Уравнения математической физики, читаемым авторов на факультете Прикладная математика в МАИ - (лекции)
p>Задача (1) (2) разрешима тогда и только тогда , когда правая часть уравнения (1) ортогональна константам, т. е: .Лемма.
Существует линейный ограниченный оператор , такой, что:
1)
2) - компактный, самосопряженный, положительный оператор. Доказательство - аналогично.
Рассмотрим однородное уравнение:
для однородной задачи (1) (2)
имеет нетривиальное решение.
По определению обобщенного решения :
Теорема доказана.
Рассмотрим уравнение:
Теорема 2.
1. Если задача (3) (4) имеет единственное решение, то задача (1) (2) также имеет единственное решение для.
2. Если задача (3) (4) имеет нетривиальное решение, то задача (1) (2) разрешима тогда и только тогда, когда , где w - решение однородной сопряженной задачи. 3. Размерности подпространств в решениях задач (3) (4) и (5) (6) совпадают и конечны.
Задача Неймана:
Рассмотрим задачу на собственные значения:
Теорема 3.
1. Собственные значения оператора Лапласа с "-" с условиями Неймана вещественные, конечнократные, неотрицательные и состоят из следующих чисел: .
2. Соответствующие собственные функции составляют ортонормированный базис в . 3. составляют ортонормированный базис в .
Доказательство.
Первая часть теоремы доказана.
По Гильберту-Шмидту строится - ортогональный базис в и пусть .
- ортонормированный базис в .
Теорема 3 доказана.
Задача Дирихле - однозначная разрешимость.
Теорема 4 о гладкости решения задачи Неймана.
Пусть - правая часть уравнения. Пусть - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: Доказательство - аналогично теореме 3.
Теорема 5.
Пусть граница ; пусть правая часть . - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: .
Теорема 6.
Пусть граница ; правая часть - ; - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: . Доказательство.
Обобщенное решение: для .
Уравнение (1) выполняется почти всюду в Q , и:
Метод Ритца.
Суть: сведение бесконечномерного случая к конечномерному.
Рассмотрим: , где:
l(u) - линейный, ограниченный функционал в .
Найдем минимум квадратичного функционала:
- конечное число.
Найдется такая, что: - минимизирующая последовательность. , такой, что: E(u)=d . u - минимизирующий элемент.
Теорема 1.
Существует единственный , минимизирующий функционал E . При этом этом любая минимизирующая последовательность является сходящейся к элементуu : .
Доказательство.
Возьмем любую минимизирующую последовательность. Очевидно:
Почленно сложим соотношения с "+" и с "-":
Доказано: последовательность - фундаментальная в полном пространстве, значит: и, значит : .
Доказано: если - минимизирующая последовательность, то она сходится к минимальному элементу. Доказательство единственности от противного: пусть есть второй минимальный элемент; составим минимизирующую последовательность: .
Она не сходится, значит, второй минимальный элемент не существует.
Пусть составляют линейно независимую систему функций, линейная оболочка которой плотна в, т. е. полная система, значит:
может быть аппроксимирован .
Обозначим через - конечномерное подпространство , натянутое на первые k функций . Рассмотрим - задача сводится к конечномерной.
, и E(. ) может быть представлен в виде функции k переменных; обозначим её: Необходимое условие экстремума: , тогда:
, где i=1, ...., k. (1)
Система алгебраических уравнений (1) имеет единственное решение, т. к. её определитель (Грама) отличен от 0.
Обозначим решение , и: - монотонно невозрастающая последовательность минимальных значений функционала. - последовательность Ритца.
Теорема 2.
Последовательность Ритца является минимизирующей, и, следовательно, сходится к минимизирующему элементуu : .
Доказательство.
Т. к. всюду плотна в , то: , такие что: .
Рассмотрим значение :
Таким образом: , и при :
.
Теорема 3.
является мимимизирующим элементом для функционала E(u) тогда и только тогда, когда Доказательство.
Необходимость: пусть u - минимизирующий элемент; возьмем , то: , т. к. u - минимизирующий. Обозначим через . Необходимое условие экстремума: .
что и требовалось доказать.
Достаточность: пусть выполняется (2), то рассмотрим:
,
т. е. u - минимизирующий элемент, что и требовалось доказать. Выводы.
1. Существует единственный минимизирующий элемент - предел минимизирующей последовательности ( последовательности Ритца).
2. Минимизация функционала связана с обобщенным решением краевой задачи. 3. Метод Ритца можно использовать для решения эллиптической задачи.
Примеры.
1.
- интегральное тождество ( 4 )
(4) определяет обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Теорема 4.
1. Существует единственный , минимизирующий функционал в ; - минимизирующая последовательность
2. Последовательность Ритца для функционала (3) в является минимизирующей. 3. является минимизирующей для функционала (3) тогда и только тогда, когда u является обобщенным решением задачи (5)-(6).
2. Задача Неймана.
Любое решение такой задачи равно сумме частного неоднородного и общего однородного решения. Будем искать решение из, где - замкнутое подпространство пространства . Обобщенное решение задачи (7)-(8) :
Если u=v=const, то илевая и правая части не изменятся и: .
Решение существует и единственно.
Будем полагать : , тогда:
Теорема 5.
1. Существует единственный , минимизирующий функционал в ; - минимизирующая последовательность
2. Последовательность Ритца для функционала (10) в является минимизирующей. 3. является минимизирующей для функционала (10) тогда и только тогда, когда u является обобщенным решением задачи (7)-(8).
Изучение классических решений эллиптических задач.
§1. Формула Грина.
- ограниченная область;
Вычтем из первого второе:
Интегральное представление производной.
Определение.
Фундаментальное решение уравнения Лапласа:
Следствие.
Теорема 1.
Пусть - ограниченная область с границей класса .
Пусть , тогда:
Доказательство.
Рассмотрим:
-- область без шара.
Обозначим :
Надо доказать, что : .
Обозначим :
где : - площадь поверхности единичной сферы в n-мерном пространстве. Учитывая, что:
Обозначим :
Первая теорема о среднем.
Определение.
Функция u называется гармонической в области Q, если она удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа. Пусть u(x) - гармоническая в .
D- ограниченная область .
Теорема 1.
Пусть - гармоническая функция в Q , и пусть:
, тогда :
Значение гармонической функции в центре сферы равно среднему арифметическому её значений на границе сферы.
Доказательство.
Обозначим :
Вторая теорема о среднем.
Пусть - гармоническая в Q функция;
, тогда :
Доказательство.
, что и требовалось доказать.
Принцип максимума.
Теорема.
- ограниченная, связная;
u(x) - гармоническая в Q, непрерывная в , , тогда:
Доказательство.
Предположим противное: , .
Тогда докажем, что в произвольной точке области значение функции U совпадает с M , т. е. u-const. Возьмем и соединим ломанной l точки Y и Z . Покроем ломанную конечным числом шаров: . Шары такие : и , причем: , .
Если , то: ,
Теорема доказана.
Единственность классического решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. (1)
(2)
- это не гарантирует существование решения.
Теорема.
Задача (1) (2) может иметь не более одного классического решения. Доказательство.
Предположим противное: пусть есть два классических решения: . Это значит: (3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Значит: и
