Уравнения математической физики, читаемым авторов на факультете Прикладная математика в МАИ - (лекции)
p>Следовательно, если существуют два решения, то они равны друг другу. Что и требовалось доказать.Обобщенные решения смешаной задачи для волнового уравнения. (1)
(2)
(3)
(4)
Обозначения: ; .
: ,
Умножим обе части на v и проинтегрируем по цилиндру:
(5)
Хотя обобщенное решение - общее понятие, но классическое решение может не быть обобщенным.
Определение.
Обобщенное решение - функция u из - называется
обобщенным решением задачи (1)-(4), если и для
, такого, что и выполняется интегральное
тождество (5).
Существование обобщенного решения первой смешанной задачи для волнового уравнения.
(1)
(2)
(3)
(4)
,
(6)
(7)
- ограниченная область;
, , .... ,
- базис,
тогда:
где:
По теореме Фубини:
(8)
Теорема.
ряд (8) сходится в пространстве и сумма этого ряда является обобщенным решением задачи (1)-(4). При этом имеет место оценка: (9)
Доказательство.
Первый этап.
Пусть:
Докажем, что тогда решение u(x, t) имеет вид:
(10)
(11)
(12)
при почти всех t .
Доказано:
если , то: - решение.
Второй этап.
то: -обобщенное решение смешанной задачи.
Третий этап.
Докажем, что решения смешанной задачи со специальной правой частью сходятся к обобщенному решению.
Осуществляется предельный переход:
Оценим и их производные:
Докажем, что последовательность фундаментальна.
Пусть N>M ; рассмотрим :
Значит -фундаментальная в - полном , т. е...
Надо доказать, что u - обобщенное решение, если -обобщенное решение.
; при переходе к пределу получим:
Единственность обобщенного решения первой смешанной задачи для волнового уравнения.
(1)
(2)
(3)
(4)
Теорема 1.
Задача (1) - (4) может иметь не более одного обобщённого решения. Доказательство.
Достаточно убедится, что однородная задача будет иметь единственное решение.
Возьмем:
где: - произвольная, .
Интегральное тождество приобретет следующий вид:
Теорема доказана.
Анизотропные пространства Соболева.
Определение.
Анизотропным пространством Соболева называется множество функций . Вводится скалярное произведение: (1)
Свойства пространств:
Теорема.
Пространство -полно.
Доказательство.
Фундаментальная последовательность, переход к пределу в интегральном тождестве. Пусть через .
Теорема 2.
Теорема 3.
-сепарабельно.
Доказательство - продолжение функции до финитной.
Теорема 4.
всюду плотно в . Возьмем
Теорема 5.
Для можно определить след : и при этом: .
Обобщенные решения смешанной задачи для
уравнения теплопроводности.
Определение.
Обобщенное решение - называется обобщенным решением задачи (1)-(3), если : выполняется интегральное тождество (4).
Существование обобщенного решения первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности (метод Фурье, метод разделения переменных).
- собственные значения;
- ортогональный базис в ;
- ортонормированный базис в .
Будем считать:
при почти всех t интегрируема с квадратом в .
Равенство Парсеваля:
f-измерима и по неравенству Гельдера...
По теореме Лебега можно слева и справа проинтегрировать по t и поменять местами .
Решение имеет вид:
Надо доказать сходимость в .
Теорема.
ряд (6) сходится в пространстве к некоторой функции , которая является обобщенным решением задачи (1)-(3). При этом:
Доказательство.
Первый этап.
Предположим, что правая часть уравнения имеет вид: , а начальная функция: . Рассмотрим:
-интегральное тождество выполняется.
Второй этап.
Третий этап. Доказательство фундаментальности последовательности . Оценим модуль:
Интегрируем слева и справа:
Значит: последовательность фундаментальна и она сходится:
Переходим к пределу:
Надо доказать, что u - задает решение задачи.
При переходе к пределу выполняется интегральное тождество:
Теореме доказана. Из этой теоремы не следует единственность.
Единственность обобщенного решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности.
Теорема.
Задача (1)-(3) может иметь не более одного обобщенного решения. Доказательство.
Пусть -обобщенные решения, оценим.
- добавлена гладкость по t.
Условия, налагаемые на v: .
Формула Кирхгофа.
Дополнительные обозначения:
пусть есть , - фиксируется. Обозначим : - конус с вершиной в .
Возьмем произвольную .
Обозначим:
.
Выберем и рассмотрим : - вне цилиндра, но внутри конуса. Обозначим через - часть конической поверхности, ограниченной :
- дважды непрерывно дифференцируема в открытом конусе. При этом : - замыкание конуса. Замечание: - волновой оператор.
Рассмотрим вспомогательную функцию: .
Рассмотрим: . Заметим: .
В дальнейшем: x принадлежит малому конусу с вырезанным цилиндром. Проинтегрируем левую и правую части тождества по :
,
где: - единичный вектор внешней нормали к границе области.
Разобьем этот интеграл на 3 интеграла: ;
потом .
Рассмотрим на конической поверхности интеграл
Вычислим все частные производные функции v по и по направлению внешней нормали к поверхности:
Зная, что , получим: ,
где: . Вывод: .
Рассмотрим , зная, что для .
Переход к пределу:
Вычислим: - внутренняя нормаль к цилиндру.
Т. к. u - непрерывно дифференцируема на поверхности, то:
учитывая: на цилиндрической поверхности.
В силу оценки:
Получим:
Получена формула Кирхгофа: (1)
Замена переменных (чтобы легче было дифференцировать по t):
Продифференцировано первое слагаемое:
Геометрический смысл формулы.
1. В первых двух интегралах производится интегрирование по границе основания конуса - трехмерной сфере.
2. В третьем интеграле производится интегрирование по основанию конуса трехмерному шару.
3. Значение даламбериана вычисляется интегрированием по боковой поверхности конуса.
СМЫСЛ. Дважды дифференцируемая функция u(x, t)выражается через значение первых производных на сфере (границе основания конуса) и её даламбериан на боковой поверхности конуса.
Задача Коши для волнового уравнения.
Обозначим:
Определение.
Функция u(x, t) , такая, что:
1) - дважды непрерывно дифференцируемая на ;
2) - один раз непрерывно дифференцируемая в замыкании этого множества; называется классическим решением задачи Коши для волнового уравнения, если:
Пусть n=3.
Обозначим:
По формуле Кирхгофа функция u(x, t) выражается для любого конуса через функции в этом конусе. Функция u(x, t) однозначно определяется функциями в любом конусе и, значит, в полупространстве. Теорема единственности.
Задача Коши (2)-(3) не может иметь более одного решения.
Вопрос существования.
Если классическое решение существует, то оно задается формулой Кирхгофа (4):
