Уравнения математической физики, читаемым авторов на факультете Прикладная математика в МАИ - (лекции)
p>Так как всюду плотно в , то образует ортонормированный базис в .Значит : образует ортонормированный базис в .
Рассмотрим задачу :
(1)
где
Краевые условия :
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Теорема 1.
Если однородная краевая задача имеет единственное тривиальное решение, то неоднородное неоднородная краевая задача (1) (2) имеет единственное решение для.
2. Если (3) (4) имеет нетривиальное решение , то (1) (2) разрешима тогда и только тогда, когда для любого w, являющегося решением (5) (6)
3. Задачи (3) (4) и (5) (6) имеют одинаковое число линейно независимых решений.
Теорема Фредгольма.
Рассмотрим уравнения
(10)
(11)
(12)
где I - единичный оператор в H, C - компактный оператор в H. 1. Если однородное уравнение (11) имеет единственное тривиальное решение, то для существует единственное решение уравнения (10).
2. Если уравнение (11) имеет нетривиальное решение, то уравнение (10) разрешимо тогда и только тогда, когда.
3.
Оценим член :
- компактно.
(13)
(14)
Изучим член :
Значит :
(15)
(1) (2) (16)
(3) (4) (17)
(5) (6) (18)
Доказана первая часть теоремы.
Пусть (3) (4) имеет нетривиальное решение, тогда
Т. е.
Теорема доказана.
Разложение решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в ряд по собственным функциям.
- ограничено (1)
(2)
(3)
в
Конечноразностные операторы.
Цель : Аппроксимация обобщенных производных конечноразностными операторами.
Пусть - финитная в Q :
(1)
Аналог формулы интегрирования по частям :
Обозначим : .
Теорема.
Пусть , тогда :
1) если , где , то :
(3)
и при этом :
(4)
2) Если для , то :
Доказательство. (1ая часть теоремы)
Из теорем об аппроксимации функции f и её обобщённой производной осреднениями функции f и её обобщенной производной сооответственно следует, что достаточно доказать часть теоремы для финитной бесконечно диффреренцируемой функции.
(3)
(4)
- доказано (3)
(применив неравенство Коши-Буняковского)
По теореме Фубини имеем неравенство :
Доказательство. (2-ая часть. )
Значит :
Доказательство теоремы 2.
Пусть - ограниченная, односвязная область...
Q - симметрично относительно , т. е. если , то .
Обозначим :
Теорема 2.
Пусть , тогда :
1) если , где , то :
2) если , то :
Указание. Для доказательства рассмотреть :
По определению обобщённой производной в (1) получаем :
, тогда :
Локальная гладкость обобщённых решений.
ограниченная.
Обобщённое решение : ,
(3)
Теорема 1.
Для любого обобщённое решение u задачи (1) (2)
независимо от гладкости границы, если правая часть из , то обобщённое решение тоже гладко. Доказательство.
Достаточно доказать, что в каждом из шаров : .
Обозначим .
В качестве v для (3) возьмём :
- финитная, бесконечно дифференцируемая.
, v может быть использована как пробная :
Подставим v в (3) :
(умножение u на срезающую функцию для локализации свойства в шаре ) (4)
Введём конечноразностный оператор. Пусть .
.
(5)
Представим (5) в виде : .
Оценим :
По неравенству Коши-Буняковского :
,
где .
Подставляем в решение в качестве пробной функции :
Результат :
(6)
В силу 2-ой части теоремы 1 (см. стр... .. ) : .
u имеет обощённые производные .
Обобщение Теоремы на случай произвольной гладкости правой части. Теорема 2.
Пусть - ограничена, - обобщённое решение задачи (1) (2), тогда : . Гладкость обобщённых решений эллиптических задач вблизи границ. (1)
(2)
(3)
Теорема 1.
Пусть - ограниченная область :
- обобщённое решение (1) (2), тогда
.
Доказательство.
Доказать, что .
Пусть в окрестности X и Y граница создаётся уравнением :
Не ограничивая общности рассуждений будем считать, что граница плоская. Введём срезающую функцию :
Подставим v в (3), получим :
(4)
Введём конечноразностный оператор. Пусть .
.
При этом : .
(5)
Представим (5) в виде : .
Через неравенство Коши-Буняковского, получим :
,
где .
Подставляем в решение в качестве пробной функции :
В силу 2-ой части теоремы 1 (см. стр... .. ) : .
u имеет обощённые производные .
Лемма.
Пусть - обобщённое решение (1) (2), тогда :
- ограничена, следовательно u удовлетворяет уравнению (1) почти всюду в Q. Будем считать : .
Значит : .
Теорема 2.
Пусть - ограниченная область, - обобщённое решение задачи (1) (2), тогда : . Теорема "вложения" Соболева.
- ограниченная область, , следовательно -непрерывно вложено. Определение.
Непрерывность оператора наложения - это
почти всюду в Q .
(1)
Доказательство (теоремы).
, где ,
если , и :
(2)
Доказательство (1) будет следовать из доказательства (2) и
(3)
Пусть (3) доказана для любой финитной, гладкой , то в этом случае теорема справедлива для . ;
; следует фундаментальность :
(4)
(Замечание. Предел в смысле почти всюду : п. в.
Остаётся доказать (3) для любых финитных, бесконечно дифференцируемых в функций.
Преобразование Фурье : ,
где .
умножим и разделим на и применим неравенство Коши-Буняковского.
Докажем, что интеграл конечен :
Где .
Теорема полностью доказана.
Обобщённые и классические решения.
(1)
(2)
Функция - называется классическим решением задачи (1) (2), если она удовлетворяет уравнению (1) и краевым условиям (2).
Теорема 1.
Если , то обобщённое решение обладает следующими свойствами : . Доказательство.
Пусть , тогда :
Теорема 2.
Пусть - ограниченная область;
, тогда обобщённое решение
.
Доказательство.
Теорема 3.
Пусть - ограниченная область;
, тогда обобщённое решение
и является классическим решением задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Доказательство. , следовательно всюду в Q удовлетворяет уравнению (1) и условию (2). Теорема 4.
Пусть - обобщенная собственная функция оператора с однородными условиями Дирихле, тогда: . Доказательство.
Если
По теореме вложения:
Задача Неймана для уравнения Пуассона.
Определение.
Функция называется обобщенным решением задачи (1) (2), если:
Пусть - ограниченная область.
Теорема 1.
