Нечеткие множества в системах управления

L(x) = [pic], p?0;

R(x)= [pic], p? 0 и т.д.

Пусть L(y) и R(y) - функции (L-R)-типа (конкретные). Унимодальное нечеткое

число А с модой а (т.е. ?A(a)=1) c помощью L(y) и R(y) задается следующим

образом:

?A(x) = [pic]

где а - мода; ?>0, ?>0 - левый и правый коэффициенты нечеткости.

Таким образом, при заданных L(y) и R(y) нечеткое число (унимодальное)

задается тройкой А = (а, ?, ?).

Толерантное нечеткое число задается, соответственно, четверкой параметров

А=(а1, a2, ?, ?), где а1 и a2 - границы толерантности, т.е. в промежутке

[а1,a2] значение функции принадлежности равно 1.

Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа приведены

ниже.

[pic]

Мы не будем здесь рассматривать операции над (L-R) числами; отметим, что в

конкретных ситуациях функции L(y), R(y), а также параметры ?, ? нечетких

чисел (а, ?, ?) и (а1, a2, ?, ? ) должны подбираться таким образом, чтобы

результат операции (сложения, вычитания, деления и т.д.) был точно или

приблизительно равен нечеткому числу с теми же L(y) и R(y), а параметры ?'

и ?' результата не выходили за рамки ограничений на эти параметры для

исходных нечетких чисел, особенно если результат в дальнейшем будет

участвовать в операциях.

Замечание. Решение задач математического моделирования сложных систем с

применением аппарата нечетких множеств требует выполнения большого объема

операций над разного рода лингвистическими и другими нечеткими переменными.

Для удобства исполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения

данных, желательно работать с функциями принадлежности стандартного вида.

Нечеткие множества, которыми приходится оперировать в большинстве задач,

являются, как правило, унимодальными и нормальными. Одним из возможных

методов аппроксимации унимодальных нечетких множеств является аппроксимация

с помощью функций (L-R)-типа.

Примеры (L-R)-представлений некоторых лингвистических переменных:

|Терм ЛП |(L-R)-представлен|Графическое |

| |ие |представление |

|Средний |А = (а, ?, ?)LR |a b |

| |? = ?>0 | |

|Малый |А = (а, ?, ?)LR |? = ? ? |

| |? = ? | |

|Большой |А = (а, ?, ?)LR |? ? = ? |

| |?=? | |

|Приблизительно в |А = (а1, а2, ?, |? ? |

|диапазоне |?)LR |a1 a2 |

| |? = ?>0 | |

|Определенный |А = (а, 0, 0)LR |? = 0 ? = 0 |

| |? = ? = 0 | |

|Разнообразный |А = (а, ?, ?)LR |? = ? = ? |

|зона полной |? = ? = ? | |

|неопределенности | | |

4. НЕЧЕТКИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ И НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ

Нечеткими высказываниями будем называть высказывания следующего вида:

Высказывание <? есть ?'>, где ? - наименование лингвистической переменной,

?' - ее значение, которому соответствует нечеткое множество на

универсальном множестве Х.

Например высказывание <давление большое> предполагает, что лингвистической

переменной "давление" придается значение "большое", для которого на

универсальном множестве Х переменной "давление" определено соответствующее

данному значению "большое" нечеткое множество.

Высказывание <? есть m?'>, где m - модификатор, которому соответствуют

слова "ОЧЕНЬ", "БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ", "МНОГО БОЛЬШЕ" и др.

Например: <давление очень большое>, <скорость много больше средней> и др.

Составные высказывания, образованные из высказываний видов 1. и 2. и союзов

"И", "ИЛИ", "ЕСЛИ.., ТО...", "ЕСЛИ.., ТО.., ИНАЧЕ".

Высказывания на множестве значений фиксированной лингвистической переменной

То, что значения фиксированной лингвистической переменной соответствуют

нечетким множествам одного и того же универсального множества Х, позволяет

отождествлять модификаторы "очень" или "не" с операциями "CON" и

"дополнение", а союзы "И", "ИЛИ" с операциями "пересечение" и "объединение"

над нечеткими множествами .

Для иллюстрации понятия лингвистической переменной мы в качестве примера

рассматривали лингвистическую переменную "толщина изделия" с базовым терм-

множеством Т = {"малая", "средняя", "большая"}. При этом на Х = [10, 80] мы

определили нечеткие множества А1, А2, А3, соответствующие базовым

значениям: "малая", "средняя", "большая".

В этом случае высказыванию <толщина изделия очень малая> соответствует

нечеткое множество CONA = A2; высказыванию <толщина изделия не большая или

средняя> - нечеткое множество А2?[pic] высказыванию <толщина изделия не

малая и не большая> А1?[pic].

Высказывания <толщина изделия много больше средней> или <толщина изделия

близка к средней> требуют использования нечетких отношений R ("много

больше,чем") и R ("близко к"), заданных на ХЧХ. Тогда этим высказываниям

будут соответствовать нечеткие множества A•R1 и A•R2, индуцированные

нечеткими отношениями R1 и R2.

Случай двух и более лингвистических переменных

Пусть <?, T?, X, G?, M?> и <?, T?, Y, G?, M?> - лингвистические переменные,

и высказываниям <? есть ?'>, <? есть ? '> соответствуют нечеткие множества

А и В заданные на X и Y.

Составные нечеткие высказывания вида 3, связывающие значения

лингвистических переменных ? и ?, можно привести к высказываниям вида 1,

введя лингвистическую переменную (?, ?), значениям которой будут

соответствовать нечеткие множества на XЧY.

Напомним, что нечеткие множества А и В, заданные на X и Y, порождают на XЧY

нечеткие множества [pic]и [pic], называемые цилиндрическими продолжениями,

с функциями принадлежности:

[pic](x,y) = ?A(x) при любом y,

[pic](x,y) = ?B(y) при любом x,

где (x,y) XЧY.

Нечеткие множества, соответствующие составным высказываниям

<? есть ?' и ? есть ?'> и

<? есть ?' или ? есть ?'>,

определяются по следующим правилам (преобразования к виду 1), справедливым

при условии невзаимодействия переменных, т.е. множества X и Y таковы, что

их элементы не связаны какой-либо функциональной зависимостью.

Правила преобразований нечетких высказываний

Правило преобразования конъюнктивной формы

Справедливо выражение:

<? есть ?' и ? есть ?'>?<(?, ?) есть (?'??')>.

Здесь ? - знак подстановки, ?'??' - значение лингвистической переменной (?,

?), соответствующее исходному высказыванию <? есть ?' и ? есть ?'>,

которому на XЧY ставится в соответствие нечеткое множество [pic]? [pic]c

функцией принадлежности

[pic](x,y) = [pic](x,y)?[pic](x,y) = ?A(x)??B(y).

Правило преобразования дизъюнктивной формы

Справедливо выражение:

<? есть ?' или ? есть ?'>?<(?,?) есть (?'??')>, где значению (?'??')

лингвистической переменной (?, ?) соответствует нечеткое множество

[pic]?[pic], с функцией принадлежности

[pic](x,y) = [pic](x,y)V[pic](x,y) = ?A(x)V?B(y).

Замечание 1. Правила справедливы также для переменных вида <?, T1, X,

G1,M1> и <?, T2, Y, G2, M2>, когда в форме значений лингвистических

переменных формализованы невзаимодействующие характеристики одного и того

же объекта. Например, для построения нечеткого множества высказывания <ночь

теплая и очень темная> нужно использовать правило конъюнктивной формы, а

для высказывания <ночь теплая или очень темная> - правило дизъюнктивной

формы.

Замечание 2. Если задана совокупность лингвистических переменных {<?i, Ti,

Xi, Gi, Mi>}, i = 1, 2, .., n, то любое составное высказывание, полученное

из высказываний <? есть ?'> с использованием модификаторов "очень", "не",

"более или менее" и др. и связок "и", "или", можно привести к виду <? есть

?'>, где ? - составная лингвистическая переменная (?1,?2,..,?n ), ?' - ее

значение, определяемое (как и функция принадлежности) в соответствии с

вышеуказанными правилами.

Правило преобразования высказываний импликативной формы

Справедливо выражение:

<если ? есть ?', то ? есть ?'>? <(?, ?) есть (?'>?')>, где значению (?'>?')

лингвистической переменной (?, ?) соответствует нечеткое отношение XRY на

XЧY.

Функция принадлежности ?R(x,y) зависит от выбранного способа задания

нечеткой импликации.

Способы определения нечеткой импликации

Будем считать, что заданы универсальные множества X и Y, содержащие

конечное число элементов. Под способом определения нечеткой импликации

"если А, то В" (где А и В нечеткие множества на X и Y соответственно) будем

понимать способ задания нечеткого отношения R на XЧY, соответствующего

данному высказыванию.

С целью обоснованного выбора определения нечеткой импликации, японскими

математиками Мидзумото, Танака и Фуками было проведено исследование всех

известных по литературе определений (плюс предложенные авторами).

Рассмотренные определения задавали следующие нечеткие отношения для

высказывания "если А, то В":

Rm = (AЧB)?([pic]ЧY)

?Rm(x,y) = (?A(x)? ?B(y)) V (1 - ?A(x));

Ra = ([pic]ЧY)?(XЧB)

?Ra(x,y) = 1 ? (1-?A(x) + ?B(y));

Rc = AЧB

?Rc(x,y) = ?A(x)? ?B(y);

Rs = AЧY[pic]XЧB

?Rs(x,y) = [pic];

Rg = AЧY[pic]XЧB

?Rg(x,y) = [pic];

Rsg = ( AЧY[pic]XЧB ) ? ( [pic])

[pic];

Rgg = ( AЧY[pic]XЧB) ? ([pic])

[pic];

Rgs = ( AЧY[pic]XЧB) ? ([pic])

[pic];

Rss = ( AЧY[pic]XЧB) ? ([pic])

[pic];

Rb = ([pic]ЧY)?(XЧB)

?Rb(x,y) = (1-?A(x)) ? ?B(y);

R? = AЧY[pic]XЧB

[pic];

R• = AЧY[pic]XЧB

[pic]

R* = AЧY[pic]XЧB

?R*(x,y) = 1 - ?A(x)+ ?A(x)? ?B(y);

R# = AЧY[pic]XЧB

?R#(x,y)=( ?A(x)? ?B(y))? ((1 - ?A(x)) ?(1 - ?B(y)) ?(?B(y) ?(1 - ?A (x));

R? = AЧY[pic]XЧB

[pic]

Правилом вывода являлось композиционное правило вывода с использованием

(max-min)-композиции.

В качестве значений на входе системы рассматривались:

A' = A;

A' = "очень А"= А2 , ?A0,5(x) = ?A(x)2 ;

A' = "более или менее А" = А0,5 ?A0,5(x)= ?A(x)0,5;

A' = ?A(x)0,5, [pic](x) = 1 - ?A (x).

Приведем таблицу итогов исследования. В ней символ "0" означает выполнение

соответствующей схемы вход-выход, символ "x" - невыполнение. Следствие

"неизвестно" (Н) соответствует утверждению: "если x=A, то нельзя получить

никакой информации об y".

В данной таблице первая графа -"Посылка", вторая -"Следствие".

|1 |NB |NB или NM |PB |

|2 |NB или NM |NS |PM |

|3 |NS |PS или NO |PM |

|4 |NO |PB или PM |PM |

|5 |NO |NB или NM |NM |

|6 |PO или ZO |NO |NO |

|7 |PO |NB или NM |PM |

|8 |PO |PB или PM |NM |

|9 |PS |PS или NO |NM |

|10 |PB или PM |NS |NM |

|11 |PB |NB или NM |NB |

|12 |NO |PS |PS |

|13 |NO |NS |NS |

|14 |PO |PS |PS |

|15 |PO |PS |NS |

Лингвистические значения отклонений задавались нечеткими подмножествами на

шкалах X, Y, Z следующей таблицей:

|-6 |-5 |-4 |-3 |-2 |-1 |0 |+1 |+2 |+3 |+4 |+5 |+6 | |PB | | | | |

| | | | | |0,3 |0,7 |1 | |PM | | | | | | | | |0,3 |0,7 |1 |0,7

|0,3 | |PS | | | | | | |0,3 |0,7 |1 |0,7 |0,3 | | | |PO | | | |

| |0,3 |1 |0,7 |0,3 | | | | | |NO | | | | |0,3 |0,7 |1 |0,3 | |

| | | | |NS | | |0,3 |0,7 |1 |0,7 |0,3 | | | | | | | |NM |0,3

|0,7 |1 |0,7 |0,3 | | | | | | | | | |NB |1 |0,7 |0,3 | | | | |

| | | | | | |То есть области значений входных переменных PE, CPE и

выходной переменной НС представлялись 13 точками [-6, -5, -4, -3, -2, -1,

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6], равномерно расположенными между максимальными

отрицательными и положительными значениями этих переменных.

Приведем управляющие правила к виду: "если (АiЧ Вi ), то Сi", где (АiЧВi)

декартово произведение нечетких множеств А и В , заданных на шкалах X и Y с

функцией принадлежности

[pic](x,y)= ?Ai(x)??Bi(y),

определенной на XЧY.

Для каждого из правил вида "если (АiЧВi ), то Сi", где (АiЧВi)- входное

нечеткое множество, а Сi - соответствующее нечеткое значение выхода,

определялось нечеткое отношение

Ri=(АiЧВi)ЧСi, i = 1, 2, ..., 15

с функцией принадлежности

?Ri((x,y),z)= (?Ai(x)??Bi(y))??Ci(z).

Совокупности всех правил соответствовало нечеткое отношение

R = [pic]Ri

с функцией принадлежности

?R(x,y,z) = [pic]?Ri((x,y),z).

При заданных значениях А', В' входных переменных регулирующее значение С'

входной переменной определялось на основе композиционного правила вывода:

С' = (А'ЧВ')[pic]R,

где [pic]- (max-min)-композиция.

Функция принадлежности С' имеет вид:

?C'(z) = [pic][pic](?A'(x) ? ?B' (y)) ? ?R(x,y,z).

Числовое значение z0 (изменение подаваемого тепла) определяется при этом

либо из условия ?C'(z0) = [pic]?C' (z),

либо по формуле

z0 = [pic],

где N - количество точек в Z (в данном случае N=13).

Задача управления скоростью двигателя решалась аналогично. Результаты

практического использования показали, что разработанная нечеткая модель

управления сравнима с классическими моделями оптимального управления.

Появление первых работ по построению моделей нечеткого логического

управления для конкретных систем определило ряд общих вопросов, касающихся

логических основ моделей, в их числе:

о полноте и непротиворечивости совокупности правил управления;

об адекватности представления правил управления вида "если А, то В"

нечеткими отношениями, определяемыми разными способами;

о правильности способа вывода, основанного на (max-min)-композиции и

возможности использования других видов операции композиции.

Полнота и непротиворечивость правил управления

Наиболее часто требование полноты для системы "если Аi, то Вi", i=1,2,..,n,

сводится к

X = [pic]Supp Ai,

где Supp Ai - носитель нечеткого множества Ai. Содержательно это означает,

что для каждого текущего состояния х процесса существует хотя бы одно

управляющее правило, посылка которого имеет ненулевую степень

принадлежности для х.

Непротиворечивость системы управляющих правил чаще всего трактуется как

отсутствие правил, имеющих сходные посылки и различные или

взаимоисключающие следствия.

Степень непротиворечивости i-го и k-го правил можно задавать величиной

Cik = |[pic] (?Ai(x)? ?Ak(x)) - [pic](?Bi(y)? ?Bk (y))|.

Суммируя по k, получаем оценку непротиворечивости i-го правила в системе:

Ci = [pic]Cik, 1<i<N, k?i.

Если эта оценка превосходит некоторое пороговое значение, то правило из

системы удаляется. В частности, для рассматриваемой выше модели управляющей

системы парового котла, оценки степеней непротиворечивости равны:

+ правила |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |11 |12 |13 |14 |15 | |Ci |2,4

|3,4 |4,2 |3,8 |4,2 |1,8 |4,5 |3,5 |4,0 |3,9 |1,7 |3,3 |4,1 |3,7 |3,3 |

|Таким образом, при пороговом значении g=3 в модели остается всего три

правила 1, 6 и 11.

Литература

Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию

приближенных решений. М.:Мир, 1976.

Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982.

Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта /Под

ред. Д.А. Поспелова. М., 1986.

Прикладные нечеткие системы /Под ред. Тэтано Т., Асаи К., Сугэно М: Мир,

1993.

Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения / Под ред.

Р.Ягера М.: Радио и связь, 1986.

Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации.

М.: Наука, 1981.

Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров И.П. Принятие решений на основе

нечетких моделей. Примеры использования. Рига:/ "Зинатне", 1990.

Малышев Н.Г., Берштейн Л.С., Боженюк А.В. Нечеткие модели для экспертных

систем в САПР. М.: Энергоатомиздат, 1991.

Мелихов А.Н., Бернштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы

с нечеткой логикой. М.: Наука, 1990.

Р.Беллман, Л.Заде. Вопросы принятия решений в расплывчатых условиях //

Вопросы анализа и процедуры принятия решений. / М.: Мир,1976.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8