Нечеткие множества в системах управления
?A(x2)=0;
?A(x3)=1;
?A(x4)=0,5;
?A(x5)=0,9.
Тогда A можно представить в виде:
A = {0,3/x1; 0/x2; 1/x3; 0,5/x4; 0,9/x5 } или
A = 0,3/x1 + 0/x2 + 1/x3 + 0,5/x4 + 0,9/x5, или
|A |x1 |
|= |x2 |
| |x3 |
| |x4 |
| |x5 |
| | |
| |0,3 |
| |0 |
| |1 |
| |0,5 |
| |0,9 |
| | |
.
Замечание. Здесь знак "+" не является обозначением операции сложения, а
имеет смысл объединения.
Основные характеристики нечетких множеств
Пусть M = [0,1] и A - нечеткое множество с элементами из универсального
множества E и множеством принадлежностей M.
Величина [pic]? A(x) называется высотой нечеткого множества A. Нечеткое
множество A нормально, если его высота равна 1, т.е. верхняя граница его
функции принадлежности равна 1 ([pic]? A(x)=1). При [pic]?A(x)<1 нечеткое
множество называется субнормальным.
Нечеткое множество пусто, если ? x?E ? A(x)=0. Непустое субнормальное
множество можно нормализовать по формуле ?A(x) := [pic].
Нечеткое множество унимодально, ? A(x)=1 только на одном x из E.
Носителем нечеткого множества A является обычное подмножество со свойством
?A(x)>0, т.е. носитель A = {x/?A(x)>0} ? x?E.
Элементы x?E, для которых ?A(x)=0,5 называются точками перехода множества
A.
Примеры нечетких множеств
Пусть E = {0,1,2,..,10}, M =[0,1]. Нечеткое множество "несколько" можно
определить следующим образом: "несколько" =
0,5/3+0,8/4+1/5+1/6+0,8/7+0,5/8; его характеристики: высота = 1,
носитель={3,4,5,6,7,8}, точки перехода - {3,8}.
Пусть E = {0,1,2,3,...,n,...}. Нечеткое множество "малый" можно определить:
"малый" = [pic].
Пусть E = {1,2,3,...,100} и соответствует понятию "возраст", тогда нечеткое
множество "молодой", может быть определено с помощью
?"молодой"(x) = [pic].
Нечеткое множество "молодой" на универсальном множестве E' ={Иванов,
Петров, Сидоров,...} задается с помощью функции принадлежности
?"молодой"(x) на E = {1,2,3,..100} (возраст), называемой по отношению к E'
функцией совместимости, при этом:
?"молодой"(Сидоров):= ?"молодой"(x), где x - возраст Сидорова.
Пусть E = {Запорожец, Жигули, Мерседес,....} - множество марок автомобилей,
а E' = [0,?) - универсальное множество "стоимость", тогда на E' мы можем
определить нечеткие множества типа: "для бедных", "для среднего класса",
"престижные", с функциями принадлежности типа:
[pic]
Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из E в данный момент времени,
мы тем самым определим на E' нечеткие множества с этими же названиями.
Так, например, нечеткое множество "для бедных", заданное на универсальном
множестве E = {Запорожец, Жигули, Мерседес,....} выглядит следующим
образом:
[pic]
Аналогично можно определить Нечеткое множество "скоростные", "средние",
"тихоходные" и т.д.
О методах построения функций принадлежности нечетких множеств
В приведенных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо
просто задает для каждого x?E значение ? A(x), либо определяет функцию
совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности
используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние,
давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.
Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить набор признаков
и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие
значениям функции принадлежности, 0 или 1.
Например в задаче распознавания лиц можно выделить следующие шкалы:
| | |0 |1 |
|x1|высота лба |низкий |широкий |
|x2|профиль носа |курносый |горбатый |
|x3|длина носа |короткий |длинный |
|x4|разрез глаз |узкие |широкие |
|x5|цвет глаз |светлые |темные |
|x6|форма |остроконечны|квадратны|
| |подбородка |й |й |
|x7|толщина губ |тонкие |толстые |
|x8|цвет лица |темный |светлый |
|x9|очертание лица |овальное |квадратно|
| | | |е |
Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает ?A(x)?
[0,1], формируя векторную функцию принадлежности { ?A(x1), ?A(x2),...
?A(x9)}.
При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда,
например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо и каждый должен дать
один из двух ответов: "этот человек лысый" или "этот человек не лысый",
тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов,
дает значение ? "лысый" (данного лица). (В этом примере можно действовать
через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на
голове у каждого из предъявленных эксперту лиц).
Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в
случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые
определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы
попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам
известны, например, ?A(xi) = wi, i=1,2,...,n, то попарные сравнения можно
представить матрицей отношений A = {aij}, где aij=wi/wj (операция деления).
На практике эксперт сам формирует матрицу A, при этом предполагается, что
диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных относительно
диагонали aij = 1/aij, т.е. если один элемент оценивается в ? раз сильнее
чем другой, то этот последний должен быть в 1/? раз сильнее, чем первый. В
общем случае задача сводится к поиску вектора w, удовлетворяющего уравнению
вида Аw = ?maxw, где ?max - наибольшее собственное значение матрицы A.
Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи
существует и является положительным.
Операции над нечеткими множествами
Включение.
Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E.
Говорят, что A содержится в B, если ?x ?E ?A(x) ?B(x).
Обозначение: A ? B.
Иногда используют термин "доминирование", т.е. в случае когда A ? B,
говорят, что B доминирует A.
Равенство.
A и B равны, если ?x?E ?A(x) = ?B (x).
Обозначение: A = B.
Дополнение.
Пусть ? = [0,1], A и B - нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют
друг друга, если
?x?E ?A(x) = 1 - ? B(x).
Обозначение: B = [pic]или A = [pic].
Очевидно, что [pic]= A. (Дополнение определено для M = [0,1], но очевидно,
что его можно определить для любого упорядоченного M).
Пересечение.
A?B - наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B.
?A?B(x) = min( ?A(x), ? B(x)).
Объединение.
А ? В - наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с
функцией принадлежности:
?A? B(x) = max(?A(x), ? B(x)).
Разность.
А - B = А?[pic] с функцией принадлежности:
?A-B(x) = ?A ?[pic] (x) = min( ?A(x), 1 - ? B(x)).
Дизъюнктивная сумма.
А?B = (А - B)?(B - А) = (А ?[pic]) ?([pic]? B) с функцией принадлежности:
?A-B(x) = max{[min{? A(x), 1 - ?B(x)}];[min{1 - ?A(x), ?B(x)}] }
Примеры.
Пусть:
A = 0,4/ x1 + 0,2/ x2+0/ x3+1/ x4;
B = 0,7/ x1+0,9/ x2+0,1/ x3+1/ x4;
C = 0,1/ x1+1/ x2+0,2/ x3+0,9/ x4.
Здесь:
A?B, т.е. A содержится в B или B доминирует A, С несравнимо ни с A, ни с B,
т.е. пары {A, С} и {A, С} - пары недоминируемых нечетких множеств.
A ? B ? C.
[pic]= 0,6/ x1 + 0,8/x2 + 1/x3 + 0/x4;
[pic]= 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0,9/x3 + 0/x4.
A?B = 0,4/x1 + 0,2/x2 + 0/x3 + 1/x4.
А?В = 0,7/x1 + 0,9/x2 + 0,1/x3 + 1/x4.
А - В = А? [pic]= 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4;
В - А = [pic]? В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.
А ? В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.
Наглядное представление операций над нечеткими множествами
Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим
прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются
значения ?A(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы
E (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств).
Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в
расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает
наглядными простые операции над нечеткими множествами.
[pic]
[pic] [pic] [pic]
На верхней части рисунка заштрихованная часть соответствует нечеткому
множеству A и, если говорить точно, изображает область значений А и всех
нечетких множеств, содержащихся в A. На нижней - даны [pic], A? [pic], A?
[pic].
Свойства операций ? и ?.
Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:
[pic]- коммутативность;
[pic]- ассоциативность;
[pic]- идемпотентность;
[pic]- дистрибутивность;
A?? = A, где ? - пустое множество, т.е. ??(x) = 0 ?>x?E;
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
