Нечеткие множества в системах управления
d(A?B)+d(A?B) = d(A)+d(B).
Замечание. Приведенная система аксиом при введении конкретных показателей
размытости часто используется частично, т.е., например, ограничиваются
свойствами P1, P2 и P3, либо некоторые свойства усиливаются или ослабляются
в зависимости от решаемой задачи.
Рассмотрим индексы нечеткости (показатели размытости), которые можно
определить, используя понятие расстояния.
Обычное множество, ближайшее к нечеткому
Пусть A - нечеткое множество. Вопрос: какое обычное множество A?E является
ближайшим к A, т.е. находится на наименьшем евклидовом расстоянии от
нечеткого множества A. Таким подмножеством, обозначаемым A, является
подмножеством с характеристической функцией:
[pic].
Обычно принимают ?A(xi) = 0, если ?A(xi) = 0,5.
Используя понятие обычного множества, ближайшего к нечеткому, введем
следующие индексы нечеткости нечеткого множества А.
Линейный индекс нечеткости:
[pic]
Здесь ?(A, A) - линейное (хеммингово) расстояние, множитель -
[pic]обеспечивает выполнение условия 0<d(A)<1.
Квадратичный индекс нечеткости
[pic], 0<d(A)<1.
Здесь ?(A, A) - квадратичное (евклидово) расстояние.
Замечания.
1. Мы ввели линейный и квадратичный индексы нечеткости, используя понятие
расстояния и понятие обычного множества, ближайшего к нечеткому. Эти же
индексы можно определить, используя операцию дополнения, следующим образом:
[pic]- линейный индекс,
[pic]- квадратичный индекс.
2. Отметим следующие свойства, связанные с ближайшим обычным множеством:
А?В=А?В,
А?В=А?В;
а также ?x?E:|?A(xi)-?A(xi)|=[pic], откуда для линейного индекса нечеткости
имеем:
[pic],
т.е. в этом представлении становится очевидным, что d(A)=d([pic]).
3. Нечеткое множество с функцией принадлежности [pic]иногда называют
векторным индикатором нечеткости.
Оценка нечеткости через энтропию
Ограничимся случаем конечного универсального множества. Энтропия системы с
n состояниями ?1,?2, ..., ?n, с которыми связаны вероятности p1,p2, ..., pn
определяется выражением:
H(p1, p2, ..., pn) = - [pic]pi ln pi, Hmin = 0, Hmax = 1.
В случае нечетких множеств положим:
?A(xi) = [pic]
Тогда общую формулу, позволяющую подсчитать энтропию по нечеткости, можно
записать в следующем виде:
H(?A(x1), ?A(x2), ..., ?A(xn)) = - [pic]?A(xi) ln ?A(xi).
Замечание. Попытки использования энтропии в теории нечетких множеств (в
приведенном выше виде) показали, что это не лучший способ оценки. Однако
работы по обобщению понятия энтропии для нечетких множеств продолжаются.
Принцип обобщения
Принцип обобщения - одна из основных идей теории нечетких множеств - носит
эвристический характер и используется для расширения области применения
нечетких множеств на отображения. Пусть X и Y - два заданных универсальных
множества. Говорят, что имеется функция, определенная на X со значением в
Y, если, в силу некоторого закона f, каждому элементу X?X соответствует
элемент y?Y.
Когда функцию f: X>Y называют отображением, значение f(x)?Y, которое она
принимает на элементе x?X, обычно называют образом элемента x.
Образом множества А?Х при отображении с>Y называют множество f(A)?Y тех
элементов Y, которые являются образами элементов множества А.
Замечание. Мы напомнили классическое определение отображения, которое в
теории нечетких множеств принято называть четким отображением, т.к. наряду
с ним мы введем понятие нечеткого отображения (или нечеткой функции).
Будем говорить, что имеется нечеткая функция f, определенная на X со
значением в Y, если она каждому элементу x?X ставит в соответствие элемент
y?Y со степенью принадлежности ?f(x,y). Нечеткая функция f определяет
нечеткое отображение f:X[pic]Y.
Принцип обобщения заключается в том, что при заданном четком f:X>Y или
нечетком f:X[pic]Y отображении для любого нечеткого множества А, заданного
на Х, определяется нечеткое множество f(A) на Y, являющееся образом A.
Пусть f:X>Y заданное четкое отображение,
а A = {?A(x)/х}- нечеткое множество в Х. Тогда образом А при отображении f
является нечеткое множество f(A) на Y с функцией принадлежности:
?f(A)(y) = [pic]?A(x); y?Y,
где f -1(y)={x/f(x)=y}.
В случае нечеткого отображения f:X[pic]Y, когда для любых x?X и y?Y
определена двуместная функция принадлежности ?f(x,y), образом нечеткого
множества А, заданного на Х, является нечеткое множество f(A) на Y с
функцией принадлежности:
?f(A)(y) = [pic]min(?A(x), ?f(x,y)).
Замечание. Мы не приводим примеров использования принципа обобщения.
Предлагаем подумать, каким образом можно определить нечеткое число и как с
помощью принципа обобщения (не забывая декартова произведения) и
классических операций возведения числа в степень(одноместная), сложения и
умножения (двуместные) получать соответствующие нечеткие результаты. К
нечетким отображениям мы вернемся, когда будем рассматривать понятие
нечеткого отношения.
2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ
Пусть Е = Е1ЧЕ2Ч ...ЧЕn - прямое произведение универсальных множеств и М -
некоторое множество принадлежностей (например М = [0,1]). Нечеткое n-арное
отношение определяется как нечеткое подмножество R на E, принимающее свои
значения в М. В случае n=2 и М = [0,1], нечетким отношением R между
множествами X = Е1 и Y = Е2 будет называться функция R:(X,Y)> [0,1],
которая ставит в соответствие каждой паре элементов (х,y)?XЧY величину
?R(x,y) ?[0,1]. Обозначение: нечеткое отношение на XЧY запишется в виде:
x?X, y?Y: xRy. В случае, когда X = Y, т.е. X и Y совпадают, нечеткое
отношение R: XЧX>[0,1] называется нечетким отношением на множестве X.
Примеры:
Пусть X = {x1,x2,x3}, Y = {y1,y2,y3,y4}, М = [0,1]. Нечеткое отношение
R=XRY может быть задано, к примеру, таблицей:
| |y|y2|y3|y4|
| |1| | | |
|x1|0|0 |0,|0,|
| | | |1 |3 |
|x2|0|0,|1 |0,|
| | |8 | |7 |
|x3|1|0,|0,|1 |
| | |5 |6 | |
Пусть X = Y = (-[pic], [pic]), т.е. множество всех действительных чисел.
Отношение x>>y (x много больше y) можно задаеть функцией принадлежности:
[pic]
Отношение R, для которого ?R(x,y) = e-k(x-y)2, при достаточно больших k
можно интерпретировать так: "x и y близкие друг к другу числа".
В случае конечных или счетных универсальных множеств очевидна интерпретация
нечеткого отношения в виде нечеткого графа, в котором пара вершин (xi,xj) в
случае XRX соединяется ребром с весом ?R(xi,xj), в случае XRY пара вершин
(xi,yj) соединяется ребром c весом ?R(xi,yj).
Примеры:
Пусть Х={x1,x2,x3}, и задано нечеткое отношение R: XЧX> [0,1], представимое
графом:
[pic]
Пусть X={x1,x2} и Y={y1,y2,y3}, тогда нечеткий граф вида:
[pic]
задает нечеткое отношение XRY.
Замечание. В общем случае нечеткий граф может быть определен на некотором
G?XЧY, где G - множество упорядоченных пар (x,y) (необязательно всех
возможных) такое, что G? [pic]= ? и G?[pic] = XЧY.
Будем использовать обозначения [pic]вместо [pic]и [pic]вместо [pic].
Пусть R: XЧY>[0,1].
Носитель нечеткого отношения.
Носителем нечеткого отношения R называется обычное множество упорядоченных
пар (x,y), для которых функция принадлежности положительна:
S(R)={(x,y): ?R(x,y)>0}.
Нечеткое отношение содержащее данное нечеткое отношение, или содержащееся в
нем.
Пусть R1 и R2 - два нечетких отношения такие, что:
?(x,y)?XЧ Y: ?R1(x,y)??R2(x,y),
тогда говорят, что R2 содержит R1 или R1 содержится в R2 .
Обозначение: R1?R2 .
Пример:
[pic]
[pic]
Отношения R1 , R2 - отношения типа y>>x (y много больше x). При k2 > k1
отношение R2 содержит R1 .
Операции над нечеткими отношениями
Объединение двух отношений R1 и R2.
Объединение двух отношений обозначается R1?R2 и определяется выражением:
?R1?R2(x,y) = ?R1(x,y)? ?R2(x,y)
Примеры:
1. Ниже изображены отношения действительных чисел, содержательно
означающие: xR1y - "числа x и y очень близкие", xR2y - "числа x и y очень
различны" и их объединение xR1?R2y - "числа x и y очень близкие или очень
различные".
Функции принадлежности отношений заданы на |y-x|. [pic]
|?R1?R2(x,|?|?R1(x,y), | y |
|y) = | |- x | ?? |
| |?|?R2(x,y), | y |
| | |- x | >? |
| |?| |
где ? - такое |y-x|, что ?R1(x,y) = ?R2(x,y)
2.
|R1 |R2 |R1?R2 |
| | | |
| | | |
|y1 |y1 |y1 |
|y2 |y2 |y2 |
|y3 |y3 |y3 |
| | | |
|x1 |x1 |x1 |
|0,1 |0,7 |0,7 |
|0 |0,9 |0,9 |
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
