Рациональные уравнения и неравенства - (реферат)
p>В некоторых случаях уравнение со знаком модуля имеет бесконечно много решений.Пример 12. 60. |8 - 5x| = |3 + x| + |5 -6x|.
Выражения (8 - 5x), (3 + x) и (5 - 6x) обращаются в нуль соответственно в точках 8 /5, -3, 5 / 6. Эти точки разбивают числовую ось на 4 промежутка. При этом, в ходе решения, устанавливаем, что на промежутках (-Ґ; -3), (5 / 6; 8 /5], (8 / 5; +Ґ) уравнение корней не имеет, а на промежутке [-3; 5 / 6] оно обращается в тождество 8 - 5x = 3 + x + 5 - 6x. Поэтому ответ имеет вид [-3; 5 / 6]. Ответ: [-3; 5/ 6].
Несколько сложнее решаются уравнения, в которых встречается знак модуля под знаком модуля. Однако и в этом случае метод разбиения оси на промежутки знакопостоянства позволяет решить уравнение.
Пример 12. 61. Решим уравнение |2x - 3 - |x + 2|| = 8x + 12.
Решение. Выражение (x + 2) обращается в нуль при x = -2. Если x < -2, то (x + 2) < 0 и потому |x + 2| = -(x + 2). Значит, на промежутке (-Ґ; - 2) заданное уравнение принимает вид |2x - 3 + (x + 2)| = 8x + 12, т. е. |3x - 1| = 8x + 12. Но при x < -2 имеем 3x - 1 < 0 и потому |3x - 1| = - (3x - 1). Получаем уравнение -(3x - 1) = 8x + 12, имеющее корень x = -1. Так как это число не лежит на промежутке (-Ґ; - 2), то заданное уравнение не имеет на это промежутке корней. Пусть теперь x і - 2. Тогда |x + 2| = x + 2, и мы получаем уравнение |2x - 3 - (x + 2)| =8x + 12, т. е. |x - 5| = 8x + 12. Здесь надо рассмотреть два случая: x < 5 и x і 5. В первом случае Ѕx - 5| = -(х - 5), и потому получаем уравнение -(x - 5) = 8x + 12. Его корень равен -7 / 9. Поскольку -2 Ј (-7 / 9) Ј 5, то -7 / 9 является корнем заданного уравнения. Если же x і 5, то |x - 5| = x - 5 и уравнение принимает вид x - 5 = 8x + 12. Корнем полученного уравнения является число -17 / 7. Поскольку оно не лежит на луче [5; +Ґ), оно не является корнем заданного уравнения. Итак, решение имеет вид x = - 7 / 9. Ответ: x = -7 / 9.
Пример 12. 62.
|1 – 2x| + |3x + 2| + |x| = 5.
Решение. Приравниваем к нулю выражения, стоящие под знаком модуля, отмечаем на числовой оси полученные значения, исследуем уравнения в каждом из полученных интервалов:
А) если x < – 2 / 3, то 1 – 2x > 0, 3x + 2 < 0, x < 0 и уравнение переписывается так: 1 – 2x – 3x – 2 – x = 5, т. е. – 6x = 6, x = – 1 О(–Ґ; – 2 / 3). Б) если – 2 / 3 Ј x < 0, то 1 – 2x > 0, 3x + 2 і 0, x < 0 и поэтому имеем: 1 – 2x + 3x + 2 – x = 5, и т. к. 3 № 5, то в промежутке [– 2 / 3; 0) корней нет. В) если 0 Ј x < 0, 5, то получаем: 1 – 2x + 3x + 2 + x = 5, т. е. 2x = 2; x = 1 П[0; 0, 5). Г) если 0, 5 Ј x, то – 1 +2x + 3x + 2 + x = 5, 6x = 4, x = 2 / 3 О(0, 5; Ґ). Ответ: x1 = – 1; x2 = 2 / 3.
Пример 12. 63.
| x | + | x – 1 | = 1.
Решение. (x – 1) = 0, x = 1; Ю получаем интервалы:
A) x О(-Ґ; 0), тогда – x – x +1 = 1; – 2x = 0; x = 0 П(-Ґ; 0). Б) x О[0; 1), тогда x – x +1 = 1; 1 = 1 Ю x — любое число из [0; 1). В) x О[1; Ґ), тогда x + x – 1 = 1; 2x = 2; x = 1 О[1; Ґ). Ответ: x О[0; 1].
Основные методы решения рациональных уравнений.
1) Простейшие: решаются путём обычных упрощений —приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и так далее. Квадратные уравнения ax2 + bx + c = 0 решаются по выведенной нами формуле
Также используется теорема Виета: x1 + x2 = – b / a; x1x2 = c / a.
2) Группировка: путём группировки слагаемых, применения формул сокращённого умножения привести (если удастся) уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких сомножителей, а справа— ноль. Затем приравниваем к нулю каждый из сомножителей.
3) Подстановка: ищем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения. В некоторых случаях очевидно что удобно обозначить. Например, уравнение
(x2 + x – 5) / x + 3x / (x2 + x – 5) + 4 = 0,
легко решается с помощью подстановки (x2 + x – 5) / x = t, получаем t + (3 / t) + 4 = 0. Или: 21 / (x2 – 4x + 10) – x2 + 4x = 6. Здесь можно сделать подстановку x2 – 4 = t. Тогда 21 / (t + 10) - t = 6 и т. д. В более сложных случаях подстановка видна лишь после нескольких преобразований. Например, дано уравнение
(x2 + 2x)2 – (x +1)2 = 55.
Переписав его иначе, а именно (x2 + 2x)2 – (x2 + 2x + 1) = 55, сразу увидим подстановку x2 + 2x=t. Имеем t2 – t – 56 = 0, t1 = – 7, t2 = 8. Осталось решить x2 + 2x = – 7 и x2 + 2x = 8. В ряде других случаев удобную подстановку желательно знать “заранее”. Например Уравнение (x + a)4 + (x + b)4 = c сводится к биквадратному, если сделать подстановку x = t – (a + b) / 2.
Симметрическое уравнение (возвратное) a0xn + a1xn – 1 + … + a1x + a0= 0 (коэффициенты членов, равностоящих от концов, равны) решается с помощью подстановки x + 1 / x = t, если n—чётное; если n — нечётное, то уравнение имеет корень x = – 1. Уравнение вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = l сводится к квадратному, если a + b = c + d и т. д.
4) Подбор: при решении уравнений высших степеней рациональные корни уравнения anxn + an – 1xn – 1 + … + a1x + a0 = 0 ищем в виде p / q, где p — делитель a0, q — делитель an, p и q взаимно просты, pОZ, qОN. 5) “Искусство”, т. е. решать пример нестандартно, придумать “свой метод”, догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т. д.
6) Уравнения с модулем: при решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов. Напомним, что
f (x), если f (x) і 0,
| f (x) | =
– f (x), если f (x) < 0.
Рациональные неравенства.
Пусть ¦(c) ѕ числовая функция одного или нескольких переменных (аргументов). Решить неравенство ¦(c) < 0 (¦(c) > 0) (1) ѕ это значит найти все значения аргумента (аргументов) функции ¦, при которых неравенство (1) справедливо. Множество всех значении аргумента (аргументов) функции¦, при которых неравенство (1) справедливо, называется множеством решении неравенства или просто решением неравенства. Множество решении нестрого неравенства
¦(c) Ј 0 (¦(c) і 0) (2)
представляет собой объединение множества решении неравенства (1) и множества решении уравнения¦(c) = 0.
Два неравенства считаются эквивалентными, если множества их решении совпадают. Под множеством допустимых значении неизвестных, входящих в неравенство, понимают область определения функции ¦(c). Неравенства вида (1) или (2), составленные для различных функции ¦i(c), могут быть сведены в систему неравенств. Решить систему неравенств ѕ это значит найти множество всех значении аргументов функции ¦i(c), при которых справедливы все неравенства системы одновременно. Говорят, что системы неравенств эквивалентны, если множества их решении совпадают.
Свойства равносильных неравенств.
При решении неравенств используют свойства равносильности.
Неравенства с одной переменной называются равносильными, если множества их решении совпадают. Например, неравенства 3х > 6 и х – 2 > 0 имеют одинаковые множества решении хО[2; +Ґ]. Эти неравенства – равносильные. Неравенства х > 0 и х2 > 0 – неравносильные, так как решение первого неравенства есть множество хО[0; +Ґ], а решение второго неравенства есть множество хО[-Ґ; 0]И[0; +Ґ]. Эти множества не совпадают. При решении неравенств выполняются только такие преобразования, при которых получаются более простые равносильные неравенства. Эти преобразования возможны при выполнении следующих свойств равносильных неравенств.
Свойство 1. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число или одно и то же выражение, которое имеет смысл при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.
Дано. Р(х) > Q(x) – неравенство, Т(х) – выражение, которое имеет смысл при всех действительных значениях х, хОR. Доказать. Неравенства Р(х) > Q(x) и Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x) – равносильные. Доказательство. а) Пусть при х = а неравенство Р(а) > Q(a) – верное числовое равенство, т. е. х =а – одно из решении неравенства Р(х) > Q(x), Т(а) – значение Т(х) при х =а. По свойству числовых неравенств Р(а) + Т(а) > Q(a) + T(a) – верное числовое неравенство. Следовательно, х = а –одно из решений неравенства Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x). Поэтому, если х =а есть решение первого неравенства, то это значение есть также решение второго неравенства.
б) Пусть х = b –одно из решений неравенства Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x), т. е. P(b) + T(b) > Q(b) + T(b)–верное числовое неравенство. По свойству числовых неравенств P(b) > Q(b) – тоже верное числовое неравенство. Следовательно, х = b – решение неравенства P(x) > Q(x). Так как множества решений неравенства P(x) > Q(x) и P(x) + T(x) > > Q(x) + T(x) совпадают, то эти неравенства равносильные.
Свойство 2. Если в неравенстве любое слагаемое, которое имеет смысл при вех хОR, перенести из одно части в другую с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильно данному.
Дано. P(x) + T(x) > Q(x) – неравенство, Т(х) – слагаемое, которое имеет смысл при всех хОR. Доказать. Неравенства P(x) + T(x) > Q(x) и P(x) > Q(x) – T(x) – равносильные. Доказательство. По свойству 1 можно к обеим частям неравенства P(x) + T(x) > Q(x) прибавить слагаемое (-Т(х)), так как это слагаемое имеет смысл при всех хОR; получим равносильное неравенство: P(x) + T(x) – T(x) > Q(x) – T(x), отсюда P(x) > Q(x) – T(x).
Свойство 3. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число или на одно и то же выражение, положительное при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.
Дано. P(x) > Q(x) – неравенство (1),
T(x) > 0, xОR,
P(x)ЧT(x) > Q(x)ЧT(x) – неравенство (2).
Доказать. Неравенства (1) и (2) равносильные.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
