Нечеткие множества в системах управления
|0,8 |1 |1 |
| | | |
|x2 |x2 |x2 |
|1 |0,3 |1 |
|0,7 |0,4 |0,7 |
|0 |0,5 |0,5 |
| | | |
Пересечение двух отношений.
Пересечение двух отношений R1 и R2 обозначается R1?R2 и определяется
выражением:
?R1?R2(x,y) = ?R1(x,y)? ?R2(x,y)
.
Примеры:
1. Ниже изображены отношения: xR1y, означающее "модуль разности |y-x|
близок к ?", xR2y, означающее "модуль разности |y-x| близок к ?", и их
пересечение.
[pic]
Алгебраическое произведение двух отношений.
Алгебраическое произведение двух отношений R1 и R2 обозначается R1?R2 и
определяется выражением:
?R1?R2(x,y) = ?R1(x,y)? ?R2(x,y)
Алгебраическая сумма двух отношений.
Алгебраическая сумма двух отношений R1 и R2 обозначается R1[pic]R2 и
определяется выражением: [pic].
Для введенных операций справедливы следующие свойства дистрибутивности:
R1?(R2?R3) = (R1?R2 )?(R1?R3),
R1?(R2?R3) = (R1?R2)?(R1?R3),
R1?(R2?R3) = (R1?R2)?(R1?R3),
R1?(R2?R3) = (R1?R2)?(R1?R3),
R1[pic](R2?R3) = (R1[pic]R2)?(R1[pic]R3),
R1[pic](R2?R3) = (R1[pic]R2)? (R1[pic]R3).
Дополнение отношения.
Дополнение отношения R обозначается [pic]и определяется функцией
принадлежности:
[pic](x,y) = 1 - ?R(x,y)
.
Дизъюнктивная сумма двух отношений.
Дизъюнктивная сумма двух отношений R1 и R2 обозначается R?R и определяется
выражением:
R1?R2 = (R1?[pic]2)?([pic]1?R2) .
Обычное отношение, ближайшее к нечеткому.
Пусть R - нечеткое отношение с функцией принадлежности ?R(x,y). Обычное
отношение, ближайшее к нечеткому, обозначается R и определяется выражением:
[pic]
По договоренности принимают ?R(x,y)=0 при ?R(x,y) = 0,5.
Проекции нечеткого отношения.
Пусть R - нечеткое отношение R: (x,y)>[0,1]. Первой проекцией
[pic]отношения R (проекция на X) называется нечеткое множество [pic],
заданное на множестве X, с функцией принадлежности:
[pic].
Аналогично, второй проекцией [pic](проекцией на Y) называется нечеткое
множество [pic], заданное на множестве Y, с функцией принадлежности:
[pic].
Величина h(R) = [pic]называется глобальной проекцией отношения R. Если
h(R)=1, то отношение R нормально, в противном случае - субнормально.
Пример:
|R =| | |1-я |= |
| |y1 | |проекция |R1' |
| |y2 | |1 | |
| |y3 | | | |
| |y4 | |0,9 | |
| |y5 | | | |
| | | |1 | |
| |x1 | | | |
| |0,1 | | | |
| |0,2 | | | |
| |1 | | | |
| |0,3 | | | |
| |0,9 | | | |
| | | | | |
| |x2 | | | |
| |0,9 | | | |
| |0,1 | | | |
| |0,5 | | | |
| |0,8 | | | |
| |0,5 | | | |
| | | | | |
| |x3 | | | |
| |0,4 | | | |
| |0 | | | |
| |0,6 | | | |
| |1 | | | |
| |0,3 | | | |
| | | | | |
| | | | | |
|R2'| | |1 |= |
|= |0,9 | | |h(R)|
| |0,2 | | | |
| |1 | | | |
| |1 | | | |
| |0,9 | | | |
| | | | | |
|2-я проекция | |
Цилиндрические продолжения проекций нечеткого отношения
Проекции R1' и R2' нечеткого отношения XRY в свою очередь определяют в XЧY
нечеткие отношения [pic]и [pic]с функциями принадлежности:
[pic](x,y)=[pic](x) при любом y, [pic](x,y)=[pic](y) при любом x,
называемые, соответственно, цилиндрическим продолжением R1' и
цилиндрическим продолжением R2'.
Замечание. Очевидно, что для любых нечетких подмножеств А и В,
определенных, соответственно, на X и Y, можно построить их цилиндрические
продолжения А и В.
Пример (продолжение):
Имеем:
|R1'| | |[pi| |
|= | | |c]=|y1 |
| | | | |y2 |
| |x1 | | |y3 |
| |1 | | |y4 |
| | | | |y5 |
| |x2 | | | |
| |0,9 | | |x1 |
| | | | |1 |
| |x3 | | |1 |
| |1 | | |1 |
| | | | |1 |
| | | | |1 |
| | | | | |
| | | | |x2 |
| | | | |0,9 |
| | | | |0,9 |
| | | | |0,9 |
| | | | |0,9 |
| | | | |0,9 |
| | | | | |
| | | | |x3 |
| | | | |1 |
| | | | |1 |
| | | | |1 |
| | | | |1 |
| | | | |1 |
| | | | | |
и
|R2'| | [|x1 |
|= |y1 |pic]|0,9 |
| |y2 |= |0,2 |
| |y3 | |1 |
| |y4 | |1 |
| |y5 | |0,9 |
| | | | |
| | | |x2 |
| |0,9 | |0,9 |
| |0,2 | |0,2 |
| |1 | |1 |
| |1 | |1 |
| |0,9 | |0,9 |
| | | | |
| | | |x3 |
| | | |0,9 |
| | | |0,2 |
| | | |1 |
| | | |1 |
| | | |0,9 |
| | | | |
Сепарабельность отношений
Нечеткое отношение XRY называется сепарабeльным, если оно равно пересечению
цилиндрических продолжений своих проекций, т.е. если R = [pic]? [pic], т.е.
?R (x,y) = [pic](x)? [pic](y).
Замечание. Если определено декартово произведение нечетких множеств (выше
оно введено), то, очевидно, нечеткое отношение XRY сепарабельно, если оно
является декартовым произведением своих проекций, т.е. R = R1'ЧR2'.
Пример (продолжение):
|[pic]? | |? |
|[pic]= |y1 |R, |
| |y2 | |
| |y3 | |
| |y4 | |
| |y5 | |
| | | |
| |x1 | |
| |0,9 | |
| |0,2 | |
| |1 | |
| |1 | |
| |0,9 | |
| | | |
| |x2 | |
| |0,9 | |
| |0,2 | |
| |0,9 | |
| |0,9 | |
| |0,9 | |
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
