Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике - (диплом)
p>Изучение школьных программ и программ факультативных курсов по математике показало, что, например, элементы современной абстрактной алгебры, в частности, элементы теории групп в них не включены. Даже программы факультативных курсов специальных школ не содержат элементов теории групп. В связи с этим нами был разработан факультативный курс“Элементы современной алгебры” для учащихся 9-10-х классов. В процессе исследования были выявлены возможности введения элементов современной алгебры в программу факультативных курсов, обоснованы целесообразность и доступность данного учебного материала.В ходе исследования были изучены основные понятия теории групп, решены задачи по данной теме, установлено предположение о том, что количество подгрупп некоторой группы не равно порядку этой группы. Разработано содержание занятий факультативного курса по теме: “Понятие подгруппы. Подгруппы симметрических групп”. На основе изучения психолого-педагогической литературы была дана характеристика процесса развития мышления, сформулированы особенности формирования мышления в старшем школьном возрасте, обосновано влияние элементов современной алгебры на развитие абстрактного мышления старшеклассников.
Результаты проведенного эксперимента показали, что разработанный нами факультативный курс понятен, доступен и успешно усваивается школьниками, а также позволяет поднять абстрактное мышление учащихся на новый, более высокий уровень развития. Все это свидетельствует о том, что выдвинутая нами гипотеза подтвердилась.
ЛИТЕРАТУРА
Аносов Д. В. Проблемы модернизации школьного курса математики//Математика в школе. – 2000. - №1. – с. 2-4.
Беляков Е. Математика – царица наук? Кажется, этот предмет немного устарел//Учительская газета. – 1999. - №20. Гроссман И. , Магнус В. Группы и их графы. – М. : Мир, 1971. – 246 с. Гнеденко Б. В. Статическое мышление и школьное математическое образование//Математика в школе. – 1999. - №6. – с. 5-8.
Историческое введение в теорию Галуа/Сост. Марков С. Н. – Иркутск: ИГУ, 1997. – 20 с. Каргополов М. И. Основы теории групп. – М. : Наука, 1982. – 288 с. Калужнин Л. А. , Сущанский В. И. Преобразования и перестановки. – М. : Наука, 1979. – 112 с. Курош А. Г. Теория групп. – М. : Наука, 1967. – 648 с.
Концепция математического образования в 12-летней школе//Математика (приложение к“Учительской газете”). – 2000. - №7. – с. 1-5.
Куликов Л. Я. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ. -мат. специальностей пед. институтов. – М. : Просвещение, 1993. – 288 с. Карп А. П. Даю уроки математики…: Книга для учителя. – М. : Просвещение, 1992. – 191 с. Ляпин Е. С. , Айзенштат А. Я. Упражнения по теории групп. – М. : Наука, 1967. – 304 с. Монахов В. М. Проблемы дальнейшего развития факультативных занятий по математике//Математика в школе. – 1981. - №6. – с. 8-10.
Метельский Н. В. Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы. – Минск: Издательство БГУ, 1982. – 256 с. Методическая разработка по современной алгебре к разделу “Элементы теории групп и ее приложения”/Сост. Карижская Е. В. , Толстова Г. С. – Л. , 1990. – 42 с. Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики/Сост. Калягин Ю. М. и др. – М. : Просвещение, 1977. – 480 с.
Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика/Сост. Черкасов Р. С. , Столяр Е. С. – М. : Просвещение, 1985. – 336 с.
Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика/Сост. Оганесян В. П. , Калягин Ю. М. – М. : Просвещение, 1980. – 368 с.
Метельский Н. В. Пути совершенствования обучения математике: Проблемы современной методики математики. – Минск: Университетское, 1989. – 160 с. На путях обновления школьного курса математики. Сборник статей и материалов/Сост. Маркушевич А. И. – М. : Просвещение, 1980. – 368 с. Новое в школьной математике//Сост. Яглом И. М. – М. : Знание, 1972. – 199 с. Потоцкий М. В. О педагогических основах обучения математике. – М. : Учпедгиз, 1963. – 1999 с. Поспелов Н. Н. , Поспелов И. Н. Фомирование мыслительных операций у старшеклассников. – М. : Педагогика, 1989. – 152 с.
Панамарчук В. Ф. Школа учит мыслить. – М. : Просвещение, 1979. – 144 с. Столяр А. А. Педагогика математики. – Минск: Высшая школа, 1986. – 414 с. Фирсов В. В. , Шварцбург С. И. Состояние и перспективы факультативных занятий по математике. – М. : Просвещение, 1977. – 48 с.
Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. Пер. с венгерского Данилова Ю. А. – М. : Ми, 1979. – 260 с.
Холл Ю. А. Теория групп. – М. : Издательство иностранной литературы, 1962. – 468 с. Фридман Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. – М. : Просвещение, 1983. – 160 с. Шварцбург С. И. , Фирсов В. В. О характерных особенностях факультативных занятий//Математика в школе. – 1972. - №1. – с. 55-59.
Приложение 1
Таблица умножения симметрической группы S3
*
Е
Е
Е
Е
Е
Е
Е
Е
Приложение 2
Итоговая проверочная работа по материалу
факультативного курса
“Элементы теории групп. Симметрические группы”.
Задания первого уровня
1. Является ли операция сложения алгебраической операцией во множестве действительных чисел.
2. Какие из следующих преобразований являются перестановками: а) б) в) .
3. Пусть - группа и - группа. Проверить, является ли подгруппой группы .
Задания второго уровня
1. Выяснить, является ли действием в множествах R+ и N нахождение среднего арифметического. 2. Представьте перестановку в виде произведения независимых циклов: . 3. Является ли подгруппой группы множество .
4. Существует ли в конечной группе порядка 8 подгруппа порядка 4.
Задние третьего уровня
1. Проверить, является ли множество рациональных чисел группой по сложению. 2. Пусть Н – множество перестановок , , , , . Проверить, является ли Н подгруппой группы S5. 3. Дана перестановка . Найдите , , и покажите, что множество является группой перестановок.
Задания четвертого уровня
1. Приведите пример четырехэлементной группы.
Приложение 3
Итоговая проверочная работа по материалу факультативного
курса “Элементы современной алгебры”.
Задания первого уровня
1. Заданы преобразования : , , . Среди преобразований укажите а) , б) . 2. Является ли операция умножения алгебраической операцией на множестве действительных чисел.
3. Дана подгруппа , в ней нашелся элемент –5 такой, что выполняется соотношение: 5+(-5)+5=5. Является ли элемент 5 регулярным в подгруппе .
4... Из предложенных ниже последовательностей выберите те, которые являются словами над алфавитом X.
а) б)
в) г)
д) е)
ж)
5. В подгруппе выполнено равенство . Является ли элемент b правым делителем элемента . 6. Пусть - группа, - группа. Является ли подгруппой группы . Обоснуйте ответ.
7. Какие из следующих преобразований являются перестановками: а) б)
в) г) .
Задания второго уровня
1. Множество , где . Образует ли множество М относительно операции “*” полугруппу. 2. Из операций (+, -, *, /) укажите только те, которые являются алгебраическими в каждом из числовых множеств (N, Z, Q, R).
3. Дана полугруппа . Проверить, будет ли данная полугруппа регулярной.
4. u, v, w – слова над алфавитом , , , . Из предложенных ниже последовательностей выберите те, которые являются словами, равными u*(w*v), (u*w)*v:
а) б)
в) г) .
5. На множестве заданы произведения u*v=E и w*u=E, u=x2x1. Найдите слова v и w, удовлетворяющие произведениям. 6. Дано множество . Являются ли группами , где “+” операция сложения и , где “*” операция умножения. 7. Доказать, что подмножество , где является подгруппой группы S3. 8. Действия в полугруппе задано таблицей Кэли:
a
b
c
a
a
b
c
b
a
b
c
c
a
b
c
Верно ли утверждение, что каждый элемент подгруппы делится на каждый элемент из этой же полугруппы слева.
9. Определите, является ли полугруппой множество , если . 10. Решите уравнение: .
Задания третьего уровня
1. Всякая ли регулярная полугруппа является инверсной. Ответ обосновать. 2. Приведите пример полугруппы преобразований, состоящей из трех элементов. 3. Как вы думаете, будет ли свободная полугруппа свободной группой. Обоснуйте ответ.
4. Пусть Н –множество перестановок , , , . Проверьте, является ли Н подгруппой группы S4. 5. Действие в полугруппе задано таблицей Кэли:
*
0
1
0
0
1
1
0
1
Что можно сказать о делимости элементов в полугруппе.
7. Дана перестановка u1=. Найдите , . Покажите, что множество является группой перестановок (по таблице Кэли). 8. Задайте во множестве R операцию *, по которой числа 2 и 3 можно поставить в соответствие число m и проверить, является ли полугруппой: а) m=2 б) m=1 в) m=.
Задание четвертого уровня
1. Придумайте фигуру для которой можно составить группу симметрий, имеющей 4 элемента.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
