекты:
функция прямая пропорциональность: y = kx (x и y — переменные; k — параметр, k № 0); линейная функция: y = kx + b (x и у — переменные, k и b —параметры); линейное уравнение: ax + b = 0 (x — переменная; a и b —параметры); уравнение первой степени: ax + b = 0 (x — переменная; a и b — параметры, a № 0); квадратное уравнение: ax2 + bx + c = 0 (x — переменная; a, b и c — параметры, a № 0). Решить уравнение с параметрами означает следующее:
исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.
Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.
Ответ к задаче “решить уравнение с параметрами” должен выглядеть следующим образом: уравнение при таких-то значениях параметров имеет корни …, при таких-то значениях параметров — корни …, при остальных значениях параметров уравнение корней не имеет.
Пример 10. 42. Решим уравнение px = 6 с неизвестным x и параметром p. Если p №0, то можно разделить обе части уравнения на p, и тогда мы находим корень уравнения x = 6 /p. Если p = 0, то уравнение корней не имеет, потому что 0Чx = 0 для любого x. Ответ: при p №0 уравнение имеет единственный корень x = 6 / p; при p = 0 уравнение корней не имеет.
Пример 10. 43. Сравнить: -a и 3a.
Решение. Естественно рассмотреть три случая:
Если a < 0, то -a > 3a;
Если a = 0, то -a = 3a;
Если a > 0, то -a < 3a.
Пример 10. 44. Решить уравнения ax = 1.
Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ: x = 1 / a. Однако при a = 0 данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так:
Ответ: Если a = 0, то нет решений; если a № 0, то x = 1 / a.
Пример 10. 45. Решить уравнение (a2 - 1)x = a + 1.
Решение. Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достачно рассмотреть такие случаи:
a = 1; тогда уравнение принимает вил 0x = 2 и не имеет решений; a = -1; получаем 0x = 0, и очевидно x — любое.
a № ±1; имеем x = 1 / (a - 1).
Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы “ветвится” в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа—это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.
В только что разобранном примере запись ответа практически повторяет решение. Тем не менее, мы считаем целесобразным привести
Ответ: Если a = -1, то x — любое число; a = 1, то нет решений; если a № ±1, то x = 1 / (a - 1).
Пример 10. 46. При каких a уравнение ax2 - x + 3 = 0 имеет единственное решение? Решение. Прежде всего обратим внимание на распространённую ошибку: считать исходное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени, не выше второй. Пользуясь этим соображением, естественно начать решение, рассмотрев случай, когда a = 0, то очевидно данное уравнение имеет единственное решение. Если же a№ 0, то имеем дело с квадратным уравнением. Его дискриминант 1 - 12a принимает значение, равное нулю, при a = 1 / 12. Ответ: a = 0 или a = 1 / 12.
Пример 10. 47. при каких a уравнение (a - 2)x2 + (4 - 2a)x + 3 = 0 имеет единственное решение?
Решение. Понятно, что надо начинать со случая a = 2. Но при a = 2 исходное уравнение вообще не имеет решений. Если a№ 2, то данное уравнение — квадратное, и, казалось бы, искомые значения параметра —это корни дискриминанта. Однако дискриминант обращается в нуль при a = 2 или a = 5. Поскольку мы установили, что a = 2 не подходит, то
Ответ: a = 5.
Вероятно, в двух последних примерах ничего сложного нет (тем более, ели они уже решены). Однако, на наш взгляд, параметр в этих задачах проявляет своё “коварство”, особенно для начинающих. Поэтому полезно рассмотреть ещё несколько примеров, где параметр “расставляет ловушки”.
Пример 10. 48. При каких значениях a уравнение ax2 + 4x + a + 3 = 0 имеет более одного корня? Решение. При a = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При a№0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант 16- 4a2 - 12a — положительный. Отсюда получаем -4 < a < 1. Однако в полученный промежуток (-4; 1) входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо. Ответ: -4 < a < 0 или 0 < a < 1.
Пример 10. 49. При каких a уравнение a(a + 3)x2 + (2a + 6)x - 3a - 9 = 0 имеет более одного корня? Решение. Стандартный шаг — начать со случаев a = 0 и a = -3. При a = 0 уравнение имеет единственное решение. Любопытно, что при a = -3 решением уравнения служит любое действительное число. При a = -3 решением уравнения служит любое действительное число. При a № -3 и a №0, разделив обе части данного уравнения на a + 3, получим квадратное уравнение ax2 + 2x - 3 = 0, дискриминант которого 4(1 + 3a) положителен при a > -1 / 3. Опыт предыдущих примеров подсказывает, что из промежутка (-1 / 3; Ґ) надо исключить точку a = 0, а в ответ не забыть включить a = -3. Ответ: a = -3 или -1 / 3 < a < 0, или a > 0.
Пример 10. 50. При каких значениях a уравнение (x2 - ax + 1) / (x + 3) = 0 имеет единственное решение? Решение. Данное уравнение равносильно системе
x2 - ax + 1 = 0,
x № -3.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
