Быстрый поиск

Реферат: Анализ погрешностей волоконно-оптического гироскопа

Подставляя (2.13) в (2.10) и (2.12), из условия db2/dr0 = 0 находим величину

(2.14)

Выражение (2.14) имеет физический смысл только при V >>1 (r0 - положительно), однако это не уменьшает его практической ценности, так как при V £ 1 вблизи оси световода распространяется лишь малая доля мощности основной моды. Подставляя r0 в (2.12) получаем выражение для

, (2.15)

где

(2.16)

Размер пятна r0 и постоянная распространения b полностью характеризуют поле основной моды, а следовательно, и передаточные свойства одномодовых световодов.

Распределение плотности мощности или профиль интенсивности S(r) имеет вид :

, (2.17)

где e,m - относительная диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума.

С увеличением расстояния от оси световода интенсивность падает экспоненциально. При меньших значениях V спад происходит медленнее, поэтому чем меньше V, тем меньшая часть полной мощности распространяется вблизи оси волокна. Доля мощности, распространяющейся в интервале от 0 до r, равна

(2.18)

Таким образом в световодах с малым V распространяющееся излучение захватывает большую область поперечного сечения. Поскольку в практических ситуациях такое положение нежелательно, ограничение на V >1 (2.14) не важно. Практический интерес представляет определить ширину a профиля показателя преломления, при которой мощность пучка света будет наиболее сильно концентрироваться вблизи оси волокна при фиксированных значениях D и длины волны излучения, т.е. определить значение радиуса сердцевины, обеспечивающего минимальный размер пятна r0. Дифференцируя (2.14) по a и учитывая, что согласно (2.16) V пропорционально a, получим оптимальное значение a, соответствующее V=2, т.е.

) (2.19)

При V = 2 имеем r0 = a, т.е. распределение интенсивности S(r) совпадает с формой профиля показателя преломления.

В случае световода со ступенчатым профилем показателя преломления:

(2.20)

( S =1, f = 0 при r £ a и S =0, f =1 при r > a).

Следуя методике определения r0 и b для световодов с гауссовым профилем, получаем

(2.21)

(2.22)

Все физические процессы имеющие место в волокнах с гауссовым профилем преломления, справедливы и для волокна со ступенчатым профилем. Радиус сердцевины a, обеспечивающий максимальную концентрацию света в волокне, определим в данном случае из условия V = exp(1/2) » 1.65 что соответствует

(2.23)

Таким образом, плотность мощности в ступенчатом волоконном световоде выше на 17%. Доля мощности, распространяющейся в пределах радиуса r, будет равна

(2.24)

Получим основные характеристики одномодовых световодов на основе выводов сделанных ранее. Рассмотрим амплитуду излучения и мощность распространяющихся мод.

Для j - й вперёд и назад распространяющихся мод полная мощность определяется соотношениями :

(2.25)

, (2.26)

где Nj , N-j - параметры нормировки.

Полная мощность, возбуждённая во всех направляемых модах, будет равна

(2.27)

Если световод является слабонаправляющим и круглым, а источники тока излучают вдоль оси x поперечного сечения световода, то мощность в каждой моде равна

(2.28)

где bl - скалярные постоянные распространения;

Yl- решение скалярного волнового уравнения (2.11).

Для определения мощности излучения воспользуемся приближением свободного пространства, суть которого сводится к замене слабонаправляющего световода неограниченной однородной средой с показателем преломления оболочки n2 . В большинстве практических случаях излученная мощность достаточно точно описывается в рамках этого приближения.

Решение уравнений Максвелла для полного поля в световоде с произвольным показателем преломления, согласно методике, приведённой в [2], можно выразить через векторный потенциал А, декартовы составляющие которого удовлетворяют уравнению

, (2.29)

где - распределение плотности тока; Ñ2 - скалярный оператор Лапласа. Решение уравнения (2.29) для каждой составляющей выражается через функцию Грина в виде

, (2.30)

где V - объём, в котором распределены источники тока;

- радиусы-векторы точки наблюдения поля и точки расположения источника соответственно (рис 2.1.а).

Функция Грина находится путём решения соответствующего уравнения для свободного пространства с показателем преломления n2 и имеет вид

, (2.31)

где , а c - угол между векторами и .

Подстановка (2.31) в (2.30) приводит к выражению

, (2.32)

где

б)

Рис 2.1. Возмущение поля в точке P источником с плотностью тока J в точке Q (а) и сферические полярные координаты точек Р и Q (б).

Достаточно далеко в оболочке поля всех источников являются локально плоскими и имеют вид .

(2.33)

(2.34)

Отсюда запишем полную мощность излучения в виде

, (2.35)

где с - скорость света; S¥ - сферическая поверхность с радиусом ¥; W - пространственный угол; S = | r | - радиус среды;- единичный вектор, параллельный радиальному вектору.

Если векторы P и Q выразить в сферической системе координат (S,Q,j) (рис 1.б), которая ориентирована так, что если угол j равен нулю, радиус-вектор расположен в плоскости Z, то уравнение (2.35) с использованием (2.32) и (2.33) можно записать так

, (2.36)

где Mq и Mj , q и j - составляющие вектора в точке Р

В случае поперечно-ориентированного источника (токи параллельны оси x) вектор будет иметь только составляющую Мх. Полную излученную мощность можно определить подстановкой в (2.36):