Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике - (диплом)
p>Методы исследования: анализ математической, методической и психолого-педагогической литературы по данной теме; отбор учебного материала для использования на факультативных занятиях; осуществление педагогического эксперимента.Экспериментальная база исследования – национальная гимназия им. Н. Ф. Катанова (г. Абакан, Республика Хакасия). Результаты исследования обсуждались на семинарах, доказывались на научно-практической конференции“Катановские чтения” в апреле 2000 года. Структура дипломной работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.
ГЛАВА 1. ПОДГРУППЫ СИММЕТРИЧЕСКИХ ГРУПП
В жизни современного общества очень важную роль играет математика. В настоящее время математика находит широкое применение при решении самых разнообразных проблем науки и практики. Особенно велика роль современной математики. Одной из наиболее важных и быстро развивающихся областей современной математики является абстрактная алгебра.
В центре внимания современной абстрактной математики не только такие алгебраические структуры, как группы, подгруппы, полугруппы, кольца и так далее, ставшие уже классическими, и их далеко идущие обобщения, но и объекты новой природы [27].
Одним из основных разделов современной алгебры является теория групп. Группы – это один из основных типов алгебраических структур. Понадобилась работа нескольких поколений математиков, занявшая в общей сложности около ста лет, прежде чем идея группы вы кристаллизировалась с ее сегодняшней ясностью.
Теория групп начала оформляться в качестве самостоятельного раздела математики в конце XVIII века. В течение первый десятилетий XIX века она развивалась медленно и практически не привлекала к себе внимания. Но затем, около 1830 года, благодаря работам Галуа и Абеля о разрешимости алгебраических уравнений всего за несколько лет она совершила гигантский скачок, который оказал глубокое влияние на развитие всей математики. С тех пор основные понятия теории групп стали детально исследоваться [3].
В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные применения как в самой математике, так и за ее пределами–в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания.
Понятие группы тесно связано с понятием подгруппы. Слово “подгруппа” означает “группа внутри группы”. Понятие подгруппы является основным в теории групп. Все содержание теории связано в большей или меньшей степени с вопросами о наличии в группе подгрупп с теми или иными специальными свойствами, о группах, которые могут быть вложены в данную группу, о тех или иных свойствах, характеризующих взаимное расположение подгрупп в группе, о способах построения группы по ее подгруппам. Кроме того, с помощью подгрупп можно описать внутреннюю структуру некоторых групп. Выделение тех или иных специальных типов групп также связано преимущественно с понятием подгруппы. Поэтому подгруппы играют особую роль в развитии и применении теории группы [3], [8].
1. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Определение: множество перестановок n-й степени образует по умножению группу, притом конечную порядка n! . Эта группа называется симметрической группой n-й степени и обозначается Sn.
Определение: подмножество Н множества Sn называется подгруппой группы Sn, если оно является группой относительно действия умножения перестановок. Такие подмножества играют важную роль для изучения строения группы Sn. Симметрическая группа Snимеет много разных подгрупп, причем их число очень быстро возрастает с увеличением числа n. Полностью описать все подгруппы группы Snудается лишь для небольших n, а для n больших изучаются лишь общие свойства таких подгрупп.
Часто подгруппы симметрической группы Sn называют просто группами перестановок. В частности, само множество Sn также является своей подгруппой, то есть группа Snбудет подгруппой самой себя. Кроме того, множество состоящее лишь из одного единичного элемента, также является подгруппой, это вытекает из следующих равенств: E*E=E, E-1=E. Такая подгруппа называется единичной. Для каждой другой подгруппы Н группы Sn выполняется неравенство: 1
Единичная подгруппа и вся группа называются несобственными подгруппами, а все остальные подгруппы называются собственными.
В основном нас будут интересовать собственные подгруппы групп.
1. 2. ТЕОРЕМЫ О ПОДГРУППАХ
Для каждого подмножества множества Sn, которое является подгруппой, должны выполняться все требования определения группы. Но проверять все эти требования не нужно, так как справедлива следующая теорема о подгруппах.
Теорема: подмножество Н группы Sn, которое содержит по меньшей мере одну перестановку, является подгруппой группы Sn тогда и только тогда, когда:
вместе с каждыми двумя элементами в него входит их произведение ; если , то .
Доказательство.
Необходимость.
Действительно, если Н – подгруппа группы Sn, то она замкнута относительно действия упражнения перестановок, которые принадлежат Н, то есть выполняется условие 1). Каждый элемент из Н имеет обратный, следовательно, выполняется условие 2).
Достаточность.
Пусть для множества Н перестановок выполняются условия 1) и 2). Проверим, имеет ли множество Н все свойства группы. Условие 1) означает, что множество Н замкнуто относительно действия умножения своих элементов следовательно, выполняются первое требование определения группы. Ассоциативность действия умножения перестановок Н имеет место, так как умножение произвольных перестановок (в частности, и тех, которые принадлежат Н) имеет такое свойство. Тождественная перестановка также должна принадлежать множеству Н. Действительно, Н содержит хоть одну перестановку, например, а тогда Н принадлежит по условию 2) и перестановка . Поэтому по условию 1) Н принадлежит перестановка . Наконец, условие 2) показывает, что каждый элемент из Н имеет обратный, который также принадлежит Н. Следовательно, Н является подгруппой группы Sn. Теорема доказана.
Пример 1.
Пусть Н – множество перестановок , , , .
Проверим, является ли Н подгруппой группы S4.
Имеем: , следовательно, для множества Н выполняется условие 2) только что доказанной теоремы. Проверим выполнение условия 1) теоремы.
Следовательно, произведение каждых двух элементов множества Н является элементов того же множества, то есть для Н выполняется и условие 1) упомянутой выше теоремы.
Таким образом, подмножество Н является подгруппой группы S4.
Пример 2.
Пусть Т – множество перестановок , , , .
Проверим, является ли Т подгруппой группы S4.
Оказывается, что множество Т не является подгруппой группы S4, так как для него не выполняется ни одно из условий 1), 2) теоремы о подгруппах. Действительно, , так как , .
Следует отметить, что сформулированная выше теорема справедлива для бесконечных групп. В случае конечных групп проверка условия 2) является излишней, то есть для конечных групп справедлива следующая теорема о подгруппах. Теорема: пусть - группа, Н - ее конечное подмножество и оно замкнуто относительно умножения. Тогда Н– подгруппа группы G.
Доказательство.
Докажем замкнутость Н относительно существования обратного элемента. Возьмем произвольный элемент . Если , то и .
Пусть . Рассмотрим степени элемента : - все эти числа принадлежат Н (так как Н замкнуто относительно умножения по условию). Так как множество Н конечно, то все эти числа различны быть не могут.
Значит, существуют . Пусть (в случае доказательство проводится аналогично). Тогда и , , , . Следовательно, - обратный для , то есть . Но . Следовательно, , то есть . Таким образом, для произвольного элемента получили, что . Значит, Н – подгруппа группы G. Теорема доказана.
Нам известно, что симметрическая группа Sn является конечной. Поэтому для того чтобы подмножество Н группы Sn являлось подгруппой группы Sn, достаточно чтобы произведение произвольных двух элементов из Н также принадлежало Н.
1. 3. ЗНАКОПЕРЕМЕННАЯ ГРУППА
Особенный интерес представляет множество Anвсех четный перестановок на множестве из n символов. Ясно, что это подмножество симметрической группы Sn. Утверждается, что An является подгруппой группы Sn. Чтобы доказать это, проверим, что An удовлетворяет двум условиям, характеризующим подгруппу: замкнутость.
Если р1 и р2 – перестановки из An, представимые в виде произведений n1 и n2 транспозиций соответственно, то их произведение можно записать с помощью транспозиций. Если n1 и n2 – четные числа, то и n1+n2 четно, откуда можно заключить, что перестановка четная и, следовательно, эта перестановка принадлежит An. обратимость.
Перестановка р имеет обратную р-1 (в группе Sn); р*р-1=Е можно представить только с помощью четного числа транспозиций, поскольку Е – четная перестановка. Значит, если р – четная перестановка, то р-1 также должна быть четной, то есть у каждого элемента из группы An есть обратный в An. Следовательно, для подмножества Anвыполняются два условия теоремы о подгруппах (причем, второе условие можно было бы и не проверять, так как Sn – конечная группа). Поэтому An является подгруппой симметрической группы Sn. Подгруппа An группы Sn называется знакопеременной группой. Теорема: порядок группы An равен .
Доказательство.
Пусть а – транспозиция из симметрической группы , пусть а=(12)=(12)(3)(4)…(n). Умножим каждый элемент группы Sn слева на а=(12). В результате снова получим множество всех элементов из Snи ни один из них не повторяется дважды. Но произведение любой четной перестановки из Snи элемента (12) является нечетной перестановкой, а произведение нечетной перестановки и элемента (12) является четной перестановкой. Множество нечетных перестановок и множество четных при этом умножении взаимно однозначно отображаются одно на другое. Это возможно лишь при том условии, что количество четных и нечетных перестановок одинаково. Следовательно, порядок группы An равен . Теорема доказана.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
