Различные подходы к определению проективной плоскости - (реферат)
p>Доказательство: Для заданной прямой l и двух троек различных точек А, В, С и A’, B’, C’этой прямой мы должны найти проективное преобразование, переводящее одну тройку в другую, и доказать, что оно единственно. Выбираем прямуюl’, не проходящую через заданные точки, и спроектируем A’, B’, C’ на l’. Обозначим образы этих точек теми же буквами A’, B’, C’. Таким образом мы свели теорему к следующей: имеем А, В, С на l A’, B’, C’ на l’ (все точки отличны от lЗl’) требуется показать, что $ единственное проективное отображение, такое, что ABC - A’B’C’. Одно такое проективное отображение мы уже получили в предложении 2 (п. 3. 7); следовательно, достаточно показать, что любое другое проективное отображение совпадает с этим.Случай 1: Предположим, что второе проективное отображение есть просто перспективное отображение. Пустьl - l’ переводит ABC = A’B’C’. Рассмотрим P=AB’ЗA’B ; пусть прямая l’’ соединяет Р с Q. Мы утверждаем, что l’’ проходит через точку Х=lЗl’. Действительно, применим П5 к треугольникам AB’C’ и A’BC, которые перспективны с центром О. Их стороны пересекаются в точках Р, Q, Х соответственно. Следовательно, l’’ определяется точками Р и Х.
Но так как С может меняться, перспективное отображение l = l’ совпадает с проективным отображением l = l’’ = l’ Случай 2: предположим, что второе проективное отображение не является перспективным. Тогда в силу леммы 3 оно может быть представлено в виде композиции двух перспективных отображений, а в силу леммы 2 можно предположить, что центры этих отображений принадлежат соответственноl’ и l. Таким образом, мы приходим к конфигурации: l = l’’ = l’ и ABC = A’’B’’C’’ = A’B’C’
Применяя П6 к треугольникам АBR и A’B’R’, мы получаем, что Р=АB’ЗA’BОl’’. Аналогично, применяя П6 к ACR и A’C’R’, мы получаем, что Q=AC’ЗA’CОl’’. Таким образом, l’’есть прямая, которая была использована в предложении 2 (п. 3. 7) для построения второго проективного отображения
l = l’’ = l’
Пусть теперь DОl – произвольная точка; определим D’’=R’DЗl’’и D’=RD’’Зl’. Из П6, применимой к треугольникам ADR и A’D’R’, следует, что AD’ЗA'D, A’’, D’’ коллинеарны, то есть AD’ЗA’DОl’’. Но это означает, что также и проективное отображение предложения 2 переводит D в D’. Следовательно, эти проективные отображений совпадают. ч. т. д. Теорема 2: П5 следует из П6.
Доказательство: Пусть, О, A, B, C, A', B', C' удовлетворяют предложениям теоремы Дезарга (П5), построимP, Q, R. Для доказательства их коллинеарности нам придется трижды применить П6. Шаг 1: Пусть A’C’ пересекает АВ в точке S. Затем применим П6 к прямым. О С C’
B S A и заключим отсюда, что точки T=OSЗBC, U=OAЗBC’, Q коллинеарны.
Шаг 2: Применим теперь П6 к тройкам O B B’
C’ A’ S
и заключим отсюда, что точки U, V=OSЗB’C’, P коллинеарны.
Шаг 3: Применим, наконец, П6 к тройкам B C’ U
V T S
и заключим отсюда, что точки R, P=BSЗUV (шаг2), Q=C’SЗTU (шаг1) коллинеарны. ч. т. д.
Следствие: (из основной теоремы). Проективное отображение l - l’, где l№l’, есть перспективное отображение Ы точка пересечения X=lЗl’ переходит в себя.
Глава 4. Применение основных теорем к решению задач на евклидовой плоскости. 4. 1. Использование теоремы Дезарга на евклидовой плоскости. В аксиоматическом построении проективной плоскости мы рассматриваем теорему Дезарга, как аксиому. Покажем, что она справедлива на евклидовой плоскости. Если две одинаковые конфигурации, составленные из точек и прямых, могут быть приведены в соответствие так, что пары соответствующих точек соединяются прямыми, пересекающимися в одной точке, то мы говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой точке. Если соответствие таково, что пара соответствующих прямых пересекаются в точках лежащих на одной прямой, то говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой прямой. Сформулируем теорему Дезарга, покажем использование на евклидовой плоскости. При доказательстве будем пользоваться теоремой Менелая.
Теорема Менелая гласит:
Если точки X, Y, Z лежащие на сторонах ВС, СА, АВ (соответственно продолженных) треугольника АВС коллинеарны, то (BX/CX)*(CY/AY)*(AZ/BZ)=1 Обратно, если это уравнение выполняется для точек X, Y, Z, лежащих на трех сторонах треугольника, то эти три точки коллинеарны.
Теорема Дезарга.
Если два треугольника перспективны относительно точки и если их пары соответствующих сторон пересекаются, то эти три () пересечения коллинеарны. Доказательство: Мы имеем теорему лишь о принадлежности () прямым и пересечении прямых. Треугольники АВС и A’B’C’перспективны относительно точки О, а пары их соответствующих сторон пересекаются в () R, Q, P. Для доказательства применим теорему Менелая к тройкам точек.
нQ, C’, A’э, нR, B’, C’э, нP, A’, B’э
Лежащих на сторонах трех треугольников ОАС, ОСВ, ОВА, получим при этом (AQ/CQ)*(CC’/OC’)*(OA’/AA’)=1 (CR/BR)*(BB’/OB’)*(OC’/CC’)=1 (BP/AP)*(AA’/OA’)*(OB’/BB’)=1
Перемножим эти три выражения и проделав умеренное число сокращений, получим (AQ/CQ)*(CR/BR)*(BP/AP)=1Ю что () Q, R, P коллинеарны, теорема доказана.
4. 2. Использование предложения Паппа на евклидовой плоскости. Покажем использование предложения на евклидовой плоскости.
Теорема Паппа: Если А, С, В - три точки на одной прямой, а A’, C’, B’ - на другой, и если три прямые AB’, CA’, BC’ пересекают прямые A’B, C’A, B’C соответственно, то три точки пересечения P, Q, R коллинеарны.
рис. 1
Доказательство: Эта теорема как и теорема Дезарга использует принадлежность точек прямым или прохождение прямых через точки, без измерения длин или углов и даже без какой-либо ссылки на порядок; в каждом множестве из трех коллинеарных точек безразлично, какая из них лежит между двумя другими. (рис. 1, рис. 2)
рис. 2
При доказательстве будем пользоваться теоремой Менелая. Предположим, что три прямые AB’, CA’, BC’ образуют треугольник UVW. (рис. 3)
рис. 3
Применяя теорему Менелая к пяти тройкам точек
нP, A’, Bэ, нA, Q, C’э, нB’, C, Rэ, нA, C, Вэ, нB’, A’, C’э,
лежащих на сторонах этого треугольника, мы получаем.
(VP/WP)*(WA’/UA’)*(UB/VB)=1 (VA/WA)*(WC/UC)*(UB/VB)=1
(VB’/WB’)*(WC/UC)*(UR/VR)=1 VB'/WB')*(WA'/UA')*(UC'/VC')=1 (VA/WA)*(WQ/UQ)*(UC’/VC’)=1
Разделив произведение первых трех соотношений на произведение последних двух, производя сокращение, мы получаем:
(VP/WP)*(WQ/UQ)*(UR/VR)=1
то есть P, Q, R коллинеарны, теорема доказана.
Приложение
№1. Если два треугольника перспективны относительно точки и две пары соответствующих сторон параллельны, то и две оставшиеся стороны параллельны. Дано: треугольник PRQ и треугольник P’R’Q’ перспективны относительно точки О. QR||Q’R’, PR||P’R’ Доказать что: QP||Q’P’
Доказательство:
Так как QR||Q’R’ и RP||R’P’, то
(OQ/OQ’)=(OR/OR’)=(OP/OP’) Ю (OQ/OQ’)=(OP/OP’) Ю QP||Q’P’
№2. Назовите два треугольника перспективных относительно:
а) точки Р
б) точки Р’
в) точки D
Ответы: а) треугольники ROQ и EP’F б) треугольники EFP и R’Q’O’ в) треугольники R’RE и Q’QF.
№3. Если А, С, Е - три точки на одной прямой, B, D, F- на другой, и если прямые АВ и CD параллельны прямым DE и FA соответственно, то прямые EF||BC.
АС||BD. Рассмотрим параллелограмм ABDE и AFDC Ю BD=AE и DF=AC. Произведем вычитание BD-DF=BF; AE-AC=CE Ю BF=CE Ю BCEF - параллелограмм Ю EF||BC.
ACЗBD=0, так как AB||ED и CD||FA, то (|OA|/|OB|)=(|OE|/|OD|) и (|OC|/|OD|)=(|OA|/|OF|) получаем |OB|*|OE|=|OA|*|OD|=|OC|*|OF|Ю (|OE|/|OF|)=(|OC|/|OB|) Ю EF||CB.
№4. Пусть A, B, D, E, N, M - шесть точек, обладающих тем свойством, что прямые AE, DM, NB пересекаются в одной точке и прямые АМ, DB, NE пересекаются в одной точке. Что можно сказать о прямых AB, DE, NM?
Решение. Пусть AEЗDMЗNB=C, AMЗDBЗNE=F обозначим () пересечения прямых АВ и DE через L. По теореме Паппа ()LОMN Ю ABЗDEЗMN=L. Прямые AB, DE, NM пересекаются в одной точке.
№5. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. AA’ЗBB’ЗCC’=S ?
Решение: Рассмотрим треугольник АВС и треугольник А1В1С1- дезарговые треугольники, то есть треугольники удовлетворяют теореме Дезарга.
ABЗ А1В1=PҐ
BCЗ В1С1=QҐ
ACЗ А1С1=RҐ
лежат на одной несобственной прямой SҐ
по обратной теореме Дезарга прямые, проходящие через соответствующие вершины, пересекаются в одной точке S.
AA’ЗBB’ЗCC’=S.
№6. В евклидовой плоскости в четырехугольник вписана трапеция, параллельные стороны которой || его диагонали. Доказать, что непараллельные стороны трапеции пересекаются на другой диагонали.
Решение: треугольники NCK и AMP дезарговые треугольники по прямой теореме Дезарга, соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в ()-ах, лежащих на одной прямойЮ()F, D, B, то есть () пересечения непараллельных сторон трапеции принадлежат диагонали BD.
№7. В евклидовой плоскости противоположные вершины одного параллелограмма расположены соответственно на противоположных сторонах второго. Доказать, что оба параллелограмма имеют общий центр симметрии.
Требуется доказать, что LNЗMKЗBDЗAC=S
Решение.
ACЗLNЗBD - треугольники ALD и СNB - дезарговые треугольники удовлетворяют обратной теореме ДезаргаЮ ACЗLNЗBD=S.
Треугольники DKC и BMA - дезарговые треугольники по обратной теореме Дезарга Ю MKЗBDЗAC=S Получили ACЗBDЗMKЗLN=S.
Оба параллелограмма имеют общий центр симметрии.
№8. В евклидовой плоскости дан треугольник и три параллелограмма, для каждого из которых одна сторона треугольника служит диагональю, а две другие - смежными сторонами. Доказать, что вторые диагонали этих параллелограммов пересекаются в одной точке.
Требуется доказать, что ANЗBPЗCM=S.
Решение: Треугольники ABC и NPM - дезарговые треугольники.
ABЗNP=QҐ
BCЗMP=RҐ
ACЗNM=KҐ
лежат на одной несобственной прямой PҐ
по теореме обратной теореме Дезарга NAЗBPЗCM=S.
№9. В треугольнике АВС из его вершин проведены прямые, пересекающиеся в одной () S; A’=ASЗBC, B’=BSЗAC, C’=CSЗAB. Доказать, что точки BCЗB’C’, ACЗA’C’, ABЗA’B’ лежат на одной прямой. Решение.
Обозначим () пересечения сторон BCЗB’C’, ACЗA’C’, ABЗA’B’ соответственно P, R, Q. Рассмотрим треугольники АВС и А’В’С’ прямые проходящие через вершины этих треугольников пересекаются в () SЮ () пересечения соответствующих сторон P, R, Q лежат на одной прямой. №10. В конфигурации Дезарга одну из точек выбрать за дезаргову точку. Найти в этой конфигурации вершины дезарговых треугольников и дезаргову прямую.
Точка А- дезаргова точка
Треугольники A’RP и SCB - дезарговы треугольники
A’®S SCЗA’R=C’
R®C SBЗA’P=B’
P®B CBЗRP=Q.
Точки C’, B’, QОS - дезаргова прямая.
№11. Сформулировать в терминах евклидовой геометрии теорему Дезарга для случая: ()SҐ - несобственная (), дезаргова прямая S - собственная.
Формулировка теоремы Дезарга: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух треугольников параллельны, то точки пересечения соответствующих сторон лежат на одной прямой.
()S собственная, прямая SҐ - несобственная.
Формулировка.
Если прямые, походящие через соответствующие вершины двух треугольников АВС и А’В’С’ пересекаются в одной точке и AB||A’B’, B’C||BC, то AC||A’C’.
3) ()SҐ - несобственная, прямая SҐ - несобственная.
Формулировка.
Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух треугольников параллельны и AB||A’B’, BC||B’C’, то AC||A’C’.
№12. Прямая p лежит в плоскости треугольника АВС; К=ВСЗp, L=ACЗp, M=ABЗp, R=BLЗCM, S=CMЗAK, T=AKЗBL. Доказать, что прямые AR, BS и CT пересекаются в одной точке. Требуется доказать, что ARЗBSЗCT=Q
Решение
Треугольники АВС и RST - дезарговы треугольники.
RSЗAB=M
TSЗBC=K () M, K, LОз (по условию)
TRЗAC=L
Таким образом, по теореме обратной теореме Дезарга ARЗBSЗCT=Q.
№13. Даны прямые a и b, пересекающиеся в точке S, которая лежит за пределами чертежа. Дана ()С не лежащая ни на одной из данных прямых. Построить прямую SC.
Построение.
Выбираем произвольно прямую s, () A, A’Оa и ()ВОb.
1)ABЗs=P, 2)PA’Зb=B’, 3)ACЗs=R,
4)BCЗs=Q, 5)A’R, B’Q, 6)B’QЗA’R=C’,
7)CC’ искомая прямая.
Доказательство:
Треугольники АВС и А’В’С’ - дезарговы треугольники, прямая s - дезаргова прямая. ABЗA’B’=P
ACЗA’C’=R Оs (по построению)
BCЗB’C’=Q
По обратной теореме Дезарга AA’ЗCC’ЗBB’=S.
№14. Даны две точки P и Q и не проходящая через них прямая c. построить () PQЗC, не проводя PQ. Анализ: Произвольно выбираем прямую s, ()Q1ОC, Q
QQ1Q2 - трехвершинник, построить РР1Р2 – трехвершинник, P1ОC, PQЗP1Q1ЗP2Q2=S Обратная теорема Дезарга.
Построение:
QQ1Зs=X
PXЗC=P1
Q1Q2Зs=Y
QQ2Зs=Z
YP1
ZPЗYP1=P2
P2Q2Зc=S ()S - искомая точка.
Доказательство:
Треугольники QQ1Q2 и PP1P2 - дезарговы.
QQ2ЗPP2=Z
QQ1ЗPP1=X ОS (по построению).
Q1Q2ЗP1P2=Y
По обратной теореме Дезарга. PQЗP1Q1ЗP2Q2=S Ю PQЗc=S искомая точка.
№15. На евклидовой плоскости даны две параллельные прямые a||b и точка С, им не принадлежащая. Через () С провести прямую, параллельную а и b. Анализ: Произвольно выбираем прямую s. ()А, А’Оа, ()ВОb.
Здесь работает обратная теорема Дезарга для случая ()SҐ - несобственная, прямая s - собственная. Треугольники АВС и А’В’С’ - построить.
Построение:
1)АВЗs=P
2) A’PЗb=B’
3) ACЗs=R
4) BCЗs=Q
5) A’R, B’Q
6) A’RЗB’Q=C’
7) CC’ - искомая прямая.
3) Доказательство:
Треугольники АВС и А’В’С’- дезарговы
Формулировка обратной теоремы Дезарга.
Если прямые, содержащие соответственные стороны треугольников АВС и А’В’С’ пересекаются в точках лежащих на одной прямой и АА’||BB’, то СС’||AA’. По этой теореме СС’- искомая прямая.
№18. Трапеция ABCD пересечена прямыми p и q, параллельными основанию АВ, pЗAD=M, pЗAC=P, qЗBD=N, qЗBC=Q. Доказать, что точка MNЗPQ лежит на прямой АВ. Требуется доказать, что MNЗPQЗAB=K.
Решение:
Рассмотрим треугольники
МРА и NQB.
МРЗNQ=SҐ, так как p||q. (pЗq=SҐ)
PAЗBQ=C
AMЗBN=D
DC||p||q Ю DCЗpЗq=SҐ Ю C, D, SҐО одной прямой по теореме обратной теореме Дезарга MNЗPQЗAB=K. Тем самым доказали, что точка МNЗPQОAB.
№17. В евклидовой плоскости даны параллелограмм АВСD, ()РОCD и прямая l пересекающая стороны АВ и АD. Провести прямую || l. Анализ: Треугольник ANM построен. Построить треугольник СРК. Задача решается с помощью прямой теоремы Дезарга.
2) Построение:
NP, AC
NPЗAC=S
MSЗBC=K
KP- искомая прямая.
3) Доказательство:
треугольники ANM и CPK - дезарговы, так как ANЗCP=RҐ (AN||CP), CKЗAM=QҐ (CK||AM) то по теореме Дезарга KPЗNM=FҐ Ю KP||NM.
Список литературы
Р. Хартсхорн “Основы проективной геометрии”. -М: Мир, 1970.
Ефимов “Высшая геометрия”-: Наука, 1971.
Франгулов С. А. “Лекции по проективной геометрии”-Л: ЛГПИ, 1975. Вахмянина О. А. , Измайлова Т. С. “Пособие по проективной геометрии”-Оренбург: ОГПИ, 1994.
Коксетер С. М. “Новые встречи с геометрией”-М: Нуака, 1978
Базылев “Геометрия”-М: Просвещение, 1975
Потоцкий “Что изучает проективная геометрия ”-М: Просвещение, 1982 Певзнер “Проективная геометрия”-М: Просвещение, 1980
Измайлова Т. С. Лекционный курс по проективной геометрии.
