Курсовая работа: Застосування симетричних многочленів
Доведемо це методом математичної індукції по n. Нехай n=1 і
. Через те, що
в цьому разі дорівнює x1,
то
, бо
, що те саме,
що й
Нехай тепер п > 1, і наше твердження правильне для
будь-якого числа змінних, меншого п. Чи може бути воно несправедливим
для якогось многочлена від п змінних? Припустимо, що це так і існує
многочлен такий,
що
, але
. Подамо
за степенями yп
де — многочлени від
, за нашим припущенням
(11)
Оскільки , то хоч би один з його
коефіцієнтів в (10) не дорівнює нулю. Завжди можна вважати, що
. Якщо
, то надалі міркування проводять
відносно многочлена
, який дістаємо з
після скорочення на. Виходить,
що при уп = 0
(12)
З другого боку, візьмемо в (11) хп = 0. Тоді , а інші
,
перетворюються в основні симетричні функції від (п-1) змінних. Позначимо
їх через
.Отже,
при хп = 0 з (11) дістаємо:
, 0) =
(13)
Порівнюючи (12) з (13) бачимо, що ми прийшли до суперечності з припущенням індукції, а тому висловлене твердження справедливе і для п.
Єдиність зображення (9) доведено.
З основної теореми теорії симетричних многочленів можна зробити важливий висновок.
Теорема 2: Якщо f(x) — многочлен від однієї змінної над полем Р з
коренями (які можуть не належати Р),
то будь-який симетричний многочлен f (x1, x2, …, xn)
над полем Р при
набуває значення, яке є
елементом поля Р.
Доведення. Нехай дано якийсь многочлен n-го степеня від одного змінного (в зведеному вигляді) над полем Р:
(14)
Позначимо
корені цього многочлена через ; вони можуть і не належати полю Р.
Візьмемо тепер довільний симетричний многочлен
над Р від п змінних.
За основною теоремою теорії симетричних многочленів, многочлен
можна подати у вигляді
многочлена від основних симетричних функцій
з коефіцієнтами з поля Р, тобто
Візьмемо
тепер тут .
Тоді за формулами Вієта всі основні симетричні функції дорівнюватимуть відповідним
коефіцієнтам многочлена (14) з належним знаком:
……………………………………………………………
У зв'язку з цим
Але тоді елемент поля Р як
результат ви конання операцій додавання і множення над елементами з поля Р. Таким
чином,
.
Отже, ми довели таке твердження.
У ряді питань доводиться
зустрічатися з задачею побудови за даним многочленом f(х) є Р
[х] з коренями такого многочлена g(у),
корені якого
виражаються
через відповідні корені
за допомогою деякого
многочлена у = f(х) над полем Р;
. Найпростіші задачі
такого типу зустрічаються в шкільному курсі алгебри для Р = Q. Оскільки
коефіцієнти
многочлена g(у) відповідно
до формул Вієта визначаються рівностями
……………………………………………………………
,
то вони є значеннями деяких симетричних многочленів над Р, аргументи
яких є коренями даного многочлена f(х). З oсновної теореми теорії
симетричних многочленів випливає, що завжди можна знайти вираз коефіцієнтів через
коефіціeнти даного многочлена, а з теореми 3 зрозуміло, що знайдений многочлен
належатиме тому самому кільцю Р [х], що й даний многочлен.
Зауважимо, що сказане залишається справедливим і для більш
загального випадку, коли ,де
- довільні
симетричні многочлени над полем Р.
Розглянутий вище метод доведення основної теореми можна використати для практичного зображення симетричних многочленів через основні симетричні функції.
Приклад. Подати симетричний многочлен над полем
+
+
через основні симетричні функції. Як і при доведенні теореми, запишемо цей многочлен як суму однорідних многочленів. Дістанемо:
де
Спочатку подамо через основні симетричні
многочлени. Вищий його член є
. Згідно з методикою
доведення теореми, від
слід відняти многочлен
бо система показників у вищому члені є 2, 1, 0. Але немає потреби
фактично виконувати це віднімання. Спираючись на можливість і єдиність
зображення даного многочлена у вигляді многочлена досить визначити можливий вигляд
членів
і
скористатися методом невизначених коефіцієнтів.
У різниці знищаться всі члени виду
з довільною
перестановкою показників 2, 1, 0. Проте одночасно можуть з'явитися члени того
самого степеня 3, але з іншою, нижчою системою показників, а саме: 1, 1, 1.
Отже, потім треба буде відняти симетричний многочлен
Тому можна записати: ,
де а — невизначений поки що коефіцієнт, тобто:
Щоб знайти а, досить надати деяких числових значень змінним наприклад
= 1. Тоді
дістанемо 6 = 9 + а. Отже, а =
3. Таким чином,
Аналогічно міркуватимемо відносно многочлена
Можливі системи показників тут будуть 2, 0, 0 і 1, 1, 0. Отже, відніматимемо такі многочлени: