Быстрый поиск

Рациональные уравнения и неравенства - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

    Рациональные уравнения и неравенства
    Содержание
    I. Рациональные уравнения.
    Линейные уравнения.
    Системы линейных уравнений.
    Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.
    Возвратные уравнения.
    Формула Виета для многочленов высших степеней.
    Системы уравнений второй степени.

Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем уравнений. Однородные уравнения.

    Решение симметрических систем уравнений.
    Уравнения и системы уравнений с параметрами.
    Графический метод решения систем нелинейных уравнений.
    Уравнения, содержащие знак модуля.
    Основные методы решения рациональных уравнений
    II. Рациональные неравенства.
    Свойства равносильных неравенств.
    Алгебраические неравенства.
    Метод интервалов.
    Дробно-рациональные неравенства.

Неравенства, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины. Неравенства с параметрами.

    Системы рациональных неравенств.
    Графическое решение неравенств.
    III. Проверочный тест.
    Рациональные уравнения
    Функция вида
    P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + … + an – 1x + an,

где n — натуральное, a0, a1, …, an — некоторые действительные числа, называется целой рациональной функцией. Уравнение вида P(x) = 0, где P(x) — целая рациональная функция, называется целым рациональным уравнением. Уравнение вида

P1(x) / Q1(x) + P2(x) / Q2(x) + … + Pm(x) / Qm(x) = 0,

где P1(x), P2(x), … , Pm(x), Q1(x), Q2(x), …, Qm(x) — целые рациональные функции, называется рациональным уравнением. Решение рационального уравнения P (x) / Q (x) = 0, где P (x) и Q (x) — многочлены (Q (x) №0), сводится к решению уравнения P (x) = 0 и проверке того, что корни удовлетворяют условию Q (x)№ 0.

Линейные уравнения.

Уравнения вида ax+b=0, где a и b — некоторые постоянные, называется линейным уравнением. Если a№0, то линейное уравнение имеет единственный корень: x = -b /a. Если a=0; b№0, то линейное уравнение решений не имеет.

Если a=0; b=0, то, переписав исходное уравнение в виде ax = -b, легко видеть, что любое x является решением линейного уравнения.

Уравнение прямой имеет вид: y = ax + b.

Если прямая проходит через точку с координатами X0 и Y0, то эти координаты удовлетворяют уравнению прямой, т. е. Y0 = aX0 + b. Пример 1. 1. Решить уравнение

2x – 3 + 4(x – 1) = 5.

Решение. Последовательно раскроем скобки, приведём подобные члены и найдём x: 2x– 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

    6x = 12, x = 2.
    Ответ: 2.
    Пример 1. 2. Решить уравнение
    2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7.
    Решение. 2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7, 0x = – 6.
    Ответ: Ж.
    Пример 1. 3. Решить уравнение.
    2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1) + 5.
    Решение. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,
    – 4x + 9 = 9 – 4x,
    -4x + 4x = 9 – 9,
    0x = 0.
    Ответ: Любое число.
    Системы линейных уравнений.
    Уравнение вида
    a1x1 + a2x2 + … + anxn = b,

где a1, b1, … , an, b —некоторые постоянные, называется линейным уравнением с n неизвестными x1, x2, …, xn. Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Если система из n неизвестных, то возможны следующие три случая:

    система не имеет решений;
    система имеет ровно одно решение;
    система имеет бесконечно много решений.
    Пример 2. 4. решить систему уравнений
    2x + 3y = 8,
    3x + 2y = 7.

Решение. Решить систему линейных уравнений можно способом подстановки, который состоит в том, что какого-либо уравнения системы выражают одно неизвестное через другие неизвестные, а затем подставляют значение этого неизвестного в остальные уравнения.

Из первого уравнения выражаем: x= (8 –3y) / 2. Подставляем это выражение во второе уравнение и получаем систему уравнений

x = (8 – 3y) / 2,
3(8 – 3y) / 2 + 2y = 7.

Из второго уравнения получаем y = 2. С учётом этого из первого уравнения x = 1. Ответ: (1; 2).

    Пример 2. 5. Решить систему уравнений
    x + y = 3,
    2x + 2y = 7.

Решение. Система не имеет решений, так как два уравнения системы не могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения x + y = 3, а из второго x + y = 3, 5).

    Ответ: Решений нет.
    Пример 2. 6. решить систему уравнений
    x + y = 5,
    2x + 2y = 10.

Решение. Система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение получается из первого путём умножения на 2 (т. е. фактически есть всего одно уравнение с двумя неизвестными).

    Ответ: Бесконечно много решений.
    Пример 2. 7. решить систему уравнений
    x + y – z = 2,
    2x – y + 4z = 1,
    x + 6y + z = 5.

Решение. При решении систем линейных уравнений удобно пользоваться методом Гаусса, который состоит в преобразовании системы к треугольному виду. Умножаем первое уравнение системы на – 2 и, складывая полученный результат со вторым уравнением, получаем – 3y + 6z = – 3. Это уравнение можно переписать в виде y –2z = 1. Складывая первое уравнение с третьим, получаем 7y = 7, или y = 1. Таким образом, система приобрела треугольный вид

    x + y – z = 2,
    y – 2z = 1,
    y = 1.

Подставляя y = 1 во второе уравнение, находим z = 0. Подставляя y =1 и z = 0 в первое уравнение, находим x = 1.

Ответ: (1; 1; 0).

Пример 2. 8. при каких значениях параметра a система уравнений

    2x + ay = a + 2,
    (a + 1)x + 2ay = 2a + 4
    имеет бесконечно много решений?
    Решение. Из первого уравнения выражаем x:
    x = – (a / 2)y + a / 2 +1.
    Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем
    (a + 1)( – (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.
    Далее умножим обе части уравнения на 2 и упростим его:
    (a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,
    4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),
    ya(4 – a – 1 ) = (a + 2)(4 – a – 1),
    ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

Анализируя последнее уравнение, отметим, что при a = 3 оно имеет вид 0y = 0, т. е. оно удовлетворяется при любых значениях y.

Ответ: 3.
Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.

Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b и c — некоторые числа (a№0); x — переменная, называется квадратным уравнением.

Формула решения квадратного уравнения.

Сначала разделим обе части уравнения ax2 + bx + c = 0 на a — от этого его корни не изменятся. Для решения получившегося уравнения x2+ (b / a)x + (c / a) = 0

выделим в левой части полный квадрат

x2 + (b / a) + (c / a) = (x2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a)2) – (b / 2a)2 + (c / a) = = (x + (b / 2a))2 – (b2) / (4a2) + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – ((b2 – 4ac) / (4a2)). Для краткости обозначим выражение (b2 – 4ac) через D. Тогда полученное тождество примет вид x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – (D / (4a2)).

Возможны три случая:

если число D положительно (D > 0), то в этом случае можно извлечь из D квадратный корень и записать D в виде D = (ЦD)2. Тогда

D / (4a2) = (ЦD)2 / (2a)2 = (ЦD / 2a)2, потому тождество принимает вид x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – (ЦD / 2a)2.

По формуле разности квадратов выводим отсюда:

x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (ЦD / 2a))(x + (b / 2a) + (ЦD / 2a)) = = (x – (( -b + ЦD) / 2a)) (x – (( – b – ЦD) / 2a)).

Теорема: Если выполняется тождество
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2),

то квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 при X1 № X2 имеет два корня X1 и X2, а при X1 = X2 — лишь один корень X1. В силу этой теоремы из, выведенного выше, тождества следует, что уравнение x2 + (b / a)x + (c / a) = 0,

а тем самым и уравнение ax2 + bx + c = 0, имеет два корня: X1=(-b + Ц D) / 2a; X2= (-b - Ц D) / 2a.

Таким образом x2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2). Обычно эти корни записывают одной формулой:

    где b2 – 4ac = D.
    если число D равно нулю (D = 0), то тождество
    x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – (D / (4a2))
    принимает вид x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10