Нечеткие множества в системах управления
| | | |
| |x3 | |
| |0,9 | |
| |0,2 | |
| |1 | |
| |1 | |
| |0,9 | |
| | | |
т.е. исходное отношение R несепарабельно.
Композиция двух нечетких отношений
Композиция двух нечетких отношений
Пусть R1 - нечеткое отношение R1: (XЧ Y)>[0,1] между X и Y, и R2 - нечеткое
отношение R2: (YЧZ)> [0,1] между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z,
обозначаемое R2•R1, определенное через R1 и R2 выражением
?R1•R2 (x,z) = [pic][?R1 (x,y)??R1(y,z)],
называется (max-min)-композицией отношений R1 и R2.
Примеры:
|R1 |R2 |R2•R1 |
| | | |
| | | |
|y1 | |z1 |
|y2 |z1 |z2 |
|y3 |z2 |z3 |
| |z3 |z4 |
|x1 |z4 | |
|0,1 | |x1 |
|0,7 |y1 |0,3 |
|0,4 |0,9 |0,6 |
| |0 |0,1 |
|x2 |1 |0,7 |
|1 |0,2 | |
|0,5 | |x2 |
|0 |y2 |0,9 |
| |0,3 |0,5 |
| |0,6 |1 |
| |0 |0,5 |
| |0,9 | |
| | | |
| |y3 | |
| |0,1 | |
| |1 | |
| |0 | |
| |0,5 | |
| | | |
?R1•R2(x1, z1) = [?R1(x1, y1) ? ?R2 (y1, z1)] V [?R1(x1, y2) ? ?R2(y2, z1)]
V [?R1(x1, y3) ? ?R2(y3, z1)] =
= (0,1?0,9)V(0,7?0,3)V(0,4?0,1) = 0,1V0,3V0,1 = 0,3
?R1•R2(x1,z2) = (0,1?0)V(0,7?0,6)V(0,4? 1) = 0V0,6V0,4 = 0,6
?R1•R2(x1,z3) = 0,1
...................
...................
?R1•R2(x2,z5) = 0,5
Замечание. В данном примере вначале использован "аналитический" способ
композиции отношений R1 и R2 , т.е. i-я строка R1 "умножается" на j-й
столбец R2 с использованием операции ?, полученный результат "свертывается"
с использованием операции V в ? (xi,zj).
Ниже приведены графы, соответствующие R1 и R2, "склеенные" по Y. В
полученном графе рассматриваем пути от xi к zj и каждому ставим в
соответствие минимальный из "весов" его составляющих. Затем определяем
максимум по всем путям из xi в zj, который и дает искомое ?(xi,zj).
[pic]
[pic]
Свойства max-min композиции
Операция (max-min)-композиции ассоциативна, т.е.
R3•(R2•R1) = (R3•R2 )•R1,
дистрибутивна относительно объединения, но недистрибутивна относительно
пересечения:
R3•(R2? R1) = (R3•R2)? (R3•R1),
R3•(R2? R1)?(R3• R2)?(R3• R1).
Кроме того, для (max-min)-композиции выполняется следующее важное свойство:
если R1?R2 то, R•R1 ?R•R2.
(max-*) - композиция
В выражении ?R1•R2(x, z) = [pic][?R1(x, y)??R2(y, z)] для (max-min)-
композиции отношений R1 и R2 операцию ? можно заменить любой другой, для
которой выполняются те же ограничения, что и для ?: ассоциативность и
монотонность (в смысле неубывания) по каждому аргументу. Тогда:
?R1•R2(x, z) = [pic][?R1(x, y)*?R1(y, z)]
В частности, операция ? может быть заменена алгебраическим умножением,
тогда говорят о (max - prod)-композиции.
Обычное подмножество ? - уровня нечеткого отношения
Обычным подмножеством ? - уровня нечеткого отношения R называется четкое
(обычное) отношение R? такое, что
?R1(x,y) = [pic]
Очевидно, что из ?1? ?2 следует R?1 ? R?2.
Теорема декомпозиции
Любое нечеткое отношение R представимо в форме:
R = [pic]??R?, 0<??1,
где ??R? означает, что все элементы R? умножаются на ?.
Условные нечеткие подмножества.
Пусть X и Y - универсальные множества, взаимосвязь которых задана нечетким
отношением R: (XЧY)>[0,1], т.е. для каждой пары (x,y)?XЧY задано значение
функции принадлежности ?R(x,y)?[0,1].
Пусть А - некоторое нечеткое множество, заданное на Х, т.е. определена
функция принадлежности ?A(x) для всех х из Х. Тогда нечеткое множество А и
нечеткое отношение R индуцируют в Y нечеткое подмножество B с функцией
принадлежности
?B(y) = [pic]min[?A(x), ? R(x,y)] = [pic][? A(x)? ?R(x,y)].
Обозначение: B = A•R.
Пример:
Пусть X = {x1, x2, x3}, Y = {y1, y2, y3, y4} и заданы нечеткое отношение
| | |y1 |y2 |y3 |y4 |
|XRY = | | | | | |
| |x1|0,8|1 |0 |0,3|
| |x2|0,8|0,3|0,8|0,2|
| |x3|0,2|0,3|0 |0,4|
и нечеткое множество A = {0,3/x1,0,7/x2,1/x3}.
Проведем операцию ? для А и столбца y1 :
|x1 |L |y1 |= |y1 |= |y1 |
|x2 | | | | | | |
|x3 | |0,8 | |0,3?0,8 | |0,3 |
| | | | | | | |
|0,3 | |0,8 | |0,7?0,8 | |0,7 |
|0,7 | | | | | | |
|1 | |0,2 | |1?0,2 | |0,2 |
| | | | | | | |
После выполнения операции V на элементах полученного столбца имеем:
?B(y1) = 0,3V0,7V0,2 = 0,7.
Проделав аналогичные вычисления для y2, y3, y4 имеем:
?B(y2) = 0,3
?B(y3) = 0,7
?B(y4) = 0,4.
И окончательно:
|A | |R | |B |
|0,3 |·|0,8 |= |0,7 |
|0,7 | |1 | |0,3 |
|1 | |0 | |0,7 |
| | |0,3 | |0,4 |
| | | | | |
| | |0,8 | | |
| | |0,3 | | |
| | |0,8 | | |
| | |0,2 | | |
| | | | | |
| | |0,2 | | |
| | |0,3 | | |
| | |0 | | |
| | |0,4 | | |
| | | | | |
Замечание. При заданном R, если А индуцирует В, то ближайшее четкое
подмножество А индуцирует В.
Нечеткие подмножества последовательно обуславливающие друг друга
Если
А1 индуцирует А2 посредством R1,
А2 индуцирует А3 посредством R2,
.............................................
Аn-1 индуцирует Аn посредством Rn-1,
то
А1 индуцирует Аn посредством Rn-1•Rn-2• ...•R1,
где Rn-1•Rn-2• ...•R1 - определенная выше композиция нечетких отношений R1,
R2, ..., Rn.
Пример:
Вернемся к примеру (max-min)-композиции.
|R1 |·|R2 |= |R1•R2 |
| | | | | |
|y1 | |z1 | |z1 |
|y2 | |z2 | |z2 |
|y3 | |z3 | |z3 |
| | |z4 | |z4 |
|x1 | | | | |
|0,1 | |y1 | |x1 |
|0,7 | |0,9 | |0,3 |
|0,4 | |0 | |0,6 |
| | |1 | |0,1 |
|x2 | |0,2 | |0,7 |
|1 | | | | |
|0,5 | |y2 | |x2 |
|0 | |0,3 | |0,9 |
| | |0,6 | |0,5 |
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
