Уравнения математической физики, читаемым авторов на факультете Прикладная математика в МАИ - (лекции)
p>Аппроксимируем функцию F. Множество финитных, бесконечно дифференцируемых функций (в силу свойств осреднений) всюду плотно в пространстве финитных функций.Очевидно : .
Где коэффициенты : .
Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство.
Определение.
Функции образуют ортонормированную систему, если , и .
Утверждение.
В каждом сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис, т. е. такая система , что .
Разложение по этому базису единственно, и : .
Равенство Парсеваля.
.
Пространство - сепарабельное гильбертово пространство с ортонормированным базисом : можно взять систему экспонент (нормированную).
Разложение в сходящийся ряд :
Определим вид коэффициентов Фурье:
проинтегрируем по частям и получим :
, где
Получаем : и следовательно :
F можно точно аппроксимировать линейными комбинациями экспонент. Искомое множество - линейное пространство экспонент с рациональными коэффициентами.
След функции из Hk(Q).
Для функции из понятие значения на (n-1)- мерной поверхности не определено. Если удовлетворяет условиям дифференцируемости, то :
определение следа функции на (n-1)- мерной поверхности.
Рассмотрим -ограниченную область, .
- (n-1) - мерная поверхность, .
Пусть
Можно разбить на конечное число простых кусков, однозначно проецирующихся на координа тные плоскости и описывающиеся уравнением :
Для любой непрерывной функции след - её значение на поверхности, однозначно продолженое по непрерывности.
Так как f=0 вне области Q , то по формуле Ньютона-Лейбница :
Оценим :
Обе части умножим на и проинтегрируем по D :
f- финитная.
Так как может быть продолжена в финитным образом,
, причём
Существует последовательность
Отсюда следует фундаментальность последовательности следов в - полное, следовательно - сходится,
Перейдём к пределу, получим :
Утверждение.
Определение не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности . Доказательство.
Пусть есть две последовательности в .
Пусть .
Следовательно, должны совпадать два предела в .
Рассмотрим
Значит : , и .
Если функция непрерывна в и принадлежит , то её понятие следа как значения непрерывной функции и как предела совпадают. Формула интегрирования по частям.
Пусть Q- ограниченная, .
, - единичный вектор внешней нормали к .
Теорема Реллиха-Гординга.
Если , то , если сходится в , то сходится в .
Пространство Соболева с большим показателем дифференцируемости k компактно вложено в ространство Соболева с меньшим показателем. Пусть - ограничена, , тогда : - компактно вложено в .
Множества, ограниченные в , являются предкомпактными в .
Определение.
Предкомпактными называются такие множества, замыкания которых компактны. Из любой ограниченной последовательности функций из можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся в . Или : Для можно выбрать , сходящуюся в .
Доказательство.
1. Продолжим функции финитным образом в более широкую область , ...
Оператор продолжения ограничен, и : .
Т. к. множество финитных, бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве функцийс компактными носителями, то без ограничения общности рассуждений можно считать, что все функции - бесконечно дифференцируемы в . - из неё будем выбирать сходящуюся подпоследовательность.
Используем преобразование Фурье : .
.
В силу финитности :
Оценим по неравенству Коши-Буняковского:
Свойство.
В гильбертовом пространстве из ограниченной последовательности можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность.
- слабо сходящаяся в .
- сходящаяся для любой непрерывной линейной функции .
В качестве возьмём функции :
- сходится
Докажем, что - фундаментальна в
Так как последовательность сходится для любых и ограничена, то для интеграла применяем теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, получаем :
, где - радиус шара.
исходя из теоремы Планшереля (в обратную сторону) и свойств преобразования Фурье :
Выбором R, интеграл можносделать сколь угодно малым, т. е. : . Если и k, m - выбрать , то : , и последовательность
- фундаментальна.
Формула интегрирования по частям
(1)
- ограничена, .
(2)
В уравнении (2) перейдем к пределу при , получаем уравнение (1). Пространство
Определение.
Назовём пространством замыкание пространства финитных непрерывно дифференцируемых функций в . - замыкание в .
Если есть , то :
.
Если , то . Справедливо и обратное утверждение.
Теорема.
. - ограничена, .
Определение.
Эквивалентные нормы.
Пусть H - гильбертово пространство со скалярным произведением ( . , . ). Скалярное произведение . , . называется эквивалентным ( . , . ) , если :
.
Из эквивалентности скалярных произведений можно пользоваться любым. Теорема 2.
В пространстве можно ввести скалярное произведение по формуле : (3)
Доказательство.
Надо доказать :
(4)
Доказательство от противного.
Будем считать, что , а это значит :
(по теореме Реллиха-Гординга)
Имеем противоречие. Теорема доказана.
Обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Пусть - решение задачи (1)-(2). Возьмем и умножим (1) на , проинтегрируем и получим : . Если - гладкая, то :
(3)
Определение.
Функция называется обобщенным решением задачи (1)-(2), если для любой функции выполняется тождество (3). При исследовании обобщенных решений .
Лемма.
Существует линейный ограниченный оператор , такой, что .
При этом -компактный самосопряжённый положительный оператор. По определению : . - антилинейный по .
.
f -ограничен, следовательно применим теорему Рисса :
F - линейно зависит от u.
.
Компактность очевидна по теореме Реллиха-Гординга.
Самосопряженность доказана.
Теорема.
Для любой функции cуществует единственный краевой задачи (1) (2). При этом (4)
Задача Дирихле для уравнения Пуассона корректна, т. е. существует единственное решение непрерывно зависящее от правой части.
Доказательство.
Собственные значения и собственные функции оператора Лапласа.
Определение.
Функция называется обобщенной собственной функцией оператора - с условиями Дирихле, соответствующей обобщенному собственному значению , если она удовлетворяет следующему интегральному тождеству :
(3)
Теорема.
1. Собственные значения задачи (1) (2), являются вещественными, положительными, изолированными, имеют конечную кратность, и :
2. Существует ортонормированный базис в состоящий из собственных функций задачи (1) (2) . 3. составляет ортонормированный базис в с эквивалентным скалярным произведением : (4)
Доказательство.
Интегральное тождество (3) можно записать в виде :
, , .
Эквивалентная задача :
Теорема 1.
Если - линейный ограниченный самосопряженный оператор, тогда спектр - вещественный, и :
Теорема 2.
Пусть - компактный, самосопряженный оператор, тогда состоит из {0} и некоторого (конечного или счетного) множества изолированных собственных значений конечной кратности :
{0} всегда принадлежит спектру компактного оператора.
Теорема 3.
Пусть - копактный, самосопряженный оператор, тогда существует ортонормированный базис в пространстве, состоящий из собственных функций этого оператора : . Для удобства ,
.
Значит : - ортонормированная система в .
