Рациональные уравнения и неравенства - (реферат)
p>Доказательство. Пусть при х = а P(a) > Q(a) – верное числовое неравенство, т. е. х = а – одно из решении первого неравенства. T(a) – значение Т(х) при х = а Т(а) > 0. По свойству числовых неравенств P(a)ЧT(a) > Q(a)ЧT(a) – тоже верное числовое неравенство, т. е. х = а –одно из решении первого неравенства. Следовательно, если х= а – решение первого неравенства, то х = а – также решение второго неравенства. Пусть при х = b неравенство P(b)ЧT(b) > Q(b)ЧT(b) – верное числовое неравенство, т. е. х = b – одно из решении второго неравенства. По свойству числовых неравенств P(b) > Q(b) – тоже верное числовое неравенство, так как T(b) > 0. Следовательно, х = b – одно из решении первого неравенства. Поскольку множества решении первого и второго неравенств совпадают, то они равносильные.Свойство 4. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число или на одно и то же выражение, отрицательное при всех значениях переменной, и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
Это свойство доказывается аналогично 3 свойству.
Алгебраические неравенства.
Линейными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b і 0, ax + b Ј 0, a № 0,
решениями которых будут:
при a > 0
xО(- ; Ґ ), xО( -Ґ; - ), xО[ - ; Ґ ), xО( -Ґ; - ],
при а < 0
xО( -Ґ; - ), xО( - ; Ґ ), xО( -Ґ; - ], xО[ - ; Ґ ).
Квадратными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0,
ax2 + bx + c і 0, ax2 + bx + c Ј 0,
где a, b, c ѕ некоторые действительные числа и а № 0.
Квадратное неравенство ax2+ bx + c > 0 в зависимости от значении своих коэффициентов a, b и c имеет решения:
при а > 0 и D = b2 – 4ac і 0
xО( -Ґ; )И(; Ґ);
при а > 0 и D < 0 x ѕ любое действительное число;
при а < 0 и D і 0
xО( ; );
при а < 0 и D < 0
x = Ж (т. е. решении нет ).
Решение неравенства ax2+ bx + c < 0 сводится к решению рассмотренного неравенства, если обе части неравенства умножить на (-1).
Метод интервалов.
Пусть Рn(x) ѕ многочлен n-й степени с действительными коэффициентами, а c1, c2, ј , ci ѕ все действительные корни многочлена с кратностями k1, k2, ј , ki соответственно, причем с1 > c2 > ј > ci. Многочлен Pn(x) можно представить в виде Рn(x) = (x - c1) k1(x - c2) k2 ј (x – ci)ki Qm(x), (3)
где многочлен Qm(x) действительных корней не имеет и либо положителен, либо отрицателен при всех хОR. Положим для определенности, что Qm(x) > 0. Тогда при х > c1 все сомножители в разложении (3) положительны и Рn(х) > 0. Если с1 ѕ корень нечетной кратности (k1 ѕ нечетное), то при хО(с2; с1) все сомножители в разложении (3), за исключением первого, положительны и Рn(х) 0 при хО(c2; с1). В этом случае говорят, что многочлен Рn(х) не меняет знак при переходе через корень с1. Аналогичным способом, используя разложение (3), нетрудно убедится, что при переходе через корень с2 многочлен Рn(х) меняет знак, если k2 ѕ нечетное, и не меняет знака, если k2 ѕчетное. Рассмотренное свойство многочленов используется для решения неравенств методом интервалов. Для того чтобы найти все решения
Рn(х) > 0, (4)
достаточно знать все действительные корни многочлена Рn(х) их кратности и знак многочлена Рn(х) в произвольно выбранной точке, не совпадающей с корнем многочлена.
Пример: Решить неравенство
х4 + 3х3 – 4х > 0. (*)
Решение. Разложим на множители многочлен Р4(х), стоящий в левой части неравенства (*). Вынося множитель х за скобку, получаем
Р4(х) = х(х3 + 3х2 – 4).
Второй сомножитель, представляющий собой кубический многочлен, имеет корень х = 1. Следовательно, он может быть представлен в виде
х3 + 3х2 – 4 = (х-1)(х2 + 4х + 4) = (х-1)(х + 2) 2.
Таким образом, Р4(х) = х(х - 1)(х + 2) 2 и неравенство (*) может быть записано в виде х(х –1)(х + 2)2 > 0. (**)
Решим неравенство (**) методом интервалов. При х > 1 все сомножители, стоящие в левой части неравенства, положительны.
Будем двигаться по оси Ох справа налево. При переходе через точку х = 1 многочлен Р4(х) меняет знак и принимает отрицательные значения, так как х = 1 ѕпростой корень (корень кратности 1); при переходе через точку х = 0 многочлен также меняет знак и принимает положительные значения, так как х = 0ѕтакже простой корень; при переходе через точку х = -2 многочлен знака не меняет, так как х = -2ѕ корень кратности 2. Промежутки знакопостоянства многочлена Р4 (х) схематически представлены на рис 1. Используя этот рисунок, легко выписать множество решений исходного неравенства.
Ответ. х О (-Ґ; -2) И (-2; 0) И (1; Ґ).
Пример: Решить неравенство
(х2 – 3х – 2)(х2 – 3х + 1) < 10.
Решение: Пусть х2 – 3х – 2 = y. Тогда неравенство примет вид y(y +3) < 10, или y2 + 3y – 10 < 0, откуда (y + 5)(y – 2) < 0. Решением этого неравенства служит интервал –5
или
x2 – 3x –2 > -5, x2 – 3x + 3 > 0,
откуда
(x – 4)(x + 1) < 0,
(x + )2 + > 0.
Поскольку второе неравенство выполняется при всех х, решение этой системы есть интервал (-1; 4).
Ответ: (-1; 4).
Пример: Решить неравенство
х4 – 34х2 + 225 < 0.
Решение. Сначала решим биквадратное уравнение х4 – 34х2 + 225 < 0. Полагая х2 = z, получаем квадратное уравнение z2 – 34z + 225 = 0, из которого находим: z1 = 9 и z2 = 25. Решая уравнения х2 = 9 и х2 = 25, получаем 4 корня биквадратного уравнения: -3, 3, -5, 5. Значит, х4 – 34х2 + 225 = (х + 5)(х + 3)(х – 3)(х – 5), и поэтому заданное неравенство иммет вид: (х + 5)(х + 3)(х – 3)(х – 5) < 0.
Изображаем на координатной прямой точки –5, -3, 3, 5 и проводим кривую знаков. Решение неравенства является объединение интервалов (-5; -3) и (3; 5).
Ответ: (-5; -3)И(3; 5).
Пример: Решить неравенство
х4 – 3 < 2х(2х2 – х – 2).
Решение. Дано целое рациональное неравенство. Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем многочлен к стандартному виду. Получим равносильное неравенство
х4 – 4х3 + 2х2 + 4х – 3 < 0.
Решая уравнение х4 – 4х3 + 2х2 + 4х – 3 = 0, находим корни х1 = -1, х2, 3 = 1, х4 = 3. Тогда неравенство можно переписать в виде (х – 1) 2(х + 1)(х – 3) < 0.
Найденные корни разбивают числовую ось на четыре промежутка, на каждом из которых левая часть неравенства, а значит, и исходного неравенства сохраняет знак. Выбирая пробные точки в каждом из промежутков (достаточно значения х подставлять только в последний два сомножителя), получаем знаки, указанные на рисунке. Видим, что неравенство выполняется на промежутках (-1; 1) и (1; 3). Так как неравенство строгое, то числа –1, 1, 3 не входят в решение неравенства. Ответ: (-1; 1)И(1; 3).
Дробно-рациональные неравенства.
Решение рационального неравенства
> 0 (5)
где Рn(х) и Qm(х) ѕмногочлены, сводится к решению эквивалентного неравенства (4) следующим образом: умножив обе части неравенства (5) на многочлен [Qm(x)]2, который положителен при всех допустимых значениях неизвестного х (т. е. при тех х, при которых Qm(x) № 0), получим неравенство
Рn(х) Ч Qm(x) > 0,
эквивалентное неравенству (5).
Дробно-линейным называется неравенство вида
> k
где a, b, c, d, k ѕ некоторые действительные числа и с №0, (если с = 0, то дробно-линейное неравенство превращается в линейное, неравенство (6) не содержит аргумента). К дробно-линейным неравенствам относятся и неравенства вида (6), где вместо знака > стоят знаки
Пример: Решить неравенство
< -1.
Решение: Прибавляя к обеим частям неравенства 1, получим неравенство вида (5). < 0,
которое эквивалентно неравенству
х2(х2 – х – 2) < 0.
Множество решений последнего неравенства находится методом интервалов: хО( -1; 0)И(0; 2). Ответ: хО(-1; 0)И(0; 2).
Пример: Решить неравенство
Ј .
Решение: Перенеся все члены неравенства в левую часть, получим - - Ј 0, или Ј 0, откуда Ј 0.
Пользуясь методом интервалов и учитывая знак неравенства, заключаем, что решением неравенства является объединение полуинтервалов: [-4; -3)И(-1; 1]. Ответ: [-4; -3)И(-1; 1].
Пример: Решить неравенство:
Ј 0.
Решение: Полагая х № 0 и х №3, разделим обе части неравенства на положительную дробь и получим и сразу заметим, что х = 0 удовлетворяет заданному неравенству, а х = 3 не удовлетворяет. Кроме того, множители с нечетными показателями степени заменим соответствующими множителями первой степени (ясно, что при этом знак выражения в левой части неравенства не изменится). В результате получим более простое неравенство, равносильное заданному для всех х№0 и х№3:
Ј 0.
Начертив кривую знаков, заштрихуем промежутки удовлетворяющие этому неравенству, и отметим на той же оси точки х = 0 и х = 3. Учитывая, что значение х = 0 является решением заданного неравенства, но не принадлежит заштрихованному промежутку, его следует дополнительно включать в ответ. Значение х = 3 не является решением неравенства, но принадлежит заштрихованному промежутку; следовательно, это значение нужно исключить. Итак, получаем ответ: (-Ґ; -4)И[1; 3)И И(3; 4, 5]U0.
Ответ: (-Ґ; -4)И[1; 3)И(3; 4, 5]U0.
Пример: Решить неравенство
< 0.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
