Рациональные уравнения и неравенства - (реферат)

p>Решение. Из первого уравнения находим, что у = 11 - 2х. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем: х2 + (11 - 2х)2 = 53. Раскроем скобки и приведём подобные члены:

    х2 + 121 - 44х + 4х2 = 53

и потому 5х2 - 44х + 68 = 0. Значит, для нахождения х надо решить уравнение 5х2 - 44х + 68 = 0.

Решая его, находим D = (-44)2 - 4Ч5Ч68 = 1936 - 1360 = 576, Х1, 2 = (44 ± 24) / 10.

Итак х1 = 6, 8; х2 = 2, Ю у1 = 11 - 2Ч6, 8 = -2, 6; у2 = 11 - 2Ч2 = 7. Ответ: х1 = 6, 8; у1 = -2, 6; х2 = 2; у2 = 7.

Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем уравнений.

При решении биквадратных и возвратных уравнений мы вводили новые неизвестные (у = х2для биквадратных уравнений и у = х + 1 / х для возвратных уравнений). Введение новых неизвестных применяется также при решении уравнений иного вида и систем уравнений.

Пример 7. 28. Решим уравнение 12 / (х2 + 2х) - 3 / (х2 + 2х - 2) = 1. Решение. Если попробовать привести дробь в левой части уравнения к одному знаменателю, то получим уравнение четвёртой степени, которое мы умеем решать. Чтобы решить заданное уравнение, заметим, что в обе дроби входит одно и то же выражение х2 + 2х. Поэтому введём новое неизвестное у, положив, что у = х2 + 2х. Тогда уравнение примет вид 12 / у - 3 / (у - 2) = 1 или (у2 - 11у + 24) / (у(у - 2)) = 0, откуда y1 = 3; y2 = 8. Осталось решить уравнения х2 + 2х = 3 (его корни х1 = 1, х2 = -3) и х2 + 2х = 8 (его корни х3 = 2, х4 = -4). Применённый метод называется методом введения новых неизвестных, и его полезно применять, когда неизвестное входит в уравнение всюду в виде одной и той же комбинации (особенно если эта комбинация содержит степени неизвестного выше первой).

    Пример 7. 29. Решим систему уравнений
    2 / х + 3 / у = 8,
    5 / х - 2 / у = 1.

Решение. Обозначим 1 / х через U, а 1 / у через V. Тогда система примет вид

    2U + 3V = 8,
    5U - 2V = 1,

т. е. получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными U и V. Из первого уравнения выражаем U через V: U = 4- 3V / 2, и подставляя во второе: 5(4 - 3V / 2) -2V = 1, откуда V = 2. Теперь находим U = 1 и решаем уравнения 1 / x = 1, 1 / y = 2.

    Ответ: x = 1, y = 0, 5.
    Пример 7. 30.
    (x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680.
    Решение. (x – 4)(x – 7)Ч(x – 5)(x – 6) = 1680, т. е.
    (x2 – 11x + 28)(x2 – 11x + 30) = 1680.

Обозначим x2 – 11x + 28 = t, тогда t(t + 2) = 1680, t2 + 2t – 1680 = 0, t1 = – 42; t2 = 40. Поэтому x2 – 11x + 28 = – 42; x2 – 11x + 70 = 0; D = 121 – 280 < 0 Ю x1, 2 О Ж. x2 – 11x + 28 = 40; x2 – 11x – 12 = 0; x1 = 12; x2 = – 1.

    Ответ: x1 = 12; x2 = – 1.
    Пример 7. 31.
    2x4 + 3x3 – 16x2 + 3x + 2 = 0.

Решение. Это возвратное уравнение. Разделим обе части уравнения на x2 № 0, получим 2x2 + 3x – 16 +3 / x + 2 / x2 = 0, т. е.

    2(x2 + 1 / x2) + 3(x + 1 / x) – 16 = 0,

обозначим x + 1 / x = t, тогда x2 + 2 + 1 / x2 = t2, т. е. x2 + 1 / x2 = t2 – 2, получаем 2(t2 – 2) + 3t – 16=0, т. е. 2t2 + 3t – 20 = 0, t1 = – 4; t2 = 5 / 2 = 2, 5. Следовательно, имеем x + 1 / x = – 4; x2 + 4x + 1 = 0; x1, 2 = –2 ± Ц3,

    x + 1 / x = 2, 5; 2x2 – 5x + 2 = 0; x3 = 2; x4 = 1 / 2.
    Ответ: x1, 2 = –2 ± Ц3; x3 = 2; x4 = 1 / 2.
    Пример 7. 32.
    (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16.

Решение. Сделаем подстановку x = t – 4. Тогда получаем (t – 1)4 + (t + 1)4 = 16, т. е. t4 – 4t3 + 6t2 – 4t + 1 + t4 + 4t3 + 6t2 + 4t + 1 = 16,

т. е. 2t4 + 12t2 – 14 = 0, или t4 + 6t2 – 7 = 0. Положим t2 = z і 0, тогда z2 +6z – 7 = 0, z1 = – 7; z2 = 1.

С учётом t2 = z і 0 отбрасываем z1. Итак, z = 1, т. е. t2 = 1, отсюда t1 = –1; t2 = 1. Следовательно, x1 = – 1 – 4 = – 5 и x2 = 1 – 4 = – 3. Ответ: x1 = – 5 и x2 = – 3.

    Пример 7. 33.
    13x / (2x2 + x +3) + 2x / (2x2 – 5x + 3) = 6.
    Решение. Разделим числитель и знаменатель дробей на x № 0:
    13 / (2x + 1 + 3 / x) + 2 / (2x – 5 +3 / x) = 6,

обозначим 2x + 3 /x = t. Получаем 13 / (t + 1) + 2 / (t – 5) = 6, т. е. 13t – 65 + 2t + 2 = 6t2 – 24t – 30, т. е.

    6t2 – 39t + 33 = 0, т. е. 2t2 – 13t + 11 = 0,
    t1 = 1; t2 = 5, 5.
    Следовательно:

2x + 3 / x = 1; 2x2 – x + 3 = 0; D = 1 – 24 < 0 Ю x О Ж. 2x + 3 / x = 5, 5; 4x2 – 11x + 6 = 0; x1 = 2; x2 = 0, 75.

    Ответ: x1 = 2; x2 = 0, 75.
    Пример 7. 34.
    x4 – 2x3 + x – 0, 75 = 0.

Решение. Выделим полный квадрат, прибавив и вычтя в левой части уравнения x2: x4 – 2x3 + x2 – x2 + x – 0, 75 = 0, т. е.

    (x2 – x)2 – (x2 – x) – 0, 75 = 0.

Пусть x2 – x = t, тогда t2 – t – 0, 75 = 0, x1 = – 0, 5; x2 = 1, 5. Возвращаясь к старой переменной, получаем:

x2 – x = – 0, 5; x2 – x + 0, 5 = 0; D = 1 – 2 < 0 Ю x О Ж. x2 – x = 1, 5; x2 – x – 1, 5 = 0; x1, 2 = (1 ± Ц7) / 2.

    Ответ: x1, 2 = (1 ± Ц7) / 2.
    Пример 7. 35.
    x2 + 81x2 / (9 + x)2 = 40.

Решение. Воспользуемся формулой: a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab ((a - b)2 = a2 - 2ab + b2Ю Ю a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab). Получаем: (x – 9x / (9 + x))2 + 2xЧ9x / (9 + x) = 40, или

    (x2 / (9 + x))2 + 18x2 / (9 + x) = 40.

Пусть: (x2 / (9 + x)) = t. Тогда t2 + 18t – 40 = 0, t1 = – 20; t2 = 2. Получаем два уравнения: (x2 / (9 + x)) = 2; x2 – 2x – 18 = 0; x1, 2 = 1 ± Ц19,

(x2 / (9 + x)) = – 20; x2 + 20x + 180 = 0; D = 400 – 720 < 0, Ю x О Ж. Ответ: x1, 2 = 1 ± Ц19.

    Однородные уравнения.
    Пример 8. 36. Решим систему уравнений
    8х2 - 6ху + у2 = 0,
    х2 + у2 = 5.

Решение. заметим, что для решения системы выполняется условие у №0. В самом деле, из первого уравнения следует, что если у = 0, то и х = 0, а числа х = 0 и у = 0 не удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим первое уравнение на у2. Получится уравнение

8х2 / у2 - 6ху / у2 + у2 / у2 = 0 или 8х2 / у2 - 6х / у + 1 = 0. Введём вспомогательное неизвестное U = х / у. Уравнение примет вид 8U2 - 6U + 1 = 0.

Это квадратное уравнение, имеющее корни U1 = 0, 5; U2= 0, 25. Таким образом, из первого уравнения мы получаем что либо x / y = 1 / 2, либо x / y = 1 / 4. Осталось подставить выражения у =2х и у = 4х (рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получается уравнение 5х2 = 5, откуда х1 = 1, х2 = - 1; соответственно у1 = 2, у2 = - 2. Во втором случае получается уравнение17х2 = 5, откуда х3 = Ц(5 / 17), x4 = -Ц(5 / 17); соответственно y3 = 4Ц(5 / 17), y4 = - 4Ц(5 /17). Первое уравнение системы нам удалось представить как уравнение относительно x / y благодаря тому, что степень всех членов, входящих слагаемыми в это уравнение (8x2, 6xy, y2), одна и та же — она равна двум. Поэтому после деления на y2 каждое слагаемое выразилось через x / y. Многочлен от двух переменных x и y такой, что степень каждого его члена равна одному и тому же числу k, называется однородным многочленом степени k. Уравнение вида P (x, y) = 0 называется однородным уравнением степени k относительно x и y, если P (x, y)—однородный многочлен степени k. Однородное уравнение относительно x и y делением на yk (если y = 0 не является корнем уравнения) превращается в уравнение относительно неизвестного x / y. Это свойство однородного уравнения помогает решать многие задачи.

    Пример 8. 37. Решить систему уравнений
    y2 - xy = -12,
    x2 - xy = 28.

Решение. Ни одно из уравнений системы не является однородным. Но если умножить первое уравнение на 7 и прибавить к нему почленно второе уравнение, умноженное на 3, то получится уравнение 7y2 - 10xy + 3x2 = 0, являющееся следствием исходной системы. Разделим обе части уравнения на x2 и решим уравнение 7U2 -10U + 3 = 0 (здесь U = y / x, причём из второго уравнения системы следует, что x№0). Находим, что y = x или y = 3x / 7. Подставляя это выражение во второе уравнение и, рассмотрев оба случая, найдём решения:

    x1 = 7, y1 = 3; x2 = -7, y2 = -3.
    Ответ: x1 = 7, y1 = 3; x2 = -7, y2 = -3.

Мы получили решения системы путём выведения из заданных уравнений вспомогательного следствия. Такой способ решения систем в некоторых случаях приводит к появлению “посторонних” корней—значений x и y, не удовлетворяющих исходной системе. Поэтому найденные корни надо проверить, подставив их исходную систему и убедившись, что уравнения системы обращаются в верные числовые равенства.

Пример 8. 38. Решим уравнение (x - 1)4 + 9(x + 1)4 = 10(x2 - 1)2. Решение. Если раскрыть все скобки и привести подобные члены, то получится уравнение четвёртой степени. Попробуем другой путь: введём новые неизвестные U и V:

    U = (x - 1)2, V = (x + 1)2.
    Уравнение примет вид U2 + 9V2 = 10UV.

Это уравнение однородное, и после деления на V2 оно становится уравнением относительно неизвестного W: W = U / V = (x - 1)2 / (x + 1)2.

    Решим вспомогательное уравнение
    W2 - 10W + 9 = 0.
    Его корни W1 = 1, W2 = 9. Осталось решить уравнения
    (x - 1)2 / (x + 1)2 = 1 и (x - 1)2 / (x + 1)2 = 9.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10