Уравнения математической физики, читаемым авторов на факультете Прикладная математика в МАИ - (лекции)
p>Любое измеримое множество сколь угодно точно может быть аппроксимировано открытыми областями.Доказать: характеристическую функцию можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными бесконечно гладкими функциями.
Рассмотрим - финитная, бесконечно дифференцируема в .
Значит, .
Аппроксимация получена.
Теорема 2.
Множество непрерывных функций всюду плотно в пространстве . Определение 2.
Пусть и считается продолженной нулем вне Q . Скажем:
f - непрерывна в среднеквадратичном, если :
.
Теорема 3.
Любая функция из непрерывна в среднеквадратичном.
Доказательство.
Пусть . Пусть
Оценим:
При сдвиге supp сдвигается в пределах шара радиуса 2a.
Теорема доказана.
Определение 3.
- бесконечно дифференцируема, финитна.
Свойства:
- осреднение функции f.
Теорема 4.
Любая функция из сколь угодно точно аппроксимируема своими осреднениями - бесконечно дифференцируемыми, финитными в.
Доказательство.
От Q к , от к
При .
Возьмем любые две функции:
Определение.
- множество функций, принадлежащих на любом компакте внутри области.
Определение 1.
Пусть
- обобщённая производная функции f, если выполняется:
(1)
Теорема 1.
Обобщённая производная определяется единственным образом.
Доказательство.
Предположим противное: - обобщённые производные функции f. (2)
(3)
(2), (3) - тождество для
- что и требовалось доказать.
Теорема 2.
Обобщённые производные не зависят от порядка дифференцирования. Доказательство - из интегрального тождества (1).
Примеры обобщённых производных.
Ex 1.
По определению:
Пусть и
Ex 2.
Покажем, что обобщённой производной не существует.
Пусть , то:
где
1) пусть носитель в , то :
2) пусть : , значит:
Вывод: .
Вывод: , не имеет обобщённой производной.
Теорема 3.
Пусть имеет обобщённую производную , то:
1. (4)
если .
2. Если к тому же
(6)
(7)
Доказательство.
Выберем h так, чтобы
Подсказка: если функция финитна, то её носитель - внутри области. Если функцию умножить на срезающую, то ничего не изменится.
Теорема 4.
Утверждение.
Пусть , то
Пусть - открытый компакт, то для
Теорема 5.
Пусть . имеет обобщённые производные и , то
существует обобщённая производная .
Пространство Соболева.
Определение.
, такая, что называется пространством Соболева порядка k.
Обозначения: , или .
Введём .
Утверждение.
- гильбертово(унитарное, сепарабельное).
Теорема 1.
- полное пространство.
Доказательство.
- фундаментальная в
.
- мультииндекс
- может быть равен 0.
в .
в .
Интегральное тождество для :
Из сильной сходимости следует слабая:
Вывод: пространство полное.
Свойства пространств Соболева.
1. для .
2. Если , то .
3. Если , то .
4. Если , то
если , то .
5. - невырожденное, k раз непрерывно дифференцируемое преобразование, отображающее в . и пусть .
Пусть .
Пусть , то .
Утверждение.
Невырожденная, гладкая замена переменных сохраняет принадлежность функции пространству Соболева.
6. Обозначим - куб со стороной 2a с центром в начале координат. Множество бесконечно дифференцируемых функций замыкания куба является всюду плотным в.
.
Доказательство.
Раздвинем область, возьмём и будем её аппроксимировать последовательностью бесконечно гладких функций. (определена в растянутом кубе)
Оценим:
Выберем и рассмотрим
Разбиение единицы.
Теорема.
Пусть - ограниченная область, пусть - покрытие замыкания Q, - может равняться бесконечности. - открытые, тогда: существует конечный набор - финитные, бесконечно дифференцируемые в , неотрицательные функции, такие, что:
Используется для локализации свойства: U имеет свойство на , расширяем D на путём домножения на . Доказательство.
Возьмём . Для - y покрывается множеством .
Для каждой выбранной y построим:
покрывается . Из бесконечного покрытия выберем конечное подпокрытие: .
Обозначим: . Обозначим: .
Определим: :
Получили: .
Если , то , , и .
Знаменатель в 0 не обращается.
Построена
выполняется свойство 3.
- выполняются свойства 1 и 2.
Теорема о разбиении единицы доказана.
Теорема о продолжении функции.
Частный случай - продолжение из прямоугольников.
Продолжение функции из в .
Лемма 1.
- продолжение функции f:
и
1. Определить функцию.
2. Проверить условие сливания: совпадание значений функции и её производных по до k-го порядка. Доказательство.
Определим (2)
Коэффициенты из условия:
(3)
Значит, функция непрерывна.
Теперь - доказательство совпадения производных.
Выполняется одно уравнение из (3), и:
.
Значит: .
Неравенство (1) очевидно через определение нормы в .
Замечание: из доказательства и свойства (6) пространств Соболева следует: можно перейти к - пространству Соболева с выполнением этой теоремы, и (1) тоже справедливо. Замечание: в силу того, что множество бесконечно дифференцируемых функций в замыкании куба всюду плотно в пространствев этом кубе и в силу того, что протсранство Соболева инвариантно относительно невырожденной гладкой замены переменных.
Лемма 2.
(4)
Теорема о продолжении функции.
Пусть - ограниченная область, граница . Пусть (- область), тогда: - продолжение f, такая, что:
1)
2)
3) (5)
Замечание.
Лемма 1 - рассмотрены кубики, в теореме: из Q на и все свойства, как в лемме 1.
Доказательство.
В окрестности каждой точки границы: нарисуем шар .
Пусть в O(z) граница задаётся уравнением .
Введём новые переменные:
- невырожденное преобразование координат.
Преобразование: - внутри пространства Соболева.
Во что перейдёт множество:
Вырезали куб .
Результат преобразования
Прообраз куба - криволинейный кубик.
Покроем границу кубиками Vi и выберем конечное подпокрытие. (Tju)(y) = u(x(y)) (xVj) - переход от x к y,
переход от y к x :
Введём : если
на носителях обратятся в 1.
Свойства оператора продолжения:
1. F(x) - ограниченный оператор;
2. Т. к. - финитная, то F(x) - финитная на
Доказать: F(x)=f(x), если .
Замечание.
Теорема 1 остаётся справедливой для пространств (следует из доказательства). Теорема 2.
Пусть - ограниченная область
, - всюду плотно в .
Доказательство.
Рассмотрим произвольную функцию .
- ограниченная.
F-продолжение f. Так как F - финитная в , то
Сепарабельность пространств Соболева.
Теорема.
Пусть - ограниченная область, , тогда :
- сепарабельное.
Построениe счётного всюду плотного множества.
Доказательство.
Рассмотрим ; продолжение функции f : .
