Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике - (диплом)
p>Вы познакомились с методом нахождения подгрупп симметрической группы S3. Этот же метод используется для отыскания подгрупп симметрической группы Sn. В качестве домашнего задания запишите следующие упражнения. I. Какие из следующих множеств перестановок образуют подгруппу в группе S4: 1) ;2) .
II. Существует ли в произвольной конечной группе порядка 10 подгруппа порядка 5.
III. Опишите все подгруппы группы S4, состоящие из трех перестановок. Сколько их? Представленные выше 2 занятия по теме: “Понятие подгруппы. Подгруппы симметрических групп” являются частью большого факультативного курса “Элементы современной алгебры”. Чтобы более подробно изучить данную тему можно провести небольшой факультативный курс“Элементы теории групп. Симметрические группы” для учащихся 9-10-х классов. Программа факультативного курса “Элементы теории групп. Симметрические группы”. Понятие алгебраического действия. Простейшие свойства действий (6 часов). Дать определение действия, рассмотреть примеры действий, свойства действий: коммутативность, ассоциативность, обратимость, сократимость, существование нейтрального и обратного элементов, познакомить с таблицей Кэли. Общие определения группы. Примеры групп (4 часа).
Рассмотреть 2 определения группы, доказать эквивалентность этих определений, разобрать примеры групп.
Перестановки и симметрические группы (группы перестановок) (8 часов). Ввести понятие перестановки, рассмотреть умножение перестановок, свойства умножения перестановок: ассоциативность, обратимость, единственность, познакомить с разложением перестановок, циклами, транспозициями, дать определения симметрической и знакопеременной групп.
Подгруппа. Примеры подгрупп. Подгруппы симметрических групп (6 часов). Познакомить с определением подгруппы, рассмотреть различные примеры подгрупп, критерий подгрупп, теорему о подгруппах для конечных групп, теорему Лагранжа и теорему Силова, познакомить с методом нахождения подгрупп симметрических групп.
Обобщающее занятие (2 часа).
Итоговая проверочная работа (Приложение 2), задается учащимся на дом.
2. 3. ОРГАНИЗАЦИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ РАБОТЫ
ПО ВНЕДРЕНИЮ В ШКОЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ ФАКУЛЬТАТИВНОГО
КУРСА “ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ”
В данном параграфе будут рассмотрены общие положения, организация и результаты экспериментальной работы по введению в учебный процесс школы элементов современной алгебры в рамках факультативного курса.
Мы исходим из понимания экспериментальной работы как специально организуемой, целенаправленной и контролируемой деятельности группы студентов по апробированию разработанного факультативного курса в условиях педагогического процесса школы.
На организационном этапе были определены цель, задачи и методы исследования, сформулирована гипотеза, в структуре которой было выделено условие внедрения факультативного курса в учебный процесс.
Экспериментальная работа в школе была определена следующим методологическими характеристиками:
Тема экспериментальной работы: элементы современной алгебры на факультативных занятиях по математике.
Объект – элементы современной алгебры в программе факультативных курсов по математике. Предмет –элементы теории групп, на примере понятия подгруппы, на факультативных занятиях по математике.
Цель экспериментального исследования обосновать целесообразность и возможность введения элементов современной алгебры в программу факультативных курсов. Гипотеза эксперимента –введение элементов современной алгебры в программу факультативных курсов по математики для учащихся старших классов целесообразно, доступно и способствует развитию абстрактного мышления, если осуществляется систематическая и планомерная работа с учащимися.
Задачи эксперимента:
Экспериментально проверить возможность введения разработанного факультативного курса в школьное обучение;
Разработать и апробировать факультативный курс “Элементы современной алгебры”; Проанализировать уровень усвоения учащимися предложенного на факультативе учебного материала;
Сделать выводы на основании экспериментальных данных.
Экспериментальная база – национальная гимназия им. Н. Ф. Катанова (г. Абакан, Республика Хакасия). Этапы эксперимента:
подготовительный – до октября 1999 года;
формирующий эксперимент – с октября 1999 года до февраля 2000 года; подведение итогов, анализ результатов, формулирование выводов – до апреля 2000 года.
Методика эксперимента: Изучение математической и методической литературы по данной теме, наблюдение за ходом факультативных занятий, письменный опрос школьников, математическая обработка результатов эксперимента. На подготовительном этапе эксперимента нами была разработана программа факультативного курса“Элементы современной алгебры”, а также содержание занятий этого факультатива по теме: “Понятие подгруппы. Подгруппы симметрических групп”. Цель формирующего эксперимента состояла в апробации разработанного нами факультативного курса, определении продолжительности и количества занятий, в выявлении отношения учащихся к новому спецкурсу. Занятия факультатива проводились один раз неделю в течение 5 месяцев, причем продолжительность одного занятия равнялась академическому часу.
Третий этап эксперимента заключался в проведении среза по выявлению у учащихся остаточных знаний программы факультатива.
После прослушивания школьниками всего факультативного курса, им была предложена для выполнения итоговая проверочная работа (Приложение 3). Данная работа состояла из 26 заданий, причем все задания были разбиты на 4 уровня усвоения занятий, требующих от учащихся различных мыслительных операций. Первый уровень (репродуктивный) предполагал выполнение заданий, требующих воспроизведения знаний без существенных изменений: понятия, правила, готовые выводы.
Второй уровень (уровень стандартных операций) предполагал оперирование знаниями в стандартных условиях, то есть по образцу, правилу, указаниям. Задания третьего уровня (аналитико-синтетического) предусматривали наличие умений анализировать, синтезировать и обобщать. Для выполнения заданий такого уровня необходимы существенные преобразования в структуре приобретенных школьниками знаний, умения в применении навыков логической обработки учебного материала (выделения главного, умения сравнивать, доказывать, обобщать и конкретизировать).
Для выполнения заданий четвертого уровня (творческого) было необходимо умение применять знания в значительно измененных условиях. Задания на четвертый уровень усвоения этого задания исключительно творческого характера. В рамках данной проверочной работы, по темам проведенных мною занятий, было предложено 3 задания первых трех уровней. Это были следующие задания: 1) Задание первого уровня.
Пусть - группа, - группа, является ли подгруппой группы .
2) Задание второго уровня.
Доказать, что подмножество является подгруппой группы S3.
3) Задание третьего уровня.
Пусть Н – множество перестановок , , , . Проверить, является ли Н подгруппой группы S4. Результаты проведенной проверочной работы свидетельствуют о том, что учащиеся справились с предложенными мною заданиями, а значит, успешно усвоили учебный материал по теме: “Понятие подгруппы. Подгруппы симметрических групп”. Так, с заданием первого уровня справились почти все учащиеся (85%), хотя наивысший балл получили лишь несколько школьников. Это связано с тем, что при выполнении данного задания учащиеся давали лишь только правильный ответ, не объясняя и не обосновывал его. Хотя встречались работы, в которых учащиеся очень подробно объясняли свой ответ. В основном, большинство школьников без особых затруднений выполняют задания первого уровня.
С задание второго уровня справилось 69% учащихся. Самой распространенной ошибкой при выполнении данного задания являлось то, что учащиеся не до конца проверяли условия теоремы о подгруппах для конечных групп. Они не учитывали то, что нужно проверять принадлежность данному множеству элемента. Некоторые учащиеся вообще не применяли данную теорему, а использовали критерий подгрупп, то есть проверяли принадлежность множеству элемента, что является излишним для конечных групп. Отыскание подгрупп с помощью этого критерия является не рациональным для конечных групп.
Можно сказать, что в среднем более половины школьников легко выполняют задания такого уровня. Снижение показателей по сравнению с первым уровнем обусловлено тем, что для перехода от воспроизведения к применению знаний необходима соответствующая натренированность учащихся в применении знаний, чему не всегда уделяется должное внимание. Мы же не смогли уделить этому внимание из-за отсутствия времени, необходимого для тренировки учащихся в применении полученных знаний.
Задание третьего уровня выполнили 54% школьников, так как задания такого типа требуют уже более высокого уровня развития мышления, они представляют значительную трудность для многих школьников. Как правило, только треть учащихся из класса без особых затруднений выполняют подобные задания. На рисунке 1 представлены данные, полученные в результате проверочной работы. Данный рисунок отражает только результаты предложенных мною трех заданий. Таким образом, результаты проверочной работы показали, что разработанный нами факультативный курс“Элементы современной алгебры”доступен пониманию школьников. Следовательно, в ходе формирующего эксперимента было получено подтверждение гипотезы исследования о возможности знакомства школьников с элементами современной алгебры.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В современных условиях развития общества особую актуальность приобрела проблема внедрения в школьное математическое образование элементов современной математики.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
