Нечеткие множества в системах управления
| | |0 | |1 |
| | |0,9 | |0,5 |
| | | | | |
| | |y3 | | |
| | |0,1 | | |
| | |1 | | |
| | |0 | | |
| | |0,5 | | |
| | | | | |
Пусть А={0,3/x1, 0,7/x2 }, тогда
|А1 | |R1 | |А2 |
|0,3 |·|0,1 |=|0,7 |
|0,7 | |0,7 | |0,5 |
| | |0,4 | |0,3 |
| | | | | |
| | |1 | | |
| | |0,5 | | |
| | |0 | | |
| | | | | |
| | | | | |
|А2 | |R2 | |А3 |
|0,7 |·|0,9 |=|0,7 |
|0,5 | |0 | |0,5 |
|0,3 | |1 | |0,7 |
| | |0,2 | |0,5 |
| | | | | |
| | |0,3 | | |
| | |0,6 | | |
| | |0 | | |
| | |0,9 | | |
| | | | | |
| | |0,1 | | |
| | |1 | | |
| | |0 | | |
| | |0,5 | | |
| | | | | |
| | | | | |
|А1 | |R1•R2 | |А3 |
|0,3 |·|0,3 |=|0,7 |
|0,7 | |0,6 | |0,5 |
| | |0,1 | |0,7 |
| | |0,7 | |0,5 |
| | | | | |
| | |0,9 | | |
| | |0,5 | | |
| | |1 | | |
| | |0,5 | | |
| | | | | |
| | | | | |
Немного о бинарных отношениях вида XRX
Нечеткие отношения вида XRX задаются функцией принадлежности ? R(x,y), но с
условием, что x и y - элементы одного и того же универсального множества. В
зависимости от своих свойств (основные - симметричность, рефлексивность,
транзитивность) конкретные нечеткие отношения задают отношения сходства и
различия, порядка или слабого порядка между элементами Х. Они имеют
обширную сферу приложений в задачах автоматической классификации и принятия
решений (сравнение альтернатив).
3. НЕЧЕТКАЯ И ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ ПЕРЕМЕННЫЕ
Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании
объектов и явлений с помощью нечетких множеств.
Нечеткая переменная характеризуется тройкой <?, X, A>, где
? - наименование переменной,
X - универсальное множество (область определения ?),
A - нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е. ? A(x)) на
значения нечеткой переменной ?.
Лингвистической переменной называется набор <? ,T,X,G,M>, где
? - наименование лингвистической переменной;
Т - множество ее значений (терм-множество), представляющих собой
наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых
является множество X. Множество T называется базовым терм-множеством
лингвистической переменной;
G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-
множества T, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество T?
G(T), где G(T) - множество сгенерированных термов, называется расширенным
терм-множеством лингвистической переменной;
М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение
лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную,
т.е. сформировать соответствующее нечеткое множество.
Замечание. Чтобы избежать большого количества символов
символ ? используют как для названия самой переменной, так и для всех ее
значений;
пользуются одним и тем же символом для обозначения нечеткого множества и
его названия, например терм "молодой", являющийся значением лингвистической
переменной ? = "возраст", одновременно есть и нечеткое множество М
("молодой").
Присвоение нескольких значений символам предполагает, что контекст
позволяет разрешить возможные неопределенности.
Пример: Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью
понятий "малая толщина", "средняя толщина" и "большая толщина", при этом
минимальная толщина равна 10 мм, а максимальная - 80 мм.
Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей
лингвистической переменной <?, T, X, G, M>, где
? - толщина изделия;
T - {"малая толщина", "средняя толщина", "большая толщина"};
X - [10, 80];
G - процедура образования новых термов с помощью связок "и", "или" и
модификаторов типа "очень", "не", "слегка" и др. Например: "малая или
средняя толщина", "очень малая толщина" и др.;
М - процедура задания на X = [10, 80] нечетких подмножеств А1="малая
толщина", А2 = "средняя толщина", А3="большая толщина", а также нечетких
множеств для термов из G(T) в соответствии с правилами трансляции нечетких
связок и модификаторов "и", "или", "не", "очень", "слегка" и др. операции
над нечеткими множествами вида: А ? В, А? В, [pic], CON А = А2 , DIL А =
А0,5 и др.
Замечание. Наряду с рассмотренными выше базовыми значениями лингвистической
переменной "толщина" (Т={"малая толщина", "средняя толщина", "большая
толщина"}) возможны значения, зависящие от области определения Х. В данном
случае значения лингвистической переменной "толщина изделия" могут быть
определены как "около 20 мм", "около 50 мм", "около 70 мм", т.е. в виде
нечетких чисел.
Продолжение примера:
[pic]
Функции принадлежности нечетких множеств:
"малая толщина" = А1 , "средняя толщина"= А2, " большая толщина"= А3 .
[pic]
Функция принадлежности:
нечеткое множество "малая или средняя толщина" = А1?А1.
Нечеткие числа
Нечеткие числа - нечеткие переменные, определенные на числовой оси, т.е.
нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве
действительных чисел R с функцией принадлежности ?A(x)?[0,1], где x -
действительное число, т.е. x?R.
Нечеткое число А нормально, если [pic]?A(x)=1, выпуклое, если для любых
x?y?z выполняется
?A(x)??A(y)??A(z).
Множество ? - уровня нечеткого числа А определяется как
А? = {x/? A(x)??}.
Подмножество SA?R называется носителем нечеткого числа А, если
S = {x/?A(x)>0}.
Нечеткое число А унимодально, если условие ?A(x) = 1 справедливо только для
одной точки действительной оси.
Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если
?A(0) = [pic](?A(x)).
Нечеткое число А положительно, если ?x?SA, x>0
и отрицательно, если ?x?SA, x<0.
Операции над нечеткими числами
Расширенные бинарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.)
для нечетких чисел определяются через соответствующие операции для четких
чисел с использованием принципа обобщения следующим образом.
Пусть А и В - нечеткие числа, и [pic]- нечеткая операция, соответствующая
операции [pic]над обычными числами. Тогда
С = А[pic]B ??C(z)=[pic](?A(x)??B(y))).
Отсюда:
С =[pic] ??C(z)=[pic](?A(x)??B(y))),
С = [pic]? ?C(z)=[pic](?A(x)??B(y))),
С = [pic]? ?C(z)=[pic](?A(x)? ?B(y))),
С = [pic]? ?C(z)=[pic](?A(x)??B(y))),
С = [pic]? ?C(z)=[pic](?A(x)??B(y))),
С = [pic]? ?C(z)=[pic](?A(x)??B(y))).
Нечеткие числа (L-R)-типа
Нечеткие числа (L-R)-типа - это разновидность нечетких чисел специального
вида, т.е. задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема
вычислений при операциях над ними.
Функции принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа задаются с помощью
невозрастающих на множестве неотрицательных действительных чисел функций
действительного переменного L(x) и R(x), удовлетворяющих свойствам:
а) L(-x)=L(x), R(-x)=R(x);
б) L(0)=R(0).
Очевидно, что к классу (L-R) функций относятся функции, графики которых
имеют следующий вид:
[pic]
Примерами аналитического задания (L-R) функций могут быть
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
