Нечеткие множества в системах управления
A?? = ?;
A?E = A, где E - универсальное множество;
A?E = E;
[pic]- теоремы де Моргана.
В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:
A?[pic] ? ?,
A?[pic] ? E.
(Что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного
представления нечетких множеств).
Замечание. Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на
использовании операций max и min. В теории нечетких множеств
разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов
пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные
смысловые оттенки соответствующих им связок "и", "или", "не".
Один из подходов к операторам пересечения и объединения заключается в их
определении в классе треугольных норм и конорм.
Треугольной нормой (t-нормой) называется двуместная действительная функция
T:[0,1]Ч[0,1]>[0,1], удовлетворяющая следующим условиям:
T(0,0)=0; T(?A, 1) = ?A; T(1, ? A) = ?A - ограниченность;
T(?A, ?B) ?T(?C, ?D), если ?A??C , ?B??D - монотонность;
T(?A , ? B) = T(?B, ?A) - коммутативность;
T(?A, T(? B, ?C))= T( T(?A, ?B), ?C) - ассоциативность;
Простым случаем треугольных норм являются:
min(?A , ? B)
произведение ?A??B
max(0, ?A + ? B -1).
Треугольной конормой (t-конормой) называется двуместная действительная
функция ?:[0,1]Ч[0,1]> [0,1], со свойствами:
T(1,1) = 1; T(?A ,0) = ? A ; T(0, ? A) = ?A - ограниченность;
T(?A, ?B )? T(?C, ?D ), если ?A ??C , ?B ??D - монотонность;
T(?A , ?B ) = T(?B , ?A ) - коммутативность;
T(?A, T(?B , ?C )) = T(T(?A , ?B ), ?C ) - ассоциативность.
Примеры t-конорм:
max(?A, ? B)
?A + ?B - ?A? ?B
min(1, ?A + ?B).
Алгебраические операции над нечеткими множествами
Алгебраическое произведение A и B обозначается A?B и определяется так:
?x?E ?A?B (x) = ?A(x)?B(x).
Алгебраическая сумма этих множеств обозначается [pic]и определяется так:
?x?E [pic]= ? A(x) + ?B(x)-?A(x)?B(x).
Для операций {?, [pic]} выполняются свойства:
[pic]- коммутативность;
[pic]- ассоциативность;
A?? = ?, A[pic]? = A, A?E = A, A[pic]E = E
[pic]- теоремы де Моргана.
Не выполняются:
[pic]- идемпотентность;
[pic]- дистрибутивность;
а также A?[pic] = ?, A[pic] [pic]= E.
Замечание. Доказательства приводимых свойств операций над нечеткими
множествами мы оставляем читателю.
Для примера докажем свойство: [pic]. Обозначим ?A(x) через a, ?B(x) через
b. Тогда в левой части для каждого элемента х имеем: 1-ab, а в правой: (1-
a)+(1-b)-(1-a)(1-b) = 1-a+1-b-1+a+b-ab = 1-ab.
Докажем, что свойство дистрибутивности не выполняется, т.е. A?(B[pic]C) ?
(A?B)[pic](A?C). Для левой части имеем: a(b+c-bc) = ab+ac-abc; для правой:
ab+ac-(ab)(ac) = ab+ac+a2bc. Это означает, что дистрибутивность не
выполняется при a?a2.
Замечание. При совместном использовании операций {?, ?,+,?} выполняются
свойства:
А?(B?C) = (A?B)?(A ? C);
А? (B?C) = (A?B)?(A?C);
А[pic](B?C) = (A[pic]B)?(A[pic]C);
А[pic](B?C)=(A[pic]B)?(A[pic]C).
Продолжим обзор основных операций над нечеткими множествами.
На основе операции алгебраического произведения (по крайней мере для целых
? эта основа очевидна) определяется операция возведения в степень ?
нечеткого множества A, где ? - положительное число. Нечеткое множество A?
определяется функцией принадлежности ?A? = ??A(x). Частным случаем
возведения в степень являются:
CON(A) = A2 - операция концентрирования,
DIL(A) = A0,5 - операция растяжения,
которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями.
[pic]
Умножение на число. Если ? - положительное число, такое, что ?[pic]?
A(x)?1, то нечеткое множество ?A имеет функцию принадлежности:
??A(x) = ??A(x).
Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть A1, A2,.., An - нечеткие
множества универсального множества E, а ?1, ?2, ..., ?n - неотрицательные
числа, сумма которых равна 1.
Выпуклой комбинацией A1, A2,.., An называется нечеткое множество A с
функцией принадлежности:
?x?E ?A(x1, x1,..., xn) = ?1?A1(x) + ?2?A2(x) + ... + ?n?Ai(x).
Декартово произведение нечетких множеств. Пусть A1, A2, ..., An - нечеткие
подмножества универсальных множеств E1, E2, ..., En соответственно.
Декартово произведение A = A1ЧA2 Ч ...ЧAn является нечетким подмножеством
множества E = E1ЧE2 Ч ...ЧEn с функцией принадлежности:
?A(x1, x1, ..., xn) = min{ ?A1(x1), ?A2(x2) , ... , ?Ai(xn) }.
Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких
множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества.
Пусть A - нечеткое множество, E - универсальное множество и для всех x?E
определены нечеткие множества K(х). Совокупность всех K(х) называется ядром
оператора увеличения нечеткости Ф. Результатом действия оператора Ф на
нечеткое множество A является нечеткое множество вида:
Ф(A, K) = [pic]?A (x)K(х),
где ?A(x)K(х) - произведение числа на нечеткое множество.
Пример:
E = {1,2,3,4};
A = 0,8/1+0,6/2+0/3+0/4;
K(1) = 1/1+0,4/2;
K(2) = 1/2+0,4/1+0,4/3;
K(3) = 1/3+0,5/4;
K(4) = 1/4.
Тогда
Ф(A,K) = ?A(1) K(1) ??A(2)K(2) ??A(3)K(3) ??A(4)K(4) =
= 0,8(1/1+0,4/2) ? 0,6(1/2+0,4/1+0,4/3) =
= 0,8/1+0,6/2+0,24/3.
Четкое множество ?-уровня (или уровня ?). Множеством ?-уровня нечеткого
множества A универсального множества E называется четкое подмножество A?
универсального множества E, определяемое в виде:
A? ={x/? A(x)??}, где ??1.
Пример: A = 0,2/x1 + 0/x2 + 0,5/x3 + 1/x4 ,
тогда A0.3 = {x3,x4},
A0.7 = {x4}.
Достаточно очевидное свойство: если ?1 ??2 , то A?1? A?2 .
Теорема о декомпозиции. Всякое нечеткое множество A разложимо по его
множествам уровня в виде:
A = [pic]?A ?, где ?A? - произведение числа ? на множество A, и ?
"пробегает" область значений M функции принадлежности нечеткого множества
A.
Пример: A = 0,1/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 1/x4 представимо в виде:
A = 0,1(1,0,1,1) ? 0,7(0,0,1,1,) ? 1(0,0,0,1)=
= (0,1/x1 + 0/x2 + 0,1/x3 + 0,1/x4)? (0/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 0,7/x4)?
?(0/x1 + 0/x2 + 0/x3 + 1/x4) = 0,1/x1 +0/x2 +0,7/x3 +1/x4 .
Если область значений функции принадлежности состоит из n градаций ?1? ?2?
?3? ...? ?n, то A (при фиксированных значениях градаций) представимо в
виде:
A = [pic]?iA?i,
т.е. определяется совокупностью обычных множеств { A?1, A?2, ..., A?i}, где
A?1 ?A?2? , ..., ?A?i.
Расстояние между нечеткими множествами, индексы нечеткости
Пусть A и B - нечеткие подмножества универсального множества E. Введем
понятие расстояния ?(A, B) между нечеткими множествами. При введении
расстояния обычно предъявляются следующие требования:
?(A, B) ? 0 - неотрицательность;
?(A, B) = ?(B, A) - симметричность;
?(A, B) < ?(A, C) + ?(C, B).
К этим трем требованиям можно добавить четвертое: ?(A, A) = 0.
Определим следующие расстояния по формулам:
Расстояние Хемминга (или линейное расстояние):
?(A, B) = [pic]|?A(xi) - ?B(xi)| .
Очевидно, что ?(A, B)?[0, n].
Евклидово или квадратичное расстояние:
?(A, B) = [pic], ?(A, B)?[0, [pic]].
Относительное расстояние Хемминга:
?(A, B) = [pic][pic], ?(A, B)?[0,1].
Относительное евклидово расстояние:
?(A, B)=[pic][pic], ?(A, B)?[0,1].
Расстояние Хемминга и квадратичное расстояние, в случае когда E бесконечно,
определяются аналогично с условием сходимости соответствующих сумм:
если E счетное, то
?(A, B) = [pic]|?A(xi) - ?B(xi)| ,
?(A, B) = [pic];
если E = R (числовая ось), то
?(A, B) = [pic],
?(A, B) = [pic].
Замечание. Здесь приведены два наиболее часто встречающихся определения
понятия расстояния. Разумеется, для нечетких множеств можно ввести и другие
определения понятия расстояния.
Перейдем к индексам нечеткости или показателям размытости нечетких
множеств.
Если объект х обладает свойством R (порождающим нечеткое множество A) лишь
в частной мере, т.е.
0<?A(x)<1, то внутренняя неопределенность, двусмысленность объекта х в
отношении R проявляется в том, что он, хотя и в разной степени, принадлежит
сразу двум противоположным классам: классу объектов, "обладающих свойством
R", и классу объектов, "не обладающих свойством R". Эта двусмысленность
максимальна, когда степени принадлежности объекта обеим классам равны, т.е.
?A(x) = [pic](x) = 0,5, и минимальна, когда объект принадлежит только
одному классу, т.е. либо ?A(x) = 1 и [pic](x) = 0, либо ?A(x) = 0 и
[pic](x) = 1.
В общем случае показатель размытости нечеткого множества можно определить в
виде функционала d(A) со значениями в R (положительная полуось),
удовлетворяющего условиям:
d(A) = 0 тогда и только тогда, когда А - обычное множество;
d(A) максимально тогда и только тогда, когда ?A(x) = 0.5 для всех x?E.
d(A)d(B), если A является заострением B, т.е.
?A(x)??B(x) при ?B(x) < 0,5;
?A(x)??B(x) при ?B(x) > 0,5;
?A(x)- любое при ?B(x) = 0,5.
d(A) = d([pic]) - симметричность по отношению к 0,5.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
