Различные подходы к определению проективной плоскости - (реферат)
p>Рассмотрим теорему Паскаля в том частном случае, когда кривая второго порядка распадается на пару прямых. Пусть А, В, С, А', В', С'- шесть вершин шестиугольника Паскаля, расположенных по три на данных прямыхl и l', которые мы рассматриваем как распавшуюся кривую второго порядка (рис 2). Тогда имеем следующие три точки пересечения пар соответствующих сторон шестиугольника: Р=АВ'ЗА'В, Q=А'СЗАС', R=ВС'ЗВ'С. По теореме Паскаля эти три точки лежат на одной прямой. Рассмотренный частный случай теоремы Паскаля был известен древним греческим геометрам и носил название теоремы Паппа. Теперь эта теорема носит название Паппа - Паскаля.Рис. 2
*шестивершинником называется фигура состоящая из последовательности шести ()А1, А2, А3, А4, А5, А6 называемых вершинами и шести прямых А1А2, А2А3, А3А4, А4А5, А5А6, А6А1 называемых сторонами.
Мы рассмотрели один из подходов к определению проективной плоскости, а именно определения проективной плоскости на базе трехмерного векторного пространства. Теперь рассмотрим аналитическое определение проективной плоскости.
Глава 2. Аналитическое построение проективной плоскости.
2. 1. Понятие проективной плоскости.
Определение 1: Проективной точкой называется класс пропорциональных троек действительных чисел, не содержащих нулевой тройки.
Будем обозначать его Х={(Х1, Х2, Х3)}
Множество всех проективных точек называется действительной проективной плоскостью.
Определение 2: Проективной прямой называется множество всех точек удовлетворяющих линейному однородному уравнению вида:
С1Х 1+ С2Х 2+ С3Х 3=0 (1)
где хотя бы одно из чисел Ci отлично от нуля.
Определение 2 корректно, так как если тройка (Х1, Х2, Х3) удовлетворяет уравнению (1), то в силу его однородности при любом действительномl тройка (lХ1, lХ2, lХ3) удовлетворяет уравнению (1). Точки, удовлетворяющие уравнению (1) удовлетворяют также линейному однородному уравнению.
(mС1)Х 1+ (mС2)Х 2+ (mС3)Х 3=0 (2)
при "mОR: m№0.
Поэтому каждой прямой, заданной уравнением (2) можно поставить во взаимно однозначное соответствие класс пропорциональных троек С={(С1, С2, С3)}. Так, что тройками из одного класса соответствует одна прямая, причем этот класс не содержит нулевой тройки. Ввиду этого прямую, заданную уравнением (2) будем обозначать той же буквой С, что и соответствующий класс {(С1, С2, С3)}. Равенство (2) можно записать также в виде
СХ=0 (3)
Скалярное произведение троек С и Х. СХ= C1Х1 + С2Х2 + С3Х3 =0 Замечание: Рассмотрим 3-мерное линейное пространство L3. Исключим из него нулевой вектор 0. Множество L3\{0} разобьем по классам эквивалентности так, что векторы одного класса коллинеарны между собой. Каждый такой класс назовем проективной точкой, а множество всех классов 2-мерным проективным пространством (плоскостью). Множество всех классов, векторы которых принадлежат \{0} назовем одномерной проективной плоскостью (прямой). В L3 введем координаты. Тогда каждому вектору соответствует строка (Х1, Х2, Х3), а каждому классу эквивалентности из L3\{0}(т. е. проективной ())- класс {(Х1, Х2, Х3)} пропорциональных строк, не содержащий нулевой строки.
Мы пришли к определению проективной плоскости.
2. 2. Свойства проективной плоскости.
Докажем несколько простых теорем о взаимном расположении () и прямых на проективной плоскости.
Теорема 1: Через две различные () проходит единственная прямая.
Доказательство: 1) Существование. Пусть Х= {(Х1, Х2, Х3)} и У={(Y1, Y2, Y3)} две различные (). Определим прямую следующим образом:
C= Х*Y то есть С =
так как CХ = (Х*Y)Х = |Х, Y, Х| = 0
CY = (Х*Y)Y = |Х, Y, Y| = 0
и по свойству определителей, то () Х и Y принадлежат прямой С. Единственность. Если прямая С={(C1, C2, C3)} содержит () Х и Y, то любой представитель (C1, C2, C3) класса С удовлетворяет системе уравнений. C1Х1 + C2Х2 + C3Х3 =0
C1Y1 + C2Y2 + C3Y3 =0 (5)
$бесконечное множество ненулевых решений этой системы (нулевое решение не определяет прямую). При этом для" решения (С1, С2, С3) справедливо равенство: {(C1, C2, C3 )}= Х2, Х3 Х3, Х1 Х1, Х2
Y2, Y3 , Y3, Y1 , Y1, Y2
Т. е. решения системы (5) образуют единственный класс ненулевых троек. Этот класс определяет единственную прямую С. ч. т. д.
Теорема 2: Две различные прямые имеют единственную общую точку. Доказательство: Пусть, С={(С1, С2, С3)}, m={(m1, m2, m3)} две различные прямые. Найдем () Х ={(Х1, Х2, Х3)}, лежащую на этих прямых. Достаточно повторить доказательство предыдущей теоремы, заменив Х на С, Y наm, С на Х. Получим, что единственная общая точка Х определяется равенством Х=С*m (6). ч. т. д.
Теорема3: Для того, чтобы три () Х, Y, Z лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы
Х1 Х2 Х3
|X, Y, Z|=0 (7), то есть Y1 Y2 Y3 =0
Z1 Z2 Z3
Доказательство: 1)Необходимость. Пусть () X, Y, Z лежат на одной прямой С. если хотя бы две из них совпадают, то равенство (7) следует из определения смешенного произведения и свойств определителя. Пусть эти () различны. Пользуясь теоремой 1, можно записать C=X*Y. Так как ()Z лежит на прямой C, то CZ=0Ю (X*Y)Z=|X, Y, Z|=0
2)Достаточность. Пусть выполняется равенство (7). Рассмотрим произведение C=X*Y. Равенство (7) можно записать в виде (X*Y)Z=0, то есть CZ=0Ю()z лежит на прямой C проходящей через () X и Y. Равенство (7) не зависит от выбора представителей точек.
Теорема доказана.
Теорема4: Для того, чтобы три прямые c, m, n проходили через одну () необходимо и достаточно, чтобы
|c, m, n|=0 (8)
Для троек действительных чисел понятие линейной зависимости и линейной независимости определяется так же, как и для векторов. Пусть тройки x, …, x линейно зависимы. Легко проверить, что"другие тройки x, …, x, принадлежащие тем же классам, тоже линейно зависимы. Поэтому классы троек (точки) линейно зависимы, если линейно зависимы какие-нибудь представители этих классов.
Из теорем 3 и 4 следуют две теоремы.
Теорема5: Для того, чтобы три () лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы.
Теорема6: Для того, чтобы три прямые проходили через одну (), необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы.
2. 3. Теорема Дезарга.
На проективной действительной плоскости имеет место теорема Дезарга. Теорема Дезарга: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух трехвершинников пересекаются в одной точке, то точки пересечения соответствующих сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.
P=ABЗA'B', Q=ACЗA'C', R=BCЗB'C', AA'ЗBB'ЗCC'=Q
P, Q, R лежат на одной прямой.
Доказательство: Введем проективную систему координат, примем () А, В, С, О за фундаментальные:
А(1, 0, 0), В(0, 1, 0), С(0, 0, 1), О(1, 1, 1)
Координаты ()А'- есть линейная комбинация координат ()А и ()О, так как А№А', то а'=aА + dq
Можно положить d=1. Тогда получаем А'=aА +q. Тоже самое относится и к другим вершинам трехвершинника A'B'C'. Поэтому А'(a+1, 1, 1), В'(1, b+1, 1), С'(1, 1, g+1) уравнение прямой АВ:
так как R= BCЗB’C’
С помощью условия коллинеарности трех () убедимся, что () P, Q, R лежат на одной прямой.
Имеем a -b 0 a -b 0
a 0 g = a -b 0 =0
0 -b -g 0 -b -g
Условие коллинеарности выполнено, следовательно, P, Q, R О одной прямой. Теорема доказана.
Глава 3. Аксиоматическое построение проективной плоскости.
3. 1. Аксиоматика аффинной плоскости.
Начнем с некоторых наиболее простых фактов обычной плоской геометрии, которые мы применим в качестве аксиом при синтетическом построении теории. Определение: Аффинной плоскостью называют множество элементов, именуемых точками и систему его подмножеств, именуемых прямыми, причем должны выполнятся три формулируемые ниже аксиомы А1-А3.
А1: Для " двух различных точек Р и Q $ единственная прямая, проходящая через них. Две прямые называются параллельными, если они совпадают или не имеют общих точек.
А2: Для " заданной прямой l и точки Р $ одна и только одна проходящая через Р прямая m: m || l А3: $ три неколлинеарные точки (Точки Р1, Р2, …Рn называются коллинеарными, если $ прямая l, что все эти точки ей принадлежат). Пример: Евклидова плоскость Е2 удовлетворяет аксиомам А1-А3, то есть является аффинной плоскостью.
Пример: Аффинная плоскость имеет, по крайней мере, четыре различных точки; плоскость состоящая ровно из четырех () существует.
Действительно в силу А3 на плоскости есть три неколлинеарные точки; обозначим их черезP, Q, R. Согласно А2, $ прямая l , проходящая через Р и параллельной прямой QR, соединяющей Q и R (эта прямая $ по А1). Точно так же доказывается $ прямой m || PQ, проходящей через R.
Покажем теперь, что l || m.
же S№R. Таким образом, четвертая () S необходимо должна существовать и наше первое утверждение доказано.
Теперь рассмотрим прямые PR и QS. Они могут пересекаться, но они могут и не пересекаться - это не противоречит аксиомам.
В этом случае мы получаем аффинную плоскость, содержащую ровно четыре () P, Q, R, S и шесть прямых PQ, РR, PS, QR, QS, RS. Аксиомы А1-А3 здесь выполняются, таким образом, мы получим аффинную плоскость , содержащую наименьшее возможное число (), а именно, четыре.
3. 2. Аксиоматика проективной плоскости.
