Логика. Формальная или диалектическая?
силу этого миллиардного повторения"[9.198].
Теперь мы рассмотрим знаменитое доказательство теоремы Пифагора и решение
легендарной задачи Архимеда, чтобы видеть, как гений позволяет ""перейти
границу"" [9.231].
"Теорема Пифагора
Пусть дан прямоугольный треугольник, стороны которого а, b и с (черт.1).
[pic]
Черт. 1
Построим на его сторонах квадраты. Площади этих квадратов соответственно
равны а2, b2 и с2. Докажем, что с2 = а2 + b2.
Построим два квадрата МКОР и М'К'О'Р' (черт.2, 3), приняв
[pic]
черт.2 черт.3
за сторону каждого из них отрезок, равный сумме катетов прямоугольного
треугольника АВС. Выполнив в этих квадратах построения, показанные на
чертежах 2 и 3, мы увидим, что квадрат МКОР разбился на два квадрата с
площадями а2 и b2 и четыре равных прямоугольных треугольника, каждый из
которых равен прямоугольному треугольнику АВС. Квадрат М'К'О'Р' разбился на
четырехугольник (он на чертеже 3 заштрихован) и четыре прямоугольных
треугольника, каждый из которых также равен треугольнику АВС.
Заштрихованный четырехугольник - квадрат, так как стороны его равны (каждая
равна гипотенузе треугольника АВС, т.е. с), а углы - прямые (< 1 + < 2 =
90(, откуда < 3 = 90().
Таким образом, сумма площадей квадратов, построенных на катетах (на
чертеже 2 эти квадраты заштрихованы), равна площади квадрата МКОР без суммы
площадей четырех равных треугольников, а площадь квадрата, построенного
на гипотенузе (на чертеже 3 этот квадрат тоже заштрихован), равна площади
квадрата М'К'О'Р', равного квадрату МКОР, без суммы площадей четырех таких
же треугольников. Следовательно, площадь квадрата, построенного на
гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов,
построенных на катетах.
Получаем формулу с2 = а2 + b2, где с - гипотенуза, а и b - катеты
прямоугольного треугольника.
Теорему Пифагора кратко принято формулировать так:
Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов
катетов"[10.115-116].
Доказательство теоремы Пифагора является одним из тех шедевров гения
человечества, который своей простотой, красотой обвораживает сердце и ум,
приводит в экстаз восхищения. Такие шедевры притягательны не тем, что
открывают, а, наоборот, что обнаруживают до осязания загадочность
гениальности самой по себе и именно эта загадочность гениальности вновь и
вновь манит к себе, будоражит, пьянит.
С анализа доказательства теоремы Пифагора мы и начнем непосредственно,
конкретно убеждаться, видеть (see - видеть, понимать) правоту гения Гегеля,
что вещи подчиняются логике Гегеля, вернее, наоборот, что логика Гегеля
следует за развитием вещей.
До сих пор математики убеждены, что их открытия, доказательства, или
доказательство открытий, опирается на основные законы формальной логики,
или исходят из них как из принципа, "само(го) достоверно(го) из всех
начал"[8.125]. Но это убеждение математиков на деле является их с у щ е с
т в е н н ы м з а б л у ж д е н и е м. При доказательстве или решении
они (математики, ученые) незаметно для всех, в том числе и для себя,
позволяют себе ""перейти границу""[9.231], т. е. непременно нарушают
категорический запрет формальной логики, взрывают ее принцип. "Они не
сознают этого, но они это делают"[11.84].
Еще раз внимательно рассматриваем математическое доказательство теоремы
Пифагора и анализируем его, мы на конкретном окунаемся в "бесконечный
процесс раскрытия новых сторон, отношений etc... бесконечный процесс
углубления познания человеком вещи, явлений, процессов и т. д. от явлений к
сущности и от менее глубокой к более глубокой сущности"[9.203].
Мы не сомневаемся в доказательстве теоремы Пифагора и его выводе, что
квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов
катетов. Мы категорически, существенно не согласны с тем, что
математическое доказательство теоремы Пифагора опирается на основные законы
формальной логики. В этом суть! Мы сомневаемся в последовательности хода
доказательства ( и не только теоремы Пифагора) математиков. Они скрыли,
утаили от нас мелочь, но мелочь существенную, точнее, они скрали, скостили
от нас (и более всего от себя) существенный отрезок доказательства
(фактически упустили суть дела).
Вопрос первый:
Откуда у математиков появились "два квадрата МКОР и М'К'О'Р'" [10.115]
(черт. 2 и 3), или какова природа этих двух квадратов, что нас вынуждает их
строить?
Вопрос второй:
И почему вдруг(!), неожиданно, мимоходом сообщается, что квадраты МКОР и
М'К'О'Р' "равн(ы)"[10.115]?
Откуда взялось равенство квадратов МКОР и М'К'О'Р'?
Ответ математика на последний наш вопрос:
"...Сумма площадей квадратов, построенных на катетах (на чертеже 2 эти
квадраты заштрихованы), равна площади квадрата МКОР без суммы площадей
четырех равных треугольников, а площадь квадрата, построенного на
гипотенузе ( на чертеже 3 этот квадрат тоже заштрихован), равна площади
квадрата М'К'О'Р', равного квадрату МКОР..."[10.116].
Стоп!
А откуда равенство квадратов М'K'О'P' и МКОР?
Мы никогда не выйдем из этого круговращения нашего вопроса и ответа
математика, если полностью доверимся только доказательству математика. Еще
ни один математик не задавался этим вопросом, для него и так "легко
видеть".
Если математику "легко видеть" с2 = а2 + b2, то пусть нам укажет, объяснит
откуда у него в доказательстве вынырнуло равенство квадратов М'К'О'P' и
МКОР, и, вообще, какова природа этих квадратов. "Кстати. Гегель
неоднократно подсмеивался... над словом (и понятием) еrklaren, объяснение,
должно быть противопологая метафизическому решению раз и навсегда
("объяснили"!!) вечный процесс познания глубже и глубже"[9.115].
Ведь ни в условии, ни в выводе математик нам не указывает на неведомо
откуда взявшее равенство квадратов М'К'О'Р' и МКОР, тем более о природе
этих квадратов. Равенство этих квадратов в доказательстве математика
вынырнуло ниоткуда, так, мимоходом, вдруг и невзначай, мгновенно, раньше
условия и вывода.
Чудо!
И все же как, откуда явилось чудное равенство?
А какова природа теоремы Пифагора?
"Так называемая теорема Пифагора была известна не только для частных
случаев, но и в полной общности"[12.43].
Выходит, Пифагор заранее знал вывод, он исходит из вывода, а не идет к
нему от неизвестного.
Тогда в чем сущность гения Пифагора?
Как Пифагор шел к своему открытию и какова сущность этого открытия?
Посмотрите на разные квадраты с2, а2 и b2 в их разрозненном виде. Можно ли
при этом видеть, уверенно утверждать, что с2 = а2 + b2 ?
Нет!
Но ведь из практики наверняка известно, что с2 = а2 + b2!!
Категорический ответ Аристотеля:
"Невозможно, чтобы противоположности были в одно и то же время присущи
одному и тому же..."[8.125].
Тогда выходит, что Пифагор взялся за невозможное.
Так как же Пифагору удалось преодолеть невозможное, схватить единое во
многом и многое в одном?
Если уже из практики было известно, что с2 = а2 + b2, то площадь квадрата
построенного на гипотенузе (с), должна совпасть, слиться воедино с суммой
площадей построенными на катетах (а и b ).
Чтобы это было более наглядно, мы все эти квадраты (черт.1) вырежем,
отсоединим друг от друга, а затем непосредственно наложим их друг на друга,
так как "вообще две какие-нибудь геометрические фигуры считаются равными,
если они при наложении могут быть вполне совмещены"[13.48].
И что мы увидим при этом?
Все, что угодно, только не равенство, не совмещение, не слияние этих
квадратов, т.е. не увидим, что с2 = а2 + b2 .
Возможно ли вообще соединить, наложить друг на друга эти (вырезанные)
такие различные квадраты непосредственно, чтобы они слились воедино?
Нет!
Почему?
"...В таком случае было бы необходимо, чтобы два тела занимали одно и то
же место..."[8.106], а "находиться в одном и том же месте два тела не
могут..."[8.321].
Но ведь с2 = а2 + b2 !
Они, эти квадраты, должны совпасть!
Как же увидеть, как же осуществить непосредственное слияние, единство
различных квадратов!?
Вместо двух квадратов МКОР и М'К'О'Р' начертим и вырежем (из любого
плоского материала) один квадрат МКОР. Затем поочередно на него (или в
него, если это ниша) наложим квадраты, построенные на сторонах катетов,
уберем, а затем вместо них наложим квадрат, построенный на стороне
гипотенузы.
Мы получили то же самое, что и математики, т. е. дважды одно и то же,
только математики шли от двух квадратов, неведомо откуда взявших (МКОР и
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
