Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике - (диплом)

p>Все описанные выше подмножества действительно являются подгруппами, так как для каждого из них выполняется условие теоремы о подгруппах для конечных групп. Кроме того, в группе S4 имеются подгруппы 6-го и 12-го порядка. Следовательно, симметрическая группа S4 имеет 30 разных подгрупп, а порядок группы S4равен 24. поэтому, сформулированное нами предложение о том, что количество подгрупп некоторой группы равно порядку этой группы, оказалось не верным. 3. Доказать, что подмножество группы S4 является коммуникативной подгруппой. Составить таблицу умножения подгруппы Н. Решение.

Коммуникативной подгруппой называется подгруппы с коммуникативной операцией. Операция на множестве Н называется коммуникативной, если для любых двух элементов h1 и h2 из Н выполняется условие: h1*h2=h2*h1.

    Перестановки и коммутируют, если .
    Пусть , .

Следовательно, произведение каждых двух элементов множества Н является элементом того же множества, то есть подмножество Н группы S4 является подгруппой группы S4, причем перестановки коммутируют. Значит, Н – коммуникативная подгруппа. Составим таблицу умножения подгруппы Н.

    *
    Е
    Е
    Е
    Е
    Е
    Е

4. Опишите все подгруппы S4, которые состоят из трех перестановок. Сколько их? Решение.

1) Рассмотрим подгруппы, состоящие из трех перестановок второго порядка. Если Н – такая подгруппа, то она состоит из следующих элементов: , то есть . Если - перестановка второго порядка, то , значит .

Пусть , значит , тогда , то есть =, а у нас и должны быть различными. Следовательно, , то есть , - перестановка второго порядка. Но легко непосредственно проверить, что произведение любых двух элементов второго порядка является элемент третьего порядка. Значит, при таких предположениях произведение не принадлежит Н и Н не является подгруппой. Следовательно, в группе S4 не существует подгрупп, состоящих из трех перестановок второго порядка. 2) Рассмотрим подгруппы, состоящие из трех перестановок третьего порядка. Пусть - такая подгруппа. Если - перестановка третьего порядка, то есть , тогда перестановки различные, а . Следовательно, перестановка тоже третьего порядка. Непосредственно легко проверить, что произведением двух элементов третьего порядка является элемент третьего порядка, то есть произведениепринадлежит G и G является подгруппой. В нашем случае существует 4 подгруппы, состоящие из трех перестановок третьего порядка:

    1
    2
    3
    4 - .

3) Рассмотрим подгруппы, которые состоят из трех перестановок четвертого порядка.

Пусть - такая подгруппа. Если - перестановка четвертого порядка, то есть , то перестановки различные. Тогда получается, что в подгруппе М должны содержаться четыре перестановки: , а у нас подгруппа М по условию должна содержать три перестановки. Значит, перестановка не может быть четвертого порядка.

Следовательно, симметрическая группа S4 содержит всего 4 трехэлементных подгруппы. 5. Какая из подгрупп симметрической группы S3: будет знакопеременной. Решение.

Знакопеременная группа Аn имеет порядок , значит знакопеременная группа А3 имеет порядок . Следовательно, из представленных в условии задачи подгрупп знакопеременной может быть подгруппа G, так как ее порядок равен 3. Проверим, являются ли перестановки подгруппы G четными. По определению, перестановка называется четной, если она раскладывается в произведение четного числа транспозиции. (123)=(12)*(13), то есть (123) – четная перестановка

    (132)=(13)*(12), то есть (132) – четная перестановка

Следовательно, подгруппа G группы S3 является знакопеременной. Утверждение: если G – группа порядка 2n и Н – ее подгруппа порядка n, то Н будет нормальной подгруппой группы G. Утверждение: знакопеременная группа Аn является нормальной подгруппой симметрической группы Sn. 6. Докажите, что группа А4 не имеет подгрупп порядка 6.

    Доказательство.

Если группа А4обладает подгруппой порядка 6, то эта подгруппа должна быть нормальной, так как ее порядок равен половине порядка группы А4. Но, так как любая нормальная подгруппа группы А4содержит только элементы порядка 2, то максимальный возможный порядок подгруппы А4 равен 4. Следовательно, группа А4 не имеет подгрупп порядка 6. 7. Докажите, что знакопеременная группа Аn (). Порождается всеми циклами (a b c) длины 3. Доказательство.

Группа Аnпорождается произведениями пар транспозиций. Если две транспозиции одинаковы, их произведение равно тождественной перестановке. Если они имеют одну общую букву, как, например, (a b) и (a c), то (a b)*(a c)=(a b c). Если они не имеют общих букв, то (a b)*(c d)=(a b)*(a c)*

*(c a)*(c d)=(a b c)*(c a d). Значит, знакопеременная группа Аn, порождается всеми циклами длины 3.

    ГЛАВА 2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ
    НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ В ШКОЛЕ
    2. 1. ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ, КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ
    АБСТРАКТНОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ СТАРШИХ КЛАССОВ
    2. 1. 1. МЫШЛЕНИЕ И ЕГО РАЗВИТИЕ

Развитие мышления школьников является одной из главных задач обучения, так как высокая результативность обучения школьников достигается прежде всего тогда, когда проявляется должная забота о развитии мышления учащихся [24]. Мышление является продуктом исторического развития общественной практики, особой теоретической формой человеческой деятельности. С точки зрения психологии, мышление–это специально обусловленный, неразрывно связанный с речью психический процесс поисков и открытия существенно нового, процесс опосредствованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза [23]. Критерий истинности мышления –общественная практика. Она служит также той основой, на которой строятся логические законы и правила. Поэтому мышление не может быть сведено только к совокупности мыслительных операций и манипулировании с ними. Развитое мышление тесно связано с речью, то есть способностью говорить, выражать свои мысли. В задачи мышления входит правильное определение причин и следствий, которые могут выполнять функции друг друга в зависимости от обстоятельств и времени. Развитие мышления –это изменения его содержания и форм, которые образуются в процессе познавательной деятельности ребенка. В психологии обычно рассматриваются три вида мышления: 1) практически-действенное, 2) наглядно-образное и 3) словесно-логическое. Самым ранним (у ребенка до 3 лет) является практически-действенное. В 4-7 лет развивается наглядно-образное. В первые годы обучения в школе происходит развитие словесно-логического (понятийного) мышления. У школьников среднего и старшего возрастов этот вид мышления становится особенно важным.

В процессе развития мышление предшествующий вид не отбрасывается последующим. Каждый вид продолжает и дальше развивается и совершенствоваться. Таким образом, развитие мышления –это не простая смена видов и форм мышления, а их изменение, совершенствование в ходе усвоения все более абстрактной и обобщенной информации [23], [24]. Развивать мышление – это значит:

развивать все виды и формы мышления и стимулировать процесс перерастания их из одних в другие;

формировать и совершенствовать мыслительные операции (анализ, синтез, сравнение, обобщение, классификацию и другие);

развивать умения: выделять существенные свойства предметов и абстрагировать их от несущественных; находить главные связи и отношения вещей и явлений окружающего мира; делать правильные выводы из фактов и проверять их; доказывать истинность своих суждений и опровергать ложные умозаключения; раскрывать существо основных форм правильных умозаключений; излагать свои мысли определенно, последовательно, непротиворечиво и обоснованно; вырабатывать умения осуществлять перенос операций и приемов мышления из одной области в другую; предвидеть развитие явлений и делать обоснованные выводы; стимулировать процесс перехода от мышления, основанного на формальной логике, к мышлению, основанному на диалектической логике; совершенствовать умения и навыки по применению законов и требований формальной и диалектической логики в учебной и внеучебной познавательной деятельности учащихся.

    Указанные компоненты тесно взаимосвязаны.

Особо подчеркивается значение мыслительных операций, которые лежат в основе любого из этих компонентов: формулируя и совершенствуя их у учащихся, мы тем самым способствуем развитию их мышления вообще.

Таким образом, под развитием мышления учащихся в процессе обучения понимается формирование и совершенствование всех видов, форм и операций мышления, выработка умений и навыков по применению законов мышления в познавательной и учебной деятельности, а также умений осуществлять перенос приемов мыслительной деятельности из одной области знаний в другие [23].

    2. 1. 2. ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ МЫШЛЕНИЯ
    В СТАРШЕМ ШКОЛЬНОМ ВОЗРАСТЕ

В настоящее время особое внимание уделяется развитию мышления старшеклассников. Производительный труд и производственное обучение в системе трудового воспитания предъявляют к учащимся серьезные требования. У них вырабатывается активная жизненная позиция, более сознательное отношение к выбору будущей профессии, к самоопределению и самопознанию, прививаются навыки трудовой и учебно-познавательной деятельности. Более сложные содержание и методы обучения старшеклассников требуют от них и более высокого уровня самостоятельности, активности, организованности, умений принять на практике приемы и операции мышления. Резко возрастает потребность в самоконтроле и самовоспитании, в знаниях своих способностей и возможностей их реализации, развивается инициатива. Мышление становится более глубоким, полным, разносторонним и все более абстрактным; в процессе знакомства с новыми приемами умственной деятельности моделируются старые, освоенные на предыдущих ступенях обучения. Овладение высшими формами мышления способствует выработке потребности в интеллектуальной деятельности, приводит в конечном счете к пониманию важности теории и стремлению применять ее на практике.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9