Шпаргалка: Лекции по количественной оценке информации

Ошибки в циклических кодах обнаруживаются и исправляются при помощи остатков от деления полученной комбинации на образующий многочлен. Остатки от деления являются опознавателями ошибок, но не указывают непосредственно на место ошибки в циклическом коде.

Идея исправления ошибок базируется на том, что ошибочная комбинация после определенного числа циклических сдвигов “ подгоняется ” под остаток таким образом, что в сумме с остатком она дает исправленную комбинацию. Остаток при этом представляет собой не что иное, как разницу между искаженными и правильными символами, единицы в остатке стоят как раз на местах искаженных разрядов в подогнанной циклическими сдвигами комбинации. Подгоняют искаженную комбинацию до тех пор, пока число единиц в остатке не будет равно числу ошибок в коде. При этом, естественно, число единиц может быть либо равно числу ошибок , исправляемых данным кодом (код исправляет 3 ошибки и в искаженной комбинации 3 ошибки), либо меньше s (код исправляет 3 ошибки, а в принятой комбинации - 1 ошибка).

Место ошибки в кодовой комбинации не имеет значения. Если  то после определенного количества сдвигов все ошибки окажутся в зоне “разового” действия образующего многочлена, т. е. достаточно получить один остаток, вес которого , и этого уже будет достаточно для исправления искаженной комбинации. В этом смысле коды БЧХ (о них мы будем говорить ниже) могут исправлять пачки ошибок, лишь бы длина пачки не превышала s.

Построение и декодирование конкретных циклических кодов

I.          Коды, исправляющие одиночную ошибку, .

1. Расчет соотношения между контрольными и информационными символами кода производится на основании выражений (59) - (69).

Если задано число информационных разрядов , то число контрольных разрядов  находим из выражения

Общее число символов кода

Если задана длина кода , то число контрольных разрядов

Соотношение числа контрольных и информационных символов для кодов с  приведены в табл. 3 приложения 9.

2. Выбор образующего многочлена производится по таблицам неприводимых двоичных многочленов.

Образующий многочлен  следует выбирать как можно более коротким, но степень его должна быть не меньше числа контрольных разрядов , а число ненулевых членов - не меньше минимального кодового расстояния .

3. Выбор параметров единичной транспонированной матрицы происходит из условия, что число столбцов (строк) матрицы определяется числом информационных разрядов, т. е. ранг единичной матрицы равен .

4. Определение элементов дополнительной матрицы производится по остаткам от деления последней строки транспонированной матрицы (единицы с нулями) на образующий многочлен. Полученные остатки должны удовлетворять следующим требованиям:

а) число разрядов каждого остатка должно быть равно числу контрольных символов , следовательно, число разрядов дополнительной матрицы должно быть равно степени образующего многочлена;

б) число остатков должно быть не меньше числа строк единичной транспонированной матрицы, т. е. должно быть равно числу информационных разрядов ;

в) число единиц каждого остатка, т. е. его вес, должно быть не менее величины , где  - минимальное кодовое расстояние, не меньшее числа обнаруживаемых ошибок;

г) количество нулей, приписываемых к единице с нулями при делении ее на выбранный неприводимый многочлен, должно быть таким, чтобы соблюдались условия а), б), в).

5. Образующая матрица составляется дописыванием элементов дополнительной матрицы справа от единичной транспонированной матрицы либо умножением элементов единичной матрицы на образующий многочлен.

6. Комбинациями искомого кода являются строки образующей матрицы и все возможные суммы по модулю 2 различных сочетаний строк образующей матрицы.

7. Обнаружение и исправление ошибок производится по остаткам от деления принятой комбинации  на образующий многочлен . Если принятая комбинация делится на образующий многочлен без остатка, то код принят безошибочно. Остаток от деления свидетельствует о наличии ошибки, но не указывает, какой именно. Для того чтобы найти ошибочный разряд и исправить его в циклических кодах, осуществляют следующие операции:

а) принятую комбинацию делят на образующий многочлен и

б) подсчитывают количество единиц в остатке (вес остатка).

Если , где s - допустимое число исправляемых данным кодом ошибок, то принятую комбинацию складывают по модулю 2 с полученным остатком. Сумма даст исправленную комбинацию. Если , то

в) производят циклический сдвиг принятой комбинации  влево на один разряд. Комбинацию, полученную в результате циклического сдвига, делят на . Если в результате этого повторного деления  то делимое суммируют с остатком, затем

г) производят циклический сдвиг вправо на один разряд комбинации, полученной в результате суммирования последнего делимого с последним остатком. Полученная в результате комбинация уже не содержит ошибок. Если после первого циклического сдвига и последующего деления остаток получается таким, что его вес , то

д) повторяют операцию пункта в) до тех пор, пока не будет . В этом случае комбинацию, полученную в результате последнего циклического сдвига, суммируют с остатком от деления этой комбинации на образующий многочлен, а затем

е) производят циклический сдвиг вправо ровно на столько разрядов, на сколько была сдвинута суммируемая с последним остатком комбинация относительно принятой комбинации. В результате получим исправленную комбинацию[18].

II.         Коды, обнаруживающие трехкратные ошибки, .

1.     Выбор числа корректирующих разрядов производится из соотношения

или

2.     Выбор образующего многочлена производят, исходя из следующих соображений: для обнаружения трехкратной ошибки

поэтому степень образующего многочлена не может быть меньше четырех; многочлен третьей степени, имеющий •число ненулевых членов больше или равное трем, позволяет обнаруживать все двойные ошибки, многочлен первой степени  обнаруживает любое количество нечетных ошибок, следовательно, многочлен четвертой степени, получаемый в результате умножения этих многочленов, обладает их корректирующими свойствами: может обнаруживать две ошибки, а также одну и три, т. е. все трехкратные ошибки.

3. Построение образующей матрицы производят либо нахождением остатков от деления единицы с нулями на образующий многочлен, либо умножением строк единичной матрицы на образующий многочлен.

4. Остальные комбинации корректирующего кода находят суммированием по модулю 2 всевозможных сочетаний строк образующей матрицы.

5. Обнаружение ошибок производится по остаткам от деления принятой комбинации  на образующий многочлен . Если остатка нет, то контрольные разряды отбрасываются и информационная часть кода используется по назначению. Если в результате деления получается остаток, то комбинация бракуется. Заметим, что такие коды могут обнаруживать 75% любого количества ошибок, так как кроме двойной ошибки обнаруживаются все нечетные ошибки, но гарантированное количество ошибок, которое код никогда не пропустит, равно 3.

Пример: Исходная кодовая комбинация - 0101111000, принятая - 0001011001 (т. е. произошел тройной сбой). Показать процесс обнаружения ошибки, если известно, что комбинации кода были образованы при помощи многочлена 101111.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10