Уравнения математической физики, читаемым авторов на факультете Прикладная математика в МАИ - (лекции)
Уравнения математической физики, читаемым авторов на факультете Прикладная математика в МАИ - (лекции)
Дата добавления: март 2006г.
§ 1. Тема. Некоторые определения и обозначения.
Определение.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе - уравнение в частных производных.
Определение.
Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком уравнения.
Определение.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.
(1)
Пусть выбран любой, где , и его норма:
- дифференциальный оператор.
- запись линейного диф. уравнения с помощью диф. оператора. (2) Определение.
Открытое, связное множество называется областью.
По умолчанию будем считать область ограниченной.
Через или будем обозначать границу области.
Определение.
- (n-1)-мерное многообразие S в принадлежит классу (), если для и такие, что:
, где
однозначно проектируется на плоскость , при этом:
D - проекция данного множества на плоскость , - k раз непрерывно дифференцируема в D по всем переменным.
Можно разбить поверхность на части, в каждой части можно одну координату выразить через другие непрерывно дифференцируемой функцией. - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q. - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в .
, аналогично .
- множество финитных k раз непрерывно дифференцируемых функций. Аналогично: .
§ 2. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка...
- матрица квадратичной формы.
- n вещественных собственных значений матрицы A
- количество положительных собственных значений.
- количество отрицательных собственных значений.
- количество нулевых собственных значений с учетом кратности.
1. Если = n или = n, то это эллиптическое уравнение.
Ex: Уравнение Пуассона
.
2. Если = n - 1, = 1, или = 1, = n - 1, то уравнение гиперболическое. Ex: - волновое уравнение.
Для уравнения Лапласа:
Для волнового уравнения:
3. Если , а , то ультрагиперболическое уравнение.
Ex: .
4. Если , то параболическое уравнение.
Ex: , и - уравнение теплопроводности.
Определение.
Каноническим видомлинейного дифференциального уравнения в частных производных называется такой вид, когда матрицаA является диагональной.
Приведение к каноническому виду.
1) y=y(x), то:
Уравнение (1) в новой системе координат:
(1')
Матрица Якоби:
.
В результате:
Ex:
гиперболическое уравнение.
- канонический вид волнового уравнения.
Замечание: тип уравнения может быть различный в различных точках. § 3. Постановка начальных и краевых задач для уравнений в частных производных. Задача Коши для волнового уравнения:
Уравнение теплопроводности
Уравнение Пуассона
Определение.
Если малые изменения правой части уравнения приводят к большим изменениям в решении, то задача считается некорректной.
(6)
(7. 1)
(7. 2)
(7. 3)
(6)(7. 1) - первая краевая задача, задача Дирихле.
(6)(7. 2) - вторая краевая задача, задача Неймана.
(6)(7. 3) - третья краевая задача.
Волновое уравнение.
(8)
(9)
(10)
(11. 1)
(11. 2)
(11. 3)
(8) (9) (10) (11. 1) - смешанные
(11. 2) задачи
(11. 3) (краевые задачи)
- единичный вектор внешней нормали к поверхности.
На задаются начальные условия.
На боковой поверхности - краевые задачи.
Параболическое уравнение.
(12)
(13)
(14. 1)
(14. 2)
(14. 3)
(12) (13) (14. 1) - первая, вторая и третья смешанные задачи (14. 2) для уравнения
(14. 3) теплопроводности.
(14. 1) - на границе задана температура;
(14. 2) - задан тепловой поток;
(14. 3) - задан теплообмен с окружающей средой.
§ 4. Решение смешанных задач для волнового уравнения методом Фурье (разделением переменных).
Первая смешанная задача.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Собственные значения (5) - (6) вещественны, имеют конечную кратность.
- изолир...
- ортонормированный базис в .
В симметричной матрице собственные вектора, соответствующие разным собственным значениям, попарно ортогональны.
Пусть функции - разложены по базису
тогда и u(t, x) можно разложить по базису :
Почленно дифференцируем ряд 2 раза:
(7)
Путём разложения решения в ряды по собственным функциям задачи алгебраизуем задачу, получаем счётное число обыкновенных дифференциальных уравнений. (8)
(9)
(7) (8) (9) - задача.
Решим однородное уравнение для (7):
- общее решение однородного уравнения (7)
(10)
В результате: - частное решение неоднородного уравнения (7). - общее решение уравнения (7).
Подставим (8) и (9) в решение:
т. е...
Замечание: не обоснована сходимость рядов.
§ 5. Решение смешанных задач уравнения теплопроводности методом Фурье (разделения переменных).
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
- собственные векторы и собственные значения.
(6)
- общее решение однородного уравнения (6)
- частное решение неоднородного уравнения (6)
- общее решение уравнения (6).
Рассмотрим функцию:
- бесконечно дифференцируема при .
Если из , то:
, и при функция склеивается как бесконечно гладкая.
-финитная :
- замыкание множества, где отлична от 0.
.
Введём - функция n переменных.
Свойства :
1) - бесконечно дифференцируемая, финитная:
.
2) - замкнутый шар радиуса h с центром в O.
.
3)
Доказательство.
, С находится из условия .
4) .
Обозначим:
Интеграл по x бесконечно дифференцируем.
Если , то:
Носитель функции принадлежит области интегрирования, и: .
Если , то : .
Свойства функции :
- срезающая функция.
Пространство .
Определение.
Пусть . Назовём множество функций , пространством , если:
- - измеримы в Q;
- в смысле Лебега.
Вводится . Выполняются все аксиомы скалярного произведения. Утверждение (без доказательства).
- полное пространство.
Вводится .
Свойства пространства .
Теорема 1.
Множество финитных бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве :
.
Доказательство.
Множество ступенчатых функций плотно в .
Множество линейных комбинаций характеристических функций всюду плотно в . Доказать: любую характеристическую функцию измеримого множества можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными функциями.
