Курсовая работа: Застосування симетричних многочленів

З наведеної таблиці 2.3, легко знаходимо (за умов  ) :

крім того, згідно таблиці 2.2:

З цих співвідношень безпосередньо витікає доводжувана рівність.

Приклад 4. Довести, тотожність

Для доведення позначимо число (– a – b) через c: с = – a – b.

Тоді a + b + c = 0 і можна застосувати формули, запропоновані у таблиці 2. 2. Ліва частина доводжуваної тотожності перетвориться таким чином:

а права - таким чином:

Таким чином, доводжувана рівність справедлива.

Вказані способи доведення тотожності нерідко застосовуються у поєднанні з наступним прийомом: якщо обидві частини, тієї тотожності, що доводимо, виражається через різниці ab, bc, ca, то зручно зробити заміну x = ab, y = bc, z = ca, тоді x + +y + z = (ab)(bc)(ca) = 0 і тому можна застосовувати формули, запропоновані у таблиці 2. 2. Той же прийом можна застосовувати при розкладанні на множники многочленів, що виражаються через різниці ab, bc, ca. Розглянемо приклад.

Приклад 5. Розкласти на множники многочлен

Вважаючи, що x = ab, y = bc, z = ca, знаходимо:

Ми скористались формулою  , запропонована у таблиці 2. 2.

 

2.3 Звільнення від ірраціональності

Симетричні многочлени дозволяють розв’язати багато важких завдань про звільнення від ірраціональності в знаменнику. У разі, коли знаменник має вигляд  або  цю задачу можна вирішити і без застосування симетричних многочленів. Для цього досить використовувати формули

Складніше йде справа, якщо знаменник складається з трьох або більшого числа ірраціональних доданків. Тут і можуть допомогти симетричні многочлени. Розглянемо наступні приклади.

Приклад 1. Звільнитися від ірраціональності в знаменнику виразу

Покладемо  Тоді знаменник є не чим іншим, як елементаpним симетричним многочленом Спробуємо підшукати множник, після множення на який знаменник вдасться виразити через статечні суми s2 і s4. Оскільки ці степеневі суми мають вигляд

знаменник стане раціональним виразом. Для знаходження цього множника використовуємо формули

 

(За табл. 2.1.). Ми бачимо, що в обох степеневих сумах лише останній доданок (у правій частині) не ділиться на . Але дуже легко скомбінувати ці степеневі суми так, щоб останні доданки, що заважають нам, взаємно знищилися. Для цього суму  піднесемо до квадрату

і віднімемо з цього квадрата подвоєну суму . Ми отримаємо:

,

Звідки:

)

Згадуючи, що ми знаходимо (використовуючи вказані вище співвідношення

Залишається помножити обидві частини отриманої рівності на q .

Зауваження. Щоб уникнути дещо неприємного (при розкритті дужок в чисельнику) вираження, можна було б спочатку перетворити чисельник в правій частині формули (*). Використовуючи співвідношення

ми можемо переписати формулу (*) у вигляді

Звідси ( вважаючи, як і раніше,  ) отримуємо рішення задачі в зручнішому вигляді:

 

Приклад 2. Звільнитися від ірраціональності в знаменнику виразу

Напишемо вираз степеневої суми s3 :

В правій частині тільки останній доданок  не ділиться на  . Переносячи його в ліву частину, отримуємо:

,

Звідки:

Поклавши  знаходимо:

Ми бачимо, таким чином, що якщо знаменник дробу має вигляд  , то після множення чисельника і знаменника на вираз

,

у знаменнику отримаємо вираз

 

Тепер для звільнення від ірраціональності досить використати формулу:

.

Потрібно помножити чисельник і знаменник на вираз

В результаті отримаємо:

Розглянуті приклади є окремими випадками наступного завдання. Нехай треба позбавитися від ірраціональності в знаменнику виразу

Іншими словами, ми повинні представити цей вираз у вигляді:

де A може бути скільки завгодно складним ірраціональним виразом, але знаменник B має бути раціональним. Ясно, що знаменник буде раціональним, якщо в нього самі корені  не входять, а входять лише їх n-і степені. Іншими словами, позначивши  ми повинні відшукати тотожність виду:

де f і g – деякі многочлени. Ця рівність переписується у вигляді

. І так, нам потрібно знайти такий многочлен від трьох змінних, що  ділиться на  

Як же знайти такий многочлен g? Спробуємо використовувати симетричні многочлени. Простими прикладами симетричних многочленів, залежних тільки від (n – x) степеней змінних x, y, z, можуть служити степеневі суми

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6